Exercices sur la loi normale et autres, Exercices de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez29 January 2014

Exercices sur la loi normale et autres, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques concernant la loi normale et autres. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Lecture de tables, Lecture de tables et interpolations affines, Avec utilisation des formules, Les trois lo...
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TD – Loi Normale - CORRECTION Page 1 sur 2

DECF Maths Mathématiques TD CORRECTION Loi Normale et autres

Exercice 1Lecture de tables Compléter la table de π t 0,92 2.03 1 0 2.99 3.2 4.5 π(t) 0.8212 0.9788 0.8413 0.5000 0.9986 0.99931 0.999997 Exercice 2Lecture de tables et interpolations affines Calculer par interpolation affine une valeur approchée de π(1.643), de π(1.645) et π(1.647)

Pour calculer par interpolation π(1.643) on lit    π(1.64) ≈ 0.9495 π(1.65) ≈ 0.9505

1.64 1.643 1.65 0.9495 x 0.9505

Donc x – 0.9495

0.9505 - 0.9495 =

1.643 – 1.64 1.65 – 1.64

soit π(1.643) ≈ 0.9498

De même π(1.645) ≈ 0.95 et π(1.647) ≈ 0.9502

Exercice 3Avec utilisation des formules Soit t une variable aléatoire suivant la loi normale N(0 ;1). Donner les arrondis à 4 décimales de

1. P( t ≤ -1.73), P( t ≤ -3.1), P( t ≤ - 8), P( t ≤ -0.022),

On a π(- t) = 1 - π(t) donc on trouve les valeurs t -1.73 -3.1 -8 -0.022 π(t) ≈ 0.0418 0.0010 0 0.4920

2. P( t > 1.73), P( t > 8), P( t ≥ -0.022).

Mêmes résultats car P(t > x ) = P(t ≥ x ) = 1 – P( t ≤ x ) = 1 - π(x) = π (-x)

3. P(0 < T < 1), P(2.8345 < T < 3.482) avec 3 décimales. P(0 < T < 1) = π(1) - π(0) ≈ 0.841 – 0.5 ≈ 0.341 P(2.8345 < T < 3.482) = π(3.482) - π(2.8435) ≈ 0.999 – 0.998 ≈ 0.002

4. P(-1 < T < 1), P(-2 < T < 2) avec 4 décimales.

P(-1 < T < 1) = 2 π(1) – 1 ≈ 2×0.8413 – 1 ≈ 0.6826 P(-2 < T < 2) ≈ 0.9544

5. P(-2 < T < 2.4) et P(-3.1 < T < -1.2) avec 3 décimales.

P(-2 < T < 2.4) = π (2.4) - π(-2) = π (2.4) – ( 1 - π(2)) ≈ 0.969 P(-3.1 < T < -1.2) ≈ 0.114

Exercice 4 Soit Y une variable aléatoire suivant la loi normale N(m ;σ) avec m = 15 et σ = 4.

1. Calculer P(Y > - 4) avec 2 décimales.

On pose X = Y – m

σ alors X suit la loi normale N(0 ;1)

P(Y > - 4) = P(X > -4.75) = 1 – ( 1 - π(4.75)) ≈ 1.00

2. Calculer P(10<Y <20) avec 2 décimales. P(10<Y <20) = P(- 1.25<X<1.25) = 2 π (1.25) – 1 ≈ 0.79

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3. Calculer P(m - 2σ<Y < m + 2σ). P(m - 2σ<Y < m + 2σ) = P(-2<X<2) ≈ 0.95

Exercice 5 La demande mensuelle D d’un produit suit la loi normale N(100 ;15). Le stock au début du mois vaut 130. Calculer la probabilité de rupture de stock, c'est-à-dire P( D>130) .

P( D>130) = P(D* > 130 – 100

15 ) ≈ 0.0228 avec D* = D – m

σ qui suit N(0,1)

Exercice 6 Des études statistiques conduisent à considérer les taux d’alcoolémie d’automobilistes, en grammes par litre de sang, comme des variables aléatoires :

• Pour les hommes, X suit la loi normale N(0.80 ;0.11) • Pour les femmes, Y suit la loi normale N(0.40 ;0.18)

1. Calculer P(X>0.50), Calculer P(X>0.80), Calculer P(Y>0.50), Calculer P(Y>0.80)

P(X>0.50) ≈ 0.997, P(X>0.80) ≈ 0.5, P(Y>0.50) ≈ 0.288, P(Y>0.80) ≈ 0.013

2. « Au-delà de 0.50 grammes d’alcool dans le sang, 3 points vous seront retirés sur votre permis et vous devrez payer une amende de 100 euros. Au-delà de 0.80 grammes d’alcool dans le sang, le tribunal correctionnel inflige une sanction plus lourde : 6 points vous seront retirés sur votre permis (ou suspension de permis) et vous devrez payer une amende pouvant aller jusqu’à 5 000 euros (ou une peine de prison). Une personne est contrôlée au hasard. Indiquer la probabilité qu’elle se voit retirer 3 points pour avoir conduit en état d’ivresse lorsque c’est :

a) Un conducteur. P(0.5<X<0.8 ) ≈ 0.5 – 0.003 ≈ 0.5 b) Une conductrice. P(0.5<Y<0.8 ) ≈ 0.987 – 0.712 ≈ 0.3

Exercice 7 : Les trois lois

La variable X suit la loi indiquée. Remplir le tableau avec pour E(X) et V(X) les valeurs exactes et 3 décimales pour le reste.

Loi B(8 ; 1 3

) P(8) P(3.6) N(0 ;1) N(5 ;0.3)

E(X) 8× 13 = 8 3

8 3.6 0 5

V(X) 8×13×(1- 1 3

) = 16 9

8 3.6 1 0.3² = 0.09

σX 4 3

8 3.6 1 0.3

P(X = 2) 0.273 0.011 0.177 0 0 P(X ≤ 2) 0.468 0.014 0.303 0.9772 1 P(X < 2) 0.195 0.003 0.126 0.9772 1

P(4< X ≤ 6) 0.085 0.214 0.220 0 0.999

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