Exercices sur la modélisation mathématique 13, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 13, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique - les affixes - 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les points d’affixes respectives, le nombre de tirages possibles, la probabilité de l’évènement.
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[ Baccalauréat S Polynésie juin 2000 \

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, unité graphique 4

cm. Dans l’ensemble des nombres complexes C, i désigne le nombre de module 1,

et d’argument π

2 .

On appelle f l’application, qui, à tout nombre complexe z différent de −2, associe

Z = f (z)= z−2+ i z+2i

.

1. Si z = x+ iy, x et y étant deux réels, exprimer la partie réelle et la partie ima- ginaire de Z en fonction de x et de y .

On vérifiera que ℜ(Z )= x2+ y2−2x+3y +2

x2+ (y +2)2 .

En déduire la nature de :

a. l’ensemble E des points M d’affixe z, tels que Z soit un réel ;

b. l’ensemble F des pointsM d’affixe z duplan, tels que Z soit un imaginaire pur éventuellement nul.

c. Représenter ces deux ensembles.

2. On appelle A et B les points d’affixes respectives zA = 2− i et zB =−2i. En remarquant que Z =

zzA zzB

, retrouver les ensembles E et F par une mé-

thode géométrique.

3. Calculer | f (z)−1|×|z+2i|, et en déduire que les points M ′ d’affixe Z , lorsque le point M d’affixe z parcourt le cercle de centre B et de rayon

p 5, sont tous

sur unmême cercle dont on précisera le rayon et l’affixe du centre.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 4 jetons blancs marqués 0 ; 3 jetons rouges marqués 7 ; 2 jetons blancs marqués 2 ; 1 jeton rouge marqué 5.

1. On tire simultanément 4 jetons du sac.

Quel est le nombre de tirages possibles ?

2. On suppose que tous les tirages sont équiprobables, et on considère les évè- nements suivants :

A : « Les quatre numéros sont identiques ».

B : « Avec les jetons tirés, on peut former le nombre 2000 ».

C : « Tous les jetons sont blancs ».

D : « Tous les jetons sont de la même couleur ».

E : « Aumoins un jeton porte un numéro différent des autres ».

a. Montrer que la probabilité de l’évènement B , est 4

105 .

b. Calculer la probabilité des évènements A, C , D, E .

c. On suppose que l’évènement C est réalisé, calculer alors la probabilité de l’évènement B .

On établit la règle de jeu suivante :

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

— Si le joueur peut former 5000, il gagne 75 F. — Si le joueur peut former le nombre 7000, il gagne 50 F. — Si le joueur peut former le nombre 2000, il gagne 20 F. — Si le joueur peut former le nombre 0000, il perd 25 F. Pour tous les autres tirages, il perd 5 F.

G est la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

Établir la loi de probabilité deG et calculer l’espérance mathématique de G.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. On cherche deux entiers relatifs x et y solutions de l’équation

(1) ax+by = 60 (a et b entiers naturels donnés tels que ab 6= 0). On notera d le plus grand commun diviseur de a et b.

a. On suppose que l’équation (1) a au moins une solution (x0 ; y0). Montrer que d divise 60.

b. On suppose que d divise 60. Prouver qu’il existe alors aumoins une solu- tion (x0 ; y0) à l’équation (1).

2. On considère l’équation : (2) 24x+36y = 60. (x et y entiers relatifs).

a. Donner le PGCDde24 et 36 en justifiant brièvement. Simplifier l’équation (2).

b. Trouver une solution évidente pour l’équation (2) et résoudre cette équa- tion. On appellera S l’ensemble des couples (x ; y) solutions.

c. Énumérer tous les couples (x ; y) solutions de (2) et tels que :

−106 x 6 10.

Donner parmi eux, ceux pour lesquels x et y sont multiples de 5.

d. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm), représenter l’ensemble E des points M de coordonnées (x ; y) telles que :

{

x = 1+3t y = 1−2t t ∈R.

e. Montrer que les points ayant pour coordonnées les solutions (x ; y) de l’équation (2) appartiennent à E .

Comment peut-on caractériser S ?

PROBLÈME 10 points

Partie A

On considère la fonction numérique f , de la variable réelle x, définie sur R par :

f (x)= e−x sinx.

On appelle (C f ) la courbe d’équation y = f (x) dans le plan rapporté à un repère orthogonal

(

O, −→ ı ,

−→

)

.

On prendra 2 cmpour 1 unité sur l’axe des ordonnées, et 6 cmpour π unités sur l’axe des abscisses.

1. Montrer que, pour tout réel x, − e−x 6 f (x)6 e−x . En déduire lim

x→+ ∞ f (x) et l’existence d’une asymptote pour la courbe (C f ).

Polynésie 2 juin 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Montrer que la fonction dérivée de f vérifie :

f ′(x)=− p 2e−x cos

(

x+ π

4

)

, pour x élément de R.

3. On étudie la fonction f sur l’intervalle [

π

2 ; π

]

.

Recopier et compléter le tableau suivant :

x π

2 π

x+ π

4

π

2

Signe de cos (

x+ π

4

)

En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [

π

2 ; π

]

.

4. Représenter la fonction f sur l’intervalle [

π

2 ; π

]

ainsi que les courbes (C1)

et (C2) d’équations y =−e−x et y = e−x .

5. Déterminer algébriquement sur R, puis sur [

π

2 ; π

]

, les coordonnées des

points communs à :

a. (C f ) et l’axe des abscisses.

b. (C f ) et (C1).

c. (C f ) et (C2).

6. Déterminer un réel α tel que, pour x >α, on ait | f (x)|6 10−2.

Partie B

Le but de cette partie est de déterminer une primitive F de la fonction f sur R.

1. En calculant les dérivées successives de la fonction f jusqu’à l’ordre 4 (on rappelle que f (x) = e− x sinx), trouver une relation entre la fonction f et sa dérivée d’ordre 4 notée f (4).

2. En déduire qu’on peut choisir F (x)=− 1

4 f (3)(x).

3. On pose I = ∫

π

0 e−x sinx dx. Montrer que I =

e+1 2

.

Partie C

Pour tout entier naturel n, on pose : In = ∫(2n+1)π

2nπ f (x)dx.

1. Vérifier que I0 = I et interpréter I0 comme l’aire d’un domaine plan. Hachu- rer ce domaine.

2. Montrer que, pour tout naturel n, In = e−2

2 (e−π+1) .

3. Prouver que la suite (In )n∈N est une suite géométrique.

Calculer sa raison.

4. Prouver que la suite (In )n∈N converge et préciser sa limite.

Polynésie 3 juin 2000

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