Exercices sur la modélisation mathématique 13, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 13, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

PDF (44.5 KB)
3 pages
172Numéro de visites
Description
Exercices sur la modélisation mathématique - les affixes - 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les points d’affixes respectives, le nombre de tirages possibles, la probabilité de l’évènement.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
PolynesieS2000.dvi

[ Baccalauréat S Polynésie juin 2000 \

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, unité graphique 4

cm. Dans l’ensemble des nombres complexes C, i désigne le nombre de module 1,

et d’argument π

2 .

On appelle f l’application, qui, à tout nombre complexe z différent de −2, associe

Z = f (z)= z−2+ i z+2i

.

1. Si z = x+ iy, x et y étant deux réels, exprimer la partie réelle et la partie ima- ginaire de Z en fonction de x et de y .

On vérifiera que ℜ(Z )= x2+ y2−2x+3y +2

x2+ (y +2)2 .

En déduire la nature de :

a. l’ensemble E des points M d’affixe z, tels que Z soit un réel ;

b. l’ensemble F des pointsM d’affixe z duplan, tels que Z soit un imaginaire pur éventuellement nul.

c. Représenter ces deux ensembles.

2. On appelle A et B les points d’affixes respectives zA = 2− i et zB =−2i. En remarquant que Z =

zzA zzB

, retrouver les ensembles E et F par une mé-

thode géométrique.

3. Calculer | f (z)−1|×|z+2i|, et en déduire que les points M ′ d’affixe Z , lorsque le point M d’affixe z parcourt le cercle de centre B et de rayon

p 5, sont tous

sur unmême cercle dont on précisera le rayon et l’affixe du centre.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 4 jetons blancs marqués 0 ; 3 jetons rouges marqués 7 ; 2 jetons blancs marqués 2 ; 1 jeton rouge marqué 5.

1. On tire simultanément 4 jetons du sac.

Quel est le nombre de tirages possibles ?

2. On suppose que tous les tirages sont équiprobables, et on considère les évè- nements suivants :

A : « Les quatre numéros sont identiques ».

B : « Avec les jetons tirés, on peut former le nombre 2000 ».

C : « Tous les jetons sont blancs ».

D : « Tous les jetons sont de la même couleur ».

E : « Aumoins un jeton porte un numéro différent des autres ».

a. Montrer que la probabilité de l’évènement B , est 4

105 .

b. Calculer la probabilité des évènements A, C , D, E .

c. On suppose que l’évènement C est réalisé, calculer alors la probabilité de l’évènement B .

On établit la règle de jeu suivante :

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

— Si le joueur peut former 5000, il gagne 75 F. — Si le joueur peut former le nombre 7000, il gagne 50 F. — Si le joueur peut former le nombre 2000, il gagne 20 F. — Si le joueur peut former le nombre 0000, il perd 25 F. Pour tous les autres tirages, il perd 5 F.

G est la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

Établir la loi de probabilité deG et calculer l’espérance mathématique de G.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. On cherche deux entiers relatifs x et y solutions de l’équation

(1) ax+by = 60 (a et b entiers naturels donnés tels que ab 6= 0). On notera d le plus grand commun diviseur de a et b.

a. On suppose que l’équation (1) a au moins une solution (x0 ; y0). Montrer que d divise 60.

b. On suppose que d divise 60. Prouver qu’il existe alors aumoins une solu- tion (x0 ; y0) à l’équation (1).

2. On considère l’équation : (2) 24x+36y = 60. (x et y entiers relatifs).

a. Donner le PGCDde24 et 36 en justifiant brièvement. Simplifier l’équation (2).

b. Trouver une solution évidente pour l’équation (2) et résoudre cette équa- tion. On appellera S l’ensemble des couples (x ; y) solutions.

c. Énumérer tous les couples (x ; y) solutions de (2) et tels que :

−106 x 6 10.

Donner parmi eux, ceux pour lesquels x et y sont multiples de 5.

d. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm), représenter l’ensemble E des points M de coordonnées (x ; y) telles que :

{

x = 1+3t y = 1−2t t ∈R.

e. Montrer que les points ayant pour coordonnées les solutions (x ; y) de l’équation (2) appartiennent à E .

Comment peut-on caractériser S ?

PROBLÈME 10 points

Partie A

On considère la fonction numérique f , de la variable réelle x, définie sur R par :

f (x)= e−x sinx.

On appelle (C f ) la courbe d’équation y = f (x) dans le plan rapporté à un repère orthogonal

(

O, −→ ı ,

−→

)

.

On prendra 2 cmpour 1 unité sur l’axe des ordonnées, et 6 cmpour π unités sur l’axe des abscisses.

1. Montrer que, pour tout réel x, − e−x 6 f (x)6 e−x . En déduire lim

x→+ ∞ f (x) et l’existence d’une asymptote pour la courbe (C f ).

Polynésie 2 juin 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Montrer que la fonction dérivée de f vérifie :

f ′(x)=− p 2e−x cos

(

x+ π

4

)

, pour x élément de R.

3. On étudie la fonction f sur l’intervalle [

π

2 ; π

]

.

Recopier et compléter le tableau suivant :

x π

2 π

x+ π

4

π

2

Signe de cos (

x+ π

4

)

En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [

π

2 ; π

]

.

4. Représenter la fonction f sur l’intervalle [

π

2 ; π

]

ainsi que les courbes (C1)

et (C2) d’équations y =−e−x et y = e−x .

5. Déterminer algébriquement sur R, puis sur [

π

2 ; π

]

, les coordonnées des

points communs à :

a. (C f ) et l’axe des abscisses.

b. (C f ) et (C1).

c. (C f ) et (C2).

6. Déterminer un réel α tel que, pour x >α, on ait | f (x)|6 10−2.

Partie B

Le but de cette partie est de déterminer une primitive F de la fonction f sur R.

1. En calculant les dérivées successives de la fonction f jusqu’à l’ordre 4 (on rappelle que f (x) = e− x sinx), trouver une relation entre la fonction f et sa dérivée d’ordre 4 notée f (4).

2. En déduire qu’on peut choisir F (x)=− 1

4 f (3)(x).

3. On pose I = ∫

π

0 e−x sinx dx. Montrer que I =

e+1 2

.

Partie C

Pour tout entier naturel n, on pose : In = ∫(2n+1)π

2nπ f (x)dx.

1. Vérifier que I0 = I et interpréter I0 comme l’aire d’un domaine plan. Hachu- rer ce domaine.

2. Montrer que, pour tout naturel n, In = e−2

2 (e−π+1) .

3. Prouver que la suite (In )n∈N est une suite géométrique.

Calculer sa raison.

4. Prouver que la suite (In )n∈N converge et préciser sa limite.

Polynésie 3 juin 2000

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome