Exercices sur la géométrie affine et euclidienne, Exercices de Mathématiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 February 2014

Exercices sur la géométrie affine et euclidienne, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur la géométrie affine et euclidienne. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Barycentre et produit scalaire, Produit vectoriel et produit mixte, Géométrie analytique.
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4. Géométrie affine et euclidienne

4.1 Barycentre et produit scalaire

Ex. 1 Soient A,B,C,D quatre points du plan euclidien E2. Montrer que ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, [AC] et [BD] ont mêmes milieux.

Ex. 2 Orthonormalisation de Gram-Schmidt On note (~u,~v) le produit scalaire des vecteurs ~u et ~v de R3. Soit (~ui)1≤i≤3 une base quelconque de R3. On définit les vecteurs ~e1, ~e2 et ~e3 par

~e1 = ~u1 ‖~u1‖

~e2 = ~u2 − (~u2, ~e1)~e1 ‖~u2 − (~u2, ~e1)~e1‖

~e3 = ~u3 − (~u3, ~e1)~e1 − (~u3, ~e2)~e2 ‖~u3 − (~u3, ~e1)~e1 − (~u3, ~e2)~e2‖

Montrer que (~e1, ~e2, ~e3) est une base orthonormée de R 3. Faire les calculs

pour ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (1, 1, 0), ~u3 = (1, 0, 0).

4.2 Produit vectoriel et produit mixte

Ex. 1 Dans E3 rapporté à un repère orthonormé direct (O,~i,~j,~k), on con- sidère le point A de coordonnées (1, 1, 1), le vecteur ~u de composantes (2, 0, 1), la droite D = D(A, ~u) et le plan P d’équation x+y+2z−1 = 0. Déterminer D ∩ P , dist(O,D) et dist(A,P).

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Ex. 2 Soient ~u = (1, 0,−1), ~v = (1, 2, 2) et ~w = (−3, 2, 5). Calculer les produits vectoriels ~u ∧ ~v, ~u ∧ ~w, ~v ∧ ~w et le produit mixte (~u,~v, ~w).

Ex. 3 Soient P le plan d’équation x+y−2z+1 = 0, D1(A1, ~u1) et D2(A2, ~u2) les droites définies par les points A1 = (1, 1, 1), A2 = (2, 0,−1) et les vecteurs ~u1 = (0,−1, 1), ~u2 = (1,−1, 0). Déterminer dist(A1, D2), dist(A1, P ), dist(D1, D2) et dist(D2, P ).

4.3 Géométrie analytique

Ex. 1 Soit la droite D = D(A, ~u) de l’espace R3, où A est le point de coor- données (2, 0, 1) et ~u le vecteur de composantes (1, 1, 3) dans la base canon- ique. Donner une représentation paramétrique de D, puis une représen- tation cartésienne de D.

Ex. 2 Déterminer le centre et le rayon de la sphère d’équation x2 + y2 + z2 − x+ 2y − 2 = 0.

Ex. 3 Déterminer l’intersection des deux sphères d’équations respectives x2+ y2 + z2 − x+ 2y − 2 = 0 et x2 + y2 + z2 − x+ y − z − 4 = 0.

Ex. 4 Déterminer l’intersection du plan P d’équation x− y + 2z − 3 = 0 et de la droite D d’équations

{

−x+ y − z + 2 = 0, x+ y + 3 = 0.

Ex. 5 Soit S la sphère x2 + y2 + z2 − 2x + y − 2z − 7 = 0, et D la droite ayant pour représentation cartésienne

{

x+ y − 2z + 2 = 0, x− y + 4 = 0.

Donner une représentation paramétrique de D, et déterminer S ∩D.

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Ex. 6 Coniques Dans un plan affine euclidien orienté P, soient F un point et D une droite affine ne contenant pas F . Pour tout point M de P on note H la projection orthogonale de M sur D. Soit e un nombre positif. On appelle conique de foyer F , de directrice D et d’excentricité e, l’ensemble

C = {M ∈ P; MF = eMH }.

Si 0 < e < 1, on dit que C est une ellipse; Si e = 1, on dit que C est une parabole; Si e > 1, on dit que C est une hyperbole. On note K la projection orthogonale de F sur D. On pose α = FK et p = α e.

1. Etude d’une ellipse (0 < e < 1)

Soient ~i = 1 FK

−−→ FK.

a) Montrer que dans le repère orthonormé direct R = (F,~i,~j), l’ellipse C a pour équation

x2 + y2 = e2(x− α)2, ou encore

(

x+ αe2/(1− e2) αe/(1− e2)

)2

+ y2

(αe/ √ 1− e2)2

= 1.

On pose a = p 1−e2 , b =

p√ 1−e2 , c = ea, et on introduit le point O défini par−→

FO = −c~i. Montrer que l’équation de C dans le repère R′ = (O,~i,~j) est

x′2

a2 +

y′2

b2 = 1.

