Exercices sur la modélisation mathématique - 11, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur la probabilité des évènements 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la somme des carrés des n, la courbe d’équation, l’ensemble des nombres réels.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1982 Nice \

EXERCICE 1 4 points

Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On suppose n> 3. On tire une boule, qu’on remet dans l’urne après en avoir noté le numéro. On admet que le tirage de chacune des boules est équiprobable. Puis on tire une seconde boule et on en note le numéro. On appelle X la variable aléatoire définie de la façon suivante :

– si les numéros sont égaux, X prend leur valeur commune, – si les numéros sont différents, X prend la valeur du plus grand des deux.

1. Trouver la probabilité des évènements suivants :

– E1 : X prend la valeur 1. – E2 : X prend la valeur 2. – E3 : X prend la valeur 3. – Ep : X prend la valeur p (p entier tel que 16 p 6n).

2. Calculer l’espérance de X.

On rappelle que la somme des n premiers entiers non nuls est

n

p=1 p =

n(n+1)

2 .

et que la somme des carrés des n premiers nombres entiers non nuls est

n

p=1 p2 =

n(n+1)(2n+1)

6 .

EXERCICE 2 4 points

Le plan affine euclidien est rapporté au repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes

x′Ox, y ′Oy . Soit C la courbe d’équation

x2−3y2+8x+12y +16 = 0.

1. Démontrer que C est une conique dont on précisera les éléments caractéris- tiques : centre, axes de symétrie, foyers, directrices, asymptotes, excentricité.

Tracer C .

2. Soit (D) la droite d’équation y −3= 0.

On désigne par d(M , D) la distance du point M à la droite (D). Soit P le point de coordonnées (−4 ; 6) ; d(M , P) désigne la distance de M à P.

Quel est l’ensemble des points M tels que d(M , P)= 2d(M , D) ?

PROBLÈME 12 points

On désigne par R, l’ensemble des nombres réels et par R⋆ + l’ensemble des nombres

réels strictement positifs.

Partie A

Terminale C A. P. M. E. P.

On appelle P2 l’ensemble des fonctions polynômes P définies par

(∀x ∈R) P (x)= ax2+bx+c,

où (a, b, c) est élément de R3. On appellera θ la fonction polynôme nulle. On rappelle que P2 est un espace vectoriel sur R, de dimension trois, dont la base canonique est (e0, e1, e2) avec

(∀x ∈R) e0(x)= 1, e1(x)= x, e2(x)= x 2.

On considère l’application ϕ de P2 dans P2, qui à tout élément P associe ϕ(P )=Q , avecQ défini par la relation

(1) (∀x ∈R) : [ϕ(P )](x)=Q(x)= x2P ′′− (αx+α−1)P ′(x)+P (x)

α est un réel donné, P ′ et P ′′ étant les fonctions dérivées première et seconde de P .

1. a. Montrer que ϕ est un endomorphisme de P2.

b. Calculer ϕ (e0) , ϕ (e1) , ϕ (e2) en fonction de e0, e1, e2.

P étant défini par

(∀x ∈R) P (x)= ax2+bx+c,

calculer <ϕ(P ) en fonction de e0, e1, e2.

2. Montrer que si α∈R−

{

1 ; 3

2

}

, (

ϕ (e0) , ϕ (e1) , ϕ (e2) )

est une base de P2.

En déduire que ϕ est un automorphisme de P2.

Déterminer la fonction polynôme P telle que ϕ(P )= θ.

3. Dans cette question, on suppose α= 1.

a. Calculer alors ϕ (e0) , ϕ (e1) , ϕ (e2).

b. Montrer que ϕ est une projection vectorielle dont on précisera les élé- ments géométriques.

c. Comment faut-il choisir Q dans P2 pour qu’il existe des fonctions poly- nômes P de P2 vérifiant ϕ(P )=Q ?

On donneQ défini parQ(x)= x2−2. Trouver les fonctions polynômes P solutions de ϕ(P )=Q .

4. Dans cette question, on suppose α= 3

2 .

a. Calculer ϕ (e0) , ϕ (e1) , ϕ (e2).

b. En déduire Imϕ.

c. Déterminer Kerϕ.

Partie B

On se propose dans cette partie d’étudier l’ensemble F des fonctions f de R⋆+ dans R, deux fois dérivables, et vérifiant la relation

(2)(∀x ∈R⋆+), x 2 f ′′(x)− x f ′(x)+ f (x)= 0.

1. Vérifier que la fonction f définie sur R⋆+ par f (x)= kx, k ∈ R, est une solution de (2). Comparer à A 3.

2. On se propose de chercher les éléments f deF , sous la forme f (x)= xg (x) où g est une fonction deux fois dérivable sur R.

Nice 2 juin 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

a. Vérifier que (2) équivaut à

xg ′(x)= d ,

d est une constante réelle arbitraire.

b. En déduire la forme générale des fonctions g puis celles des fonctions f .

3. Soit h, la fonction définie sur R⋆ + par

h(x)= xLog x−2x.

a. Montrer que h est un élément de F .

b. On définit la fonction h par

{

h(x) = h(x) six ∈R⋆ +

h(0) = 0

Étudier la continuité et la dérivabilité de h pour x = 0.

Étudier les variations de h et donner sa représentation graphique dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. On prendra ∥

−→ ı

∥=

−→

∥= 1 cm.

Préciser la tangente à l’origine.

Nice 3 juin 1982

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