Exercices sur la géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices sur la géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques Appliqués

PDF (113.7 KB)
1 page
881Numéro de visites
Description
Exercices de mathématiques sur la géométrie algébrique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices de 1 à 4.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document

M2, Géométrie Algébrique I, Cours de Jean-François Dat 2008-2009

TD - Feuille 2

Exercice 1 Soit A un anneau. Montrez que pour tout schéma X, on a une bijection HomSch(X, Spec(A))→ HomAnn(A,Γ(X,OX)).

Exercice 2 Soit X un schéma et L un OX-module localement libre de rang 1. Dans ce qui suit, lorsqu'on dénit un morphisme de faisceaux, il est entendu que la formule donnée vaut pour des sections sur des ouverts U ⊂ X variables.

(1) Soit L∨ = HomOX (L,OX). Montrez que L∨ est un OX-module localement libre de rang 1 et que le morphisme de OX-modules L∨ ⊗OX L → OX donné par (ϕ, s) 7→ ϕ(s) est un isomor- phisme.

(2) Montrez qu'en associant à une section f de OX la multiplication par f dans L, on obtient un isomorphisme de OX-modules OX → HomOX (L,L) et un isomorphisme de faisceaux abéliens O∗X → AutOX (L).

(3) Soit s ∈ Γ(X,L). Montrez que Xs := {x ∈ X , sx 6= 0 dans Lx ⊗OX,x k(x) } est un ouvert de X.

Exercice 3 Soit E un espace vectoriel de dimension n + 1 sur un corps k et P(E) l'espace projectif correspondant (notation de Grothendieck). Démontrez que pour tout k-schéma X, on a une bijection :

Homk(X, P(E))→ { morphismes surjectifs de OX -modules E ⊗OX

ϕ→ L avec L inversible }

/ ∼

où deux couples (L, ϕ) et (L′, ϕ′) sont équivalents ssi il existe un isomorphisme τ : L ∼→ L′ tel que ϕ′ = τ ◦ ϕ.

Exercice 4 Soit k un corps et E la k-courbe elliptique d'équation

F (u, v, w) = v2w + (a1u+ a3w)vw − (u3 + a2u2w + a4uw2 + a6w3) = 0

dans le plan projectif de coordonnées homogènes (u : v : w).

(1) Montrez que E est recouverte par les ouverts U = D+(w) et V = D+(v).

(2) Montrez que Ω1U/k est libre engendré par ω = dx

2y+a1x+a3 , où x = u/w, y = v/w.

(3) Montrez que Ω1V/k est libre engendré par ω ′ = dz

a1z−(3t2+2a2tz+a4z2) , où t = u/v, z = w/v.

(4) Montrez que ω ∈ Γ(E,Ω1E/k) et que Ω1E/k = ωOE.

docsity.com

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome