Exercices sur la formule de Taylor-Lagrange et développements limités, Exercices de Mathématiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 February 2014

Exercices sur la formule de Taylor-Lagrange et développements limités, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur la formule de Taylor-Lagrange et développements limités. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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7. Formule de Taylor-Lagrange et développements limités

Ex. 1 En appliquant la formule de Taylor-Lagrange, montrer qu’on a

1− x 2

2 ! ≤ cosx ≤ 1− x

2

2 ! +

x4

4 !

pour tout x ∈ [

−π 2 , π 2

]

.

Ex. 2 Soit f(x) = x3 sin(x−2). Montrer que f a un développement limité à l’ordre 2 en 0 et que f n’a cependant pas de dérivée seconde en 0.

Ex. 3 Donner les développements limités à l’ordre 5 en 0 des fonctions sin(3x),

√ 1− x2, cosx− ch x, 1+2x

1−x .

Ex. 4 Donner un développement limité à l’ordre 2 en 0 de √ 1+x

coshx en utilisant

la division suivant les puissances croissantes des polynômes.

Ex. 5 Donner les développements limités à l’ordre 2 en 0 de f(x) = √ 1 + 2x

et de g(x) = x−1 ln(1 + 2x), puis le développement limité à l’ordre 2 en 0 de f(x)/g(x) en effectuant une division suivant les puissances croissantes.

Ex. 6 a. Calculer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de la fonction

g(x) = ln 1 + x

1− x b. Calculer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de la fonction

f(x) = (

1 + g(x) )

1 3 .

Ex. 7 Donner un développement limité à l’ordre 5 en 0 de la fonction arcsin.

Ex. 8 Etudier les limites suivantes :

lim x→0

cosh x− cosx x2

, lim x→+∞

(1− x−2)x2, lim x→0

2 + ln(1 + x 4 )−

√ 4 + x

x2 .

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Ex. 9 a. Ecrire un développement limité à l’ordre 2 en 0 de ln(1+h) 2+h

· b. Soit f :]0, 1[∪]1,+∞[→ R définie par f(x) = lnx

x2−1 . Montrer que f peut être prolongée en une fonction continue sur ]0,+∞[ (que l’on désigne encore par f). Montrer que f est dérivable en 1, et calculer f(1) et f ′(1).

Ex. 10 (Extrait de l’examen de Janvier 2003) Soit a un réel non nul et soit

f :]− 1|a| , 0 [ ∪ ] 0, 1

|a| [→ R définie par f(x) = (1 + ax) 1

sin(ax)−x .

1. On suppose a 6= 1. a) Montrer que f se prolonge par continuité en x = 0, et donner la valeur de f(0). b) Montrer que f est dérivable en x = 0, et donner f ′(0). (On donnera un DL1 de f en 0.) 2. On suppose a = 1. a) Montrer que f se prolonge par continuité en x = 0, et donner f(0). b) f est-elle dérivable en 0 ? Si c’est le cas, donner f ′(0).

Ex. 11 Montrer que le graphe de f(x) = √ 4 + x2 − 1 + x

2

1 + 2x a une asymp-

tote oblique pour x → +∞, et préciser la position du graphe par rapport à l’asymptote.

Ex. 12 (Extrait de l’examen de Janvier 2003)

Montrer que le graphe de la fonction f(x) = x √ 4x2 + 5

x+ 3 admet une asymptote

lorsque x → +∞, et donner la position de la courbe y = f(x) par rapport à l’asymptote au voisinage de l’infini.

Ex. 13 Soit fa(x) = (x 3 + x2 + ax)

1 3 , où a ∈ R est un paramètre.

1. Montrer que la courbe y = fa(x) a une asymptote oblique lorsque x → +∞. 2. Préciser la position de la courbe par rapport à l’asymptote en fonction de la valeur de a. (Indication : pour la valeur critique de a, on prendra un

développement limité de (1 + v) 1 3 à l’ordre 3 au voisinage de 0.)

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