Exercices sur la modélisation mathématique 10, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 10, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique - la probabilité - 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer la nature et les éléments caractéristiques, la courbe représentative.
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Metropole S 2000.dvi

[ Baccalauréat S Métropole juin 2000 \

Exercice 1 4 points

Commun à tous les candidats

Les résultats numériques seront donnés sous forme de fractions. Dans une classe de 30 élèves sont formés un club photo et un club théâtre. Le club photo est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois. On note A l’évènement contraire de l’évènement A et p(A / B) la probabilité condi- tionnelle de A sachant que B est réalisé.

1. On interroge un élève de la classe pris au hasard.

On appelle P l’évènement : « L’élève fait partie du club photo », et T l’événe- ment : « L’élève fait partie du club théâtre ».

Montrer que les évènements P et T sont indépendants.

2. Lors d’une séance du club photo, les 10 membres sont tous présents. Un pre- mier élève est tiré au sort. Il doit prendre la photo d’un autremembre du club qui sera lui aussi tiré au sort.

a. Onappelle T1 l’évènement : «Le premier élève appartient au club théâtre». Calculer p(T1).

b. Onappelle T2 l’évènement «L’élève pris enphoto appartient au club théâtre».

Calculer p(T2/T1), puis p (

T2/T1 )

. En déduire p (T2 ∩ T1) et p (

T2 ∩ T1 )

.

(On pourra éventuellement utiliser un arbre.)

c. Montrer que la probabilité que l’élève pris en photo appartienne au club théâtre est 0,2.

3. Toutes les semaines, on recommence de façon indépendante la séance de photographie avec tirage au sort duphotographe et duphotographié. Lemême élève peut être photographié plusieurs semaines de suite.

Calculer la probabilité qu’au bout de 4 semaines, aucun membre du club théâtre n’ait été photographié.

Exercice 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, unité gra-

phique 4 cm, on considère les points A d’affixe zA = 1 et B d’affixe zB = 2. Soit un réel θ appartenant à l’intervalle ]0 ; π[. On note M le point d’affixe z = 1+e2iθ .

1. Montrer que le point M appartient au cercle (C ) de centre A et de rayon 1.

2. Exprimer l’angle ( −−→ AB ;

−−→ AM ) en fonction de θ.

En déduire l’ensemble E des points M quand θ décrit l’intervalle ]0 ; π[.

3. On appelle M ′ l’image de M par la rotation de centre O et d’angle − 2θ et on note z ′ l’affixe deM ′. Montrer que z ′ = z puis que M ′ appartient à (C ).

4. Dans toute la suite, on choisit θ = π

3 .

On appelle r la rotation de centre O et d’angle − 2π

3 et A′ l’image de A par r .

a. Définir l’image (C ′) du cercle (C ) par r .

Placer sur une figure A, B, (C ), M , (C ′) puis le point M ′ image de M par r .

b. Montrer que le triangle AMO est équilatéral.

c. Montrer que (C ) et (C ′) se coupent en O et enM ′.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

d. Soit le point P symétrique de M par rapport à A. Montrer que M ′ est le milieu de [A′P ].

Exercice 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan orienté, on considère deux points A et B et le point E tel que −→ AE =

3

4

−−→ AB .

Pour la figure, on prendra comme unité de longueur le centimètre et AB = 16. Cette figure sera complétée au fur et à mesure.

Soit un point C , distinct de A, tel que (

−−→ AB ;

−−→ AC

)

=

π

4 .

La droite parallèle à (BC ) passant par E coupe la droite (AC ) en F . On appelle I le milieu de [BC ], J le milieu de [EF ] et D le point d’intersection des droites (EC ) et (BF ). On note hA l’homothétie de centre A qui transforme B en E et hD l’homothétie de centreD qui transforme E en C .

1. Déterminer hA(C ) puis hD (F ).

2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de hD hA puis de hA ◦ hD .

3. On appelle E ′ l’image de E par hA et E ′′ l’image de E ′ par hD .

Représenter E ′, puis construire E ′′ en justifiant la construction.

4. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de hD hA ◦hA ◦hD .

5. Montrer que le quadrilatère BECE ′′ est un parallélogramme.

6. On appelle (∆) l’ensemble des points M tels que (

−−→ AB ;

−−→ AM

)

=

π

4 .

(∆) est donc une demi-droite ouverte d’origine A.

Pour la suite, les points A, B, E sont fixes et le point C décrit (∆).

Déterminer et construire le lieu géométrique (∆)′′ du point E ′′.

Métropole 2 juin 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Problème 11 points

Commun à tous les candidats

Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique : 5 cm).

Partie A

⋆ On considère la fonction f1 définie sur [0 ; +∞[ par

f1(x)= xe −x2

et on appelle (C1) sa courbe représentative.

1. Montrer que, pour tout réel positif x, f ′1(x) = e − x2

−2x2e− x 2 . En déduire le

sens de variation de f1.

2. Calculer la limite de f1 en +∞ (on pourra poser u = x2). Interpréter graphi- quement ce résultat.

3. Dresser le tableau de variation de f1.

4. On appelle (∆) la droite d’équation y = x.

Déterminer la position de (C1) par rapport à (∆).

5. Tracer (C1) et (∆).

Partie B

⋆ On considère la fonction f3 définie sur [0 ; +∞[ par f3(x)= x3e−x 2 et on appelle

(C3) sa courbe représentative.

1. Montrer que, pour tout réel x positif, f ′3(x) a même signe que 3−2x 2 . En dé-

duire le sens de variation de f3.

2. Déterminer les positions relatives de (C1) et (C3).

3. Tracer (C3) dans le même repère que (C1) (on admettra que (C3) a la même asymptote que (C1) en +∞.

4. On appelle (D) la droite d’équation x = 1. Soit A1 l’aire en unités d’aire du domaine limité par la courbe (C1), les deux axes de coordonnées et la droite (D) et soit A3 l’aire en unités d’aire du domaine limité par la courbe (C3) les deux axes de coordonnées et la droite (D).

a. Calculer A1.

b. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que A3 =− 1

2e +A1.

Partie C

⋆ On désigne par n un entier naturel non nul et on considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

fn (x)= x ne− x

2 .

On note (Cn) la courbe représentative de f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Montrer que, pour tout entier n > 1, fn admet un maximum pour x =

n

2 .

On note αn , ce maximum.

2. On appelle Sn le point de (Cn) d’abscisse

n

2 .

Montrer que, pour tout n, (Cn) passe par S2. Placer S1, S2, S3 sur la figure.

Métropole 3 juin 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Soit la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par :

g (x)= e− x 2

[

−1+ln (

x 2

)]

c’est-à-dire g (x)= exp [

x 2

(

− 1+ ln (

x 2

))]

.

a. Étudier le sens de variation de g .

b. Montrer que, pour tout entier n> 1, αn = g (n).

En déduire que tout point Sn a une ordonnée supérieure à celle de S2.

Métropole 4 juin 2000

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