Dessiner l’ellipse C. (On dit que a (resp. b) est le demi grand axe (resp. demi petit axe), et que O est le centre de C.) b) Soit le point F ′ défini par

−−→ F ′O =

−→ OF . Montrer que

C = {M ∈ P; MF +MF ′ = 2a}.

(Indication: soit s la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des ordonnées. Remarquer que s(C) = C, et introduire M ′ = s(M), H ′ = s(H) et D′ = s(D).)

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2. Etude d’une parabole (e = 1)

Soient S le milieu de [F,K] et ~i = 1 SF

−→ SF .

a) Montrer que dans le repère R = (S,~i,~j) la parabole C admet pour équation

y2 − 2px = 0.

Dessiner la parabole C. b) Montrer que la tangente en un point M de C est la bissectrice de F̂MH. (Indication : remarquant que l’application t 7→ ( t2

2p , t) est une paramétrisation

de C, dériver par rapport à t dans l’équation ‖−−→FM‖2 = ‖−−→HM‖2). En déduire que tout rayon lumineux parallèle à l’axe des abscisses se réfléchit sur la parabole en direction du foyer.

3. Etude d’une hyperbole (e > 1)

a) Soient ~i = − 1 FK

−−→ FK. Montrer que dans le repère orthonormé direct

R = (F,~i,~j), l’hyperbole C admet pour équation

x2 + y2 = e2(x+ α)2,

ou encore (

x+ αe2/(e2 − 1) αe/(e2 − 1)

)2

− y 2

(αe/ √ e2 − 1)2

= 1.

On pose a = p e2−1 , b =

p√ e2−1 , c = ea et on introduit le point O défini par−→

FO = −c~i. Montrer que dans le repère R′ = (O,~i,~j) C a pour équation

x′2

a2 − y

′2

b2 = 1.

Dessiner l’hyperbole C. b) Soit la fonction f(x) = k

x , où k > 0 est une constante positive. Montrer

que la courbe représentative C de f est une hyperbole, dont on précisera les caractéristiques (foyer, directrice, excentricité). (Indication : écrire l’équation de C dans le repère R′ = (O,~i′, ~j′), avec ~i′ = 1√

2 (~i + ~j), ~j′ = 1√

2 (−~i + ~j) et

utiliser le fait que c = √ a2 + b2.)

Ex. 7 Intersection cylindre-plan et cône-plan Soit E3 rapporté à un repère orthonormé R = (O,~e1, ~e2, ~e3). Soit θ un an- gle compris entre 0 et π/2. Soit (~f1, ~f2, ~f3) la base (orthonormée) définie

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par ~f1 = ~e1, ~f2 = cos(θ)~e2 + sin(θ)~e3, ~f3 = − sin(θ)~e2 + cos(θ)~e3. Soit R′ = (O, ~f1, ~f2, ~f3) le nouveau repère. On note (x, y, z) (resp. (x′, y′, z′)) les coordonnées d’un point M dans R (resp. R′). i) Représenter les demi-axes Ox, Oy, Oz, Ox′, Oy′ et Oz′. Montrer que

x = x′

y = cos(θ)y′ − sin(θ)z′ z = sin(θ)y′ + cos(θ)z′.

Dans tout ce qui suit on note P le plan d’équation z′ = 0, et on fait varier la valeur de l’angle θ. ii) Soit D le cylindre d’équation x2 + y2 = 1. Montrer que D ∩ P est un cercle pour θ = 0, une ellipse pour 0 < θ < π/2 et la réunion de 2 droites pour θ = π/2. iii) Soit C le cône d’équation x2 + y2 = (z + 1)2. Montrer que C ∩ P est un cercle pour θ = 0, une ellipse pour 0 < θ < π/4, une parabole pour θ = π/4, une hyperbole pour π/4 < θ < π/2, et la réunion de 2 droites pour θ = π/2.

Ex. 8 Projection orthogonale d’un cercle sur un plan (Extrait de la colle de Mai 2004) On se propose de montrer que la projection orthogonale d’un cercle sur un plan est une ellipse. On suppose donné dans R3 un plan P d’équation λy+z = 1 (λ étant un paramètre réel), un cercle C sur P de centre A = (0, 0, 1) et de rayon R > 0, et l’on étudie la projection orthogonale de C sur le plan d’équation z = 0. 1. Donner un système d’équations cartésiennes pour C. 2. Soit p : (x, y, z) 7→ (x, y, 0) la projection orthogonale sur le plan z = 0. Exprimer l’équation reliant x et y pour tout point (x, y, z) de C, puis donner le système d’équations cartésiennes définissant p(C). 3. Montrer que p(C) est une ellipse. Préciser son demi-grand axe a et son demi-petit axe b.

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