Exercices sur la géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques Appliquées
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices sur la géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercices de mathématiques sur la géométrie algébrique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices de 1 à 4.
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M2, Géométrie Algébrique I, Cours de Jean-François Dat 2008-2009

TD - Feuille 2

Exercice 1 Soit A un anneau. Montrez que pour tout schéma X, on a une bijection HomSch(X, Spec(A))→ HomAnn(A,Γ(X,OX)).

Exercice 2 Soit X un schéma et L un OX-module localement libre de rang 1. Dans ce qui suit, lorsqu'on dénit un morphisme de faisceaux, il est entendu que la formule donnée vaut pour des sections sur des ouverts U ⊂ X variables.

(1) Soit L∨ = HomOX (L,OX). Montrez que L∨ est un OX-module localement libre de rang 1 et que le morphisme de OX-modules L∨ ⊗OX L → OX donné par (ϕ, s) 7→ ϕ(s) est un isomor- phisme.

(2) Montrez qu'en associant à une section f de OX la multiplication par f dans L, on obtient un isomorphisme de OX-modules OX → HomOX (L,L) et un isomorphisme de faisceaux abéliens O∗X → AutOX (L).

(3) Soit s ∈ Γ(X,L). Montrez que Xs := {x ∈ X , sx 6= 0 dans Lx ⊗OX,x k(x) } est un ouvert de X.

Exercice 3 Soit E un espace vectoriel de dimension n + 1 sur un corps k et P(E) l'espace projectif correspondant (notation de Grothendieck). Démontrez que pour tout k-schéma X, on a une bijection :

Homk(X, P(E))→ { morphismes surjectifs de OX -modules E ⊗OX

ϕ→ L avec L inversible }

/ ∼

où deux couples (L, ϕ) et (L′, ϕ′) sont équivalents ssi il existe un isomorphisme τ : L ∼→ L′ tel que ϕ′ = τ ◦ ϕ.

Exercice 4 Soit k un corps et E la k-courbe elliptique d'équation

F (u, v, w) = v2w + (a1u+ a3w)vw − (u3 + a2u2w + a4uw2 + a6w3) = 0

dans le plan projectif de coordonnées homogènes (u : v : w).

(1) Montrez que E est recouverte par les ouverts U = D+(w) et V = D+(v).

(2) Montrez que Ω1U/k est libre engendré par ω = dx

2y+a1x+a3 , où x = u/w, y = v/w.

(3) Montrez que Ω1V/k est libre engendré par ω ′ = dz

a1z−(3t2+2a2tz+a4z2) , où t = u/v, z = w/v.

(4) Montrez que ω ∈ Γ(E,Ω1E/k) et que Ω1E/k = ωOE.

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