Exercices sur la modélisation mathématique - 13, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur le plan affine euclidienmuni d’un repère orthonormé 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la nature de l’application f, les éléments caractéristiques de f .
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[ Baccalauréat C septembre 1982 Paris 1 \

EXERCICE 1 4 points

Dans le plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

on considère

l’ensemble E des points M dont les coordonnées (x ; y) vérifient la relation :

(x−1)2+ (y −1)2 =

(

x+ y −4

2

)2

.

1. Démontrer que E est une conique de centre O ; préciser les éléments caracté- ristiques : foyers, directrices, excentricité, axe principal.

2. On définit une application f du plan euclidien orienté dans lui-même qui à chaque point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = 1− i

2 z.

Quelle est la nature de l’application f ?

Préciser les éléments caractéristiques de f .

3. Déterminer l’image de E par f ; on précisera les éléments caractéristiques de cette image.

PROBLÈME 12 points

1. a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a, b, c pour que

chaque courbe Ca ?b" et l’asymptote correspondante se coupent en un point ; ce

point est-il unique ? b) On appelle 8 l’espace vectoriel des fonctions de IR dans IR.

Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de 8 de dimension trois dont on don-

nera une base. 2. On appelle cp l’application qui à chaque fonction Ia.b.c apparte-

nant à , associe la fonction CP(1a.b.’) défmie par : Vx E IR, CP(Ia,b„)(X) = la.b)4 - x).

a) Démontrer que CP(Ia,b,’) appartient à F et que cp est un automorphisