Exercices sur la modélisation mathématique 11, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 11, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique - le barycentre du système - 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Montrer que P est le symétrique de C par rapport à A. Montrer que le quadrilatère OACB est un ...
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MetropoleSseptembre2000.dvi

[ Baccalauréat S Métropole septembre 2000 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Les résultats seront donnés à 10−3 près.

Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. Chaque enquêteur a une liste de personnes à contacter. Lors du premier appel téléphonique, la probabilité pour que le correspondant soit absent est 0,4. Sachant que le correspondant est présent, la probabilité pour qu’il accepte de répondre au questionnaire est 0,2.

1. On note :

• A1 l’évènement « la personne est absente lors du premier appel » ; • R1 l’évènement « la personne accepte de répondre au questionnaire lors

du premier appel ».

Quelle est la probabilité de R1 ?

2. Lorsqu’une personne est absente lors du premier appel, on lui téléphone une seconde fois, à une heure différente, et, alors, la probabilité pour qu’elle soit absente est 0,3. Et, sachant qu’elle est présente lors du second appel, la pro- babilité pour qu’elle accepte de répondre au questionnaire est encore 0,2.

Si une personne est absente lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.

On note :

A2 l’évènement « la personne est absente lors du second appel » ;

R2 l’évènement « la personne accepte de répondre au questionnaire lors du second appel » ;

R l’évènement « la personne accepte de répondre au questionnaire ».

Montrer que la probabilité de R est 0,176. (On pourra utiliser un arbre).

3. Sachant qu’une personne a accepté de répondre au questionnaire, quelle est la probabilité pour que la réponse ait eu lieu lors du premier appel ?

4. On suppose que les sondages auprès des personnes d’une même liste sont indépendants. Un enquêteur a une liste de 20 personnes à contacter. Quelle est la probabilité pour qu’une au moins des 20 personnes de la liste accepte de répondre au questionnaire ?

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire (hors-programme en 2002)

Les questions 1) et 2) sont in- dépendantes. L’espace est muni d’un re- père orthonormal direct. ABCDEFGH est le cube re- présenté ci-contre. Son arête a pour longueur 1, le centre de la face ABCD est le point I. Aucune figure n’est deman- dée sur la copie.

A B

C D

E F

GH

I

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. a. Déterminer −−→ BC ∧

−−→ BA .

b. En déduire l’ensemble (E ) des points M de l’espace tels que :

(−−→ BC ∧

−−→ BA

)

∧ −−→ BM =

−→ 0 .

c. Déterminer l’ensemble (F ) des points M de l’espace tels que :

(−−→ BC ∧

−−→ BA

)

· −−→ BM = 0.

2. On appelle P le barycentre du système {(A, 2);(C, −1)}.

a. Montrer que P est le symétrique de C par rapport à A.

b. Soit (G ) l’ensemble des points M de l’espace tels que : ∥

∥2 −−→ MA −

−−→ MC

∥= ∥

∥− −−→ MA +2

−−→ MB −

−−→ MC

∥ .

Déterminer l’ensemble (G ).

Montrer que le point A appartient à l’ensemble (G ).

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. L’unité gra-

phique est 4 cm. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que :

a = 1, b = ei π 3 , c =

3

2 +

p 3

2 i, d =

p 3

2 e−i

π 6 .

1. a. Donner la forme exponentielle de c et la forme algébrique de d .

b. Représenter les points A, B, C et D.

c. Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.

2. Montrer que les points D, A et C sont alignés.

3. Déterminer l’angle θ et le rapport k de la similitude directe s de centre O qui transforme A en C.

4. On note F et G les images par la similitude directe s des points D et C respec- tivement. Montrer que les points F, C et G sont alignés.

5. Déterminer l’affixe f du point F.

6. On considère la transformation ϕ qui à tout point M , d’affixe Z , associe le point M ′ d’affixe Z ′ telle que :

Z ′ = ei 2π 3 Z +

3

2 + i

p 3

2 .

Pour toute droite δ du plan, on notera σδ la symétrie orthogonale d’axe δ.

a. Soit r la transformation qui à tout point M1 d’affixe Z1, associe le point M ′1 d’affixe Z

′ 1, telle que :

Z ′1 = e −i 2π3 Z1+

3

2 + i

p 3

2

Déterminer la nature de r et donner ses éléments caractéristiques.

b. Enutilisant les nombres complexes, donner unemesure de l’angle (−−→ AO ,

−−→ AB

)

,

puis déterminer la droite ∆ telle que :

r =σ∆ ◦σ(AO).

Métropole 2 septembre 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

c. Montrer que ϕ= r σ(AO). En déduire la nature de ϕ.

PROBLÈME 11 points Enseignement obligatoire et de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

. L’unité graphique est 4 cm

sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= (2+cosx)e1−x .

On note (C ) la courbe représentative de f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Montrer que, pour tout x de R : f (x)> 0.

2. a. Montrer que, pour tout x de R : p 2cos

(

xπ

4

)

= cosx+ sinx.

b. En déduire que, pour tout x de R : 2+cosx+ sinx > 0.

c. Montrer que f est strictement décroissante sur R.

3. a. Montrer que, pour tout x de R : e1−x 6 f (x)6 3e1−x .

b. En déduire les limites de f en +∞ et en −∞.

c. Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite de f en +∞.

4. a. Montrer que, sur l’intervalle [0 ; π], l’équation f (x) = 3 admet une solu- tion unique α.

b. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2.

5. Représenter la courbe (C ) sur [0 ; 4].

Partie B

Onveut calculer l’aire,A , exprimée enunités d’aire, dudomaine limité par la courbe (C ), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1.

1. Montrer que : A = 2e−2+ ∫1

0 cos te1−t dt .

2. On pose I = ∫1

0 cos t e1−t dt et J =

∫1

0 sin t e1−t dt .

a. À l’aide de deux intégrations par parties, montrer que : I =−cos1+e− J et J = −sin1+1.

b. En déduire la valeur de I.

3. Déterminer la valeur exacte de A en unités d’aire, puis donner une valeur approchée de A à 10−2 près par défaut.

Partie C

Soit h la fonction définie sur R par : h(x)=−1− sinx

2+cosx .

1. a. Montrer que la fonction h admet des primitives sur R.

b. Calculer la primitive H de la fonction h, qui prend en 0 la valeur (1+ ln3).

2. a. Déterminer ln (

f (x) )

pour tout x de R.

b. Étudier le sens de variation de la fonction H .

Métropole 3 septembre 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

c. Déterminer le tableau de variations de H .

3. On appelle Γ la courbe représentative de la fonction définie sur R par

x 7→ 1− x+ ln(2+cosx). (On ne demande pas de représenter Γ).

On appelle ∆ la droite d’équation y =−x+1.

a. Étudier la position relative de Γ et de ∆.

b. Déterminer les abscisses des points communs à Γ et ∆.

4. a. Établir une équation de la tangente T à Γ au point d’abscisse 0.

b. Étudier la position relative de Γ et T.

5. Montrer que la courbe Γ est contenue dans une bande du plan limitée par deux droites parallèles dont on donnera des équations.

Métropole 4 septembre 2000

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