Exercices sur la modélisation mathématique 1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation. Université Bordeaux I

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Exercices sur la modélisation mathématique - Le plan complexe - 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Donner une relation entre les modules de z et z′. Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le ...
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AmeriqueduNordS2000.dvi

[ Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2000 \

EXERCICE 1 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Dans tout l’exercice, z est un nombre complexe non nul.

À tout point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′ = − 1

z , puis le point I

milieu du segment [MM ′]. L’affixe de I est donc 1

2

(

z− 1

z

)

.

Note : les questions 2, 3 et 4 sont largement indépendantes.

1. a. Donner une relation entre les modules de z et z ′.

Donner une relation entre leurs arguments.

b. Sur la figure ci-dessous est placé le point M1 d’affixe z1 sur le cercle de centre O et de rayon 2.

Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point M ′1, puis le point I1 milieu du segment [M1M ′1]. Effectuer cette construction.

O

M1

M2

−→ u

−→ v

2. Pour cette question, θ est un réel et M est le point d’affixe z = e iθ .

a. Calculer sous forme algébrique l’affixe de I .

b. Sur la figure ci-dessous est placé le point M2 d’affixe z2 sur le cercle C , de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en utilisant le résultat de la question 2 a, on peut obtenir géométriquement le point I2 milieu du segment [M2M ′2] .

Effectuer cette construction.

Donner (sans justification) l’ensemble décrit par I lorsque M décrit C .

3. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O.

a. Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels M et I sont confondus.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Développer (z−2i)2+3.

Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels l’affixe de I est 2i.

4. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O, d’affixe

z = x+ iy (x et y réels).

a. Exprimer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de l’affixe de I .

b. Déterminer l’ensemble A des pointsM duplan pour lesquels I appartient à l’axe des abscisses.

c. Déterminer l’ensemble B des pointsM duplan pour lesquels I appartient à l’axe des ordonnées.

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

O A

BC

D E

FG

Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure ci-dessus.

L’espace est orienté par le repère orthonormal direct (

O ; −−→ OA ,

−−→ OC ,

−−→ OD

)

. On désigne

par a un réel strictement positif.

L, M et K sont les points définis par −−→ OL = a

−−→ OC ,

−−−→ OM = a

−−→ OA , et

−−→ BK = a

−→ BF .

1. a. Calculer les coordonnées du vecteur −−−→ DM

−−→ DL .

b. En déduire l’aire du triangle DLM .

c. Démontrer que la droite (OK ) est orthogonale au plan (DLM).

2. On note H le projeté orthogonal de O (et de K ) sur le plan (DLM).

a. Démontrer que −−−→ OM ·

−−→ OK =

−−→ OH ·

−−→ OK .

b. Les vecteurs −−→ OH et

−−→ OK étant colinéaires, on note λ le réel tel que

−−→ OH =λ

−−→ OK .

Démontrer queλ= a

a2+2 . Endéduire queH appartient au segment [OK ].

c. Déterminer les coordonnées de H .

d. Exprimer −−→ HK en fonction de

−−→ OK . En déduire que HK =

a2−a+2 p a2+2

.

3. À l’aide des questions précédentes, déterminer le volumedu tétraèdreDLMK en fonction de a.

Amérique du Nord 2 juin 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité Dans le plan orienté, on considère un triangle direct OAB, rectangle et isocèle en O.

On a donc ( −−→ OA ,

−−→ OB )=

π

2 [2π].

On note RA et RB les rotations de centres respectifs A et B et de même angle π

2 et SO

la symétrie de centre O. On place un point C, non situé sur la droite (AB) , on trace les carrés BEDC et ACFG

directs. On a donc ( −−→ BE ,

−−→ BC )=

π

2 [2π] et (

−−→ AC ,

−−→ AG )=

π

2 [2π].

1. a. Déterminer S(AO) ◦S(AB) composée des réflexions d’axes (AB) et (AO).

b. En écrivant RB sous la forme d’une composée de deux réflexions, démon- trer que RA ◦RB = SO.

2. a. Déterminer l’image de E par RA ◦RB.

b. En déduire que O est le milieu du segment [EG].

c. On note RF et RD les rotations de centres respectifs F et D et de même angle.

Étudier l’image de C par la transformation RF SO ◦RD . Déterminer la transformation RF ◦SO ◦RD .

d. Placer H le symétrique deD par rapport à O.

Démontrer que RF (H)=D. Démontrer que le triangle FOD est rectangle et isocèle en O.

PROBLÈME 10 points

Soit f la fonction définie sur [0, +∞[ par :

f (x) = x2+ x+1

x2 e−

1 x pour x > 0

f (0) = 0.

OnnoteC la courbe représentative de f dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité

graphique 5 cm).

Partie A

1. Démontrer que la droite (∆) d’équation y = 1 est asymptote à C .

2. Pour x > 0 , calculer f (x)− f (0)

x . Étudier la limite de cette expression quand

x tend vers 0. (on pourra utiliser, pour n entier naturel non nul,

lim u→+ ∞

une−u = 0.

Que peut-on en déduire pour la fonction f ? Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

3. Démontrer que pour tout x de ]0,+∞[ on a f ′(x)= 1− x

x4 e−

1 x .

4. Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau des variations de f .

Partie B

On note g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g (x)= f (x)− x f ′(x).

1. Montrer que dans ]0 ; +∞[, les équations g (x)= 0 et x3+ x2+2x−1 = 0 sont équivalentes.

2. Démontrer que l’équation x3+ x2+2x −1 = 0 admet une seule racine réelle α dont on justifiera un encadrement à 10− 2 près.

Amérique du Nord 3 juin 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. On pose A = f (α)

α . Encadrer A à 2×10− 1 près (justifier) et montrer que

A = f ′(α).

4. Pour tout a > 0, on note Ta la tangente à C au point d’abscisse a. Montrer que Ta a pour équation y = Ax. Tracer Ta , puis la courbe C .

5. Déduire des questions précédentes que de toutes les tangentes Ta à C (en des points d’abscisses non nulles), seule passe par l’origine O.

6. On admettra que est au-dessus de C sur ]0 ; +∞[.

a. Par lecture graphique (et sans justification), donner le nombre de solu- tions de l’équation f (x)=m , suivant le réelm donné.

b. Par lecture graphique (et sans justification), donner le nombre de solu- tions de l’équation f (x)=mx selon le réelm donné.

Partie C

1. Pour n ∈N* on pose un = ∫1

1 n

f (x) dx. Sans calculer explicitement un , déter-

miner le signe de un+1−un . En déduire que la suite (un) est croissante.

2. Démontrer que la fonction h, définie sur ]0 ; +∞[ par h(x) = (x +1)e− 1 x est

une primitive de f sur ]0 ; +∞[.

3. Calculer un . Interpréter graphiquement le résultat.

4. Étudier la convergence de la suite (un ).

Amérique du Nord 4 juin 2000

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