Exercices sur la modélisation mathématique - 12, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur la similitude directe plane 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la rotation, l’axe.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1982 Orléans-Tours \

EXERCICE 1 4 points

1. Résoudre dans C, corps des nombres complexes, l’équation (1)

(1) 2(1+ i)z2+2(a+ i)z+ ia(1− i)= 0

z est l’inconnue complexe et a un paramètre réel.

2. À tout nombre complexe z, on associe dans le plan affine euclidien rapporté

au repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

le point M d’affixe z.

Déterminer l’ensemble E des points, images des solutions de l’équation (1), quand a décrit R.

3. Quel est l’ensemble transformé de l’ensemble E par la similitude directe plane

S, de centre I

(

− 1

2 ; −

1

2

)

, d’angle π

4 , de rapport

p 2

2 ?

EXERCICE 2 4 points

E est un espace affine euclidien orienté de dimension 3, rapporté à un repère ortho-

normé direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

.

On appelle C le cube de sommets : O, A, B, C, D, E, F, G, défini par

−−→ OA =

−→ ı ,

−−→ OC =

−→ ,

−−→ OB =

−→ ı +

−→ ,

−→ AE =

−−→ OD =

−−→ CG =

−→ BF =

−→ k .

1. Dessiner C ; soit r1 la rotation de E , d’axe (OA) dirigé par −→ ı , dont unemesure

de l’angle est + π

2 ; soit r2 la rotation de E , d’axe (OC) dirigé par

−→ , dont une

mesure de l’angle est − π

2 .

On pose f = r2 ◦ r1 et g = r1 ◦ r2. Montrer que f et g sont des relations de E , définies par

f : E → E g : E → E

M

x

y

z

7−→ f (M)

y z x

M

x

y

z

7−→ g (M)

z x y

(On ne cherchera ni l’axe ni l’angle de chacune des rotations f et g ).

2. On note A1, B1, C1, D1, E1, F1, G1, les images respectives par f des points A, B, C, D, E, F, G, et A2, B2, C2, D2, E2, F2, G2, les images respectives par g des points A, B, C, D, E, F, G.

Montrer que {A1, B1, C1, D1, E1, F1, G1} = {A2, B2, C2, D2, E2, F2, G2}

3. On pose ϕ= g f −1. Quelle est l’image C2 par ϕ de la liste ordonnée de points C1 = (A1, B1, C1, D1, E1, F1, G1) ?

Montrer que ϕ est une rotation dont on précisera l’axe.

PROBLÈME 4 points

Terminale C A. P. M. E. P.

Partie A

Soit f la fonction numérique d’une variable réelle définie par

x 7−→ f (x)= xLog ∣

1+ 1

x

où Log désigne la fonction logarithme népérien de base e.

1. Préciser l’ensemble de définition D f de f ; étudier la continuité et la dérivabi- lité de f , en énonçant les théorèmes utilisés.

2. a. Étudier la dérivabilité de f ′, fonction dérivée de f , et en déduire les va- riations de f ′,.

b. Soit F la restriction de f ′ à l’intervalle I=]−1 ; 0[. Démontrer que F est une bijection de I sur un intervalle à préciser. En déduire que dans I, l’équation f ′(x)= 0 admet une solution unique, no- tée a ; on ne cherchera pas à calculer a, mais onmontrera que a > 2.

c. Calculer lim x→−∞

f ′(x) et lim x→+∞

f ′(x).

d. Des résultats précédents, déduire le signe de f ′(x) pour x ∈ D f ′ et les variations de f .

3. Déterminer les limites de f aux bornes des intervalles de D f ′ (on pourra utili-

ser le changement de variable X = 1

x ).

4. Pour une étude locale de f au voisinage de zéro, on adoptera le plan suivant :

Soit h la fonction de R dans R définie par

h : R → R x 6= 0 7−→ h(x)= f (x) 0 7−→ h(0)= 0.

a. Démontrer que h est le prolongement par continuité de f en zéro.

b. Étudier la dérivabilité de h en zéro.

Conclusion de la partie A : Donner le tableau de variations de f et construire la courbe (C ) représentative de f dans P plan affine euclidien muni du repère ortho-

normé (

O, −→ ı ,

−→

)

, en précisant l’intersection de (C ) avec l’axe des abscisses.

Partie B

P est le plan affine euclidien muni du repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Soit s l’appli-

cation de P dans P définie par

s : P → P

M

x

y 7−→ s(M)=M

x′ = −x−1 y ′ = y

1. Déterminer la nature et les points invariants de s.

2. Soit (C ′) l’image de (C ) par s, (C ) étant la courbe représentative dans P de la fonction f étudiée dans la partie A. Construire (C ′) dans le même repère que (C ).

Soit g la fonction de R dans R admettant (C ′) comme courbe représentative

dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. Calculer g (x) et préciser Dg ensemble de définition

de g .

3. Résoudre algébriquement dans R l’équation f (x)= g (x).

Partie C

Orléans-Tours 2 juin 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

1. Justifier que ∀n ∈N⋆, f (n)< 1< g (n). En déduire l’encadrement suivant de e :

(

1+ 1

n

)n

< e< (

1+ 1

n

)n+1 .

Préciser cet encadrement pour n = 1. Soit (n) la largeur de cet encadrement c’est-à-dire

l(n)= (

1+ 1

n

)n+1 −

(

1+ 1

n

)n

.

Démontrer que ∀n ∈N⋆, (n) est majoré par 4

n et minoré par

2

n .

2. Donner un rang à partir duquel l’encadrement ci-dessus de e permet d’obte- nir une valeur approchée de e à 10−3 près, c’est-à-dire

(

1+ 1

n

)n

−e ∣

< 10−3.

Orléans-Tours 3 juin 1982

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