Exercices sur la modélisation mathématique - 1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

Exercices sur la modélisation mathématique - 1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices sur la modélisation mathématique sur les couples solutions de l’équation - 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation d’inconnue z, la partie réelle de z.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1982 Lille \

EXERCICE 1 4 points

1. Résoudre dans Z2 l’équation

(1) 9x −22y = 55.

2. Déterminer les couples solutions de l’équation (1) tels que le plus grand com- mun diviseur de x et de y soit 55.

EXERCICE 2 4 points

1. Résoudre dans C l’équation d’inconnue z

z4− (10i−5)z2−14i−48= 0.

2. On appelle z1, z2, z3, z4 les solutions de cette équation en supposant que

ℜ (z4)<ℜ (z3)< 0<ℜ (z2)<ℜ (z1)

où ℜ (zi ) représente la partie réelle de zi avec i ∈ {1, 2, 3, 4}.

Soit M1 et M2 les points du plan complexe d’affixes respectives 2+ i et 1+3i.

Déterminer les deux similitudes laissant le point O d’affixe 0 invariant et trans- formant M1 en M2. On précisera les éléments caractéristiques de ces simili- tudes.

PROBLÈME 12 points

Soit F l’espace vectoriel sur R des applications de [

π

2 ; π

2

]

dans Rmuni de l’addi-

tion des fonctions et de leur multiplication par un scalaire.

Soit E l’ensemble des applications de [

π

2 ; π

2

]

dans R définies par

f : [

π

2 ; π

2

]

→ R

x 7−→ ex (a +b sinx +c cosx)

a, b et c sont trois réels quelconques.

Partie A

On appelle g l’élément de E correspondant au cas où a = 0, b = c = 1.

1. Étudier les variations de g , démontrer que g réalise une bijection de [

π

2 ; π

2

]

sur un intervalle J, que l’on déterminera.

Si l’on appelle g l’application telle que

: [

π

2 ; π

2

]

→ J

x 7−→ g (x)

étudier la dérivabilité de la fonction réciproque h = g̃−1. Préciser h′(1).

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Tracer la courbe représentative C de dans un plan affine euclidien P muni d’un repère orthonormé R (unité 2 cm).

Construire la tangente à C au point d’abscisse 0. Tracer dans le même repère la courbe représentative C ′ de h.

3. a. À l’aide éventuellement d’une double intégration par parties, calculer

I =

π

2

π

2

ex (sinx +cosx)dx.

b. Calculer l’aire A du domaine D du plan compris entre C , les droites d’équations y = x, x = π2 et x =−

π

2 dans le repère R.

En déduire l’aire A ′ du domaine D′ du plan compris entreC ′, les droites d’équations y = x, y = π2 et y =−

π

2 dans le repère R.

Partie B

1. Démontrer que E est un sous-espace vectoriel deF admettant pour baseB = (

f1, f2, f3 )

, avec

f1 : [

π

2 ; π

2

]

→ R

x 7−→ ex .

f2 : [

π

2 ; π

2

]

→ R

x 7−→ ex sinx.

f3 : [

π

2 ; π

2

]

→ R

x 7−→ ex cosx.

2. Soit f un élément de E de coordonnées (a ; b ; c) dans la base B. Démontrer que la fonction dérivée première f ′ et la fonction dérivée seconde f ′′ sont des éléments de E dont on donnera les coordonnées dans la base B. Préciser f

(

π

2

)

, f ′ (

π

2

)

, f ′′ (

π

2

)

en fonction de a, b, c.

3. Soit ϕ l’endomorphisme de E qui, à la fonction f de coordonnées a, b, c dans la base B associe la fonction de coordonnées

a′ = 3a +4b, b′ =−2a −3b et c ′ = 2a +2b c,

dans la même base.

a. Déterminer D, ensemble des éléments de E invariants par ϕ et vérifier que

D= {

f ∈ E / f ′ (

π

2

)

= f ′′ (

π

2

)

= 0 }

b. Déterminer P, ensemble des éléments de E changés parϕ en leur opposé et vérifier que

P= {

f ∈ E / f (

π

2

)

= 0 }

c. Démontrer queD et P sont supplémentaires dans E . En déduire la nature de ϕ et l’ensemble des éléments de E vérifiant

f (

π

2

)

= f ′ (

π

2

)

= f ′′ (

π

2

)

= 0.

4. Soit Φ l’application de E ×E dans R définie par

Φ( f , g )= f (

π

2

)

g (

π

2

)

+ f ′ (

π

2

)

g ′ (

π

2

)

+ f ′′ (

π

2

)

g ′′ (

π

2

)

Lille 2 juin 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

a. Démontrer queΦ est un produit scalaire défini sur E . Dans toute la suite du problème, E est muni de ce produit scalaire.

b. Vérifier que le plan vectoriel P et la droite vectorielle D introduits en B 3. sont orthogonaux et préciser alors ϕ.

5. a. Vérifier que, pour le produit scalaireΦ, la baseB n’est pas orthonormée.

b. On donne

g1 : [

π

2 ; π

2

]

→ R

x 7−→ exπ

2 (2−2sinx +cosx)

Vérifier que g1 est normé. Trouver g2 normé, orthogonal à g1 apparte-

nant à P et tel que g ′′2

(

π

2

)

> 0.

Soit g3 le vecteur normé de D tel que g3 (

π

2

)

> 0. Déterminer g ′′3 et dé-

montrer que (

g1, g2, g3 )

est une base orthonormée qu’on notera B′.

Lille 3 juin 1982

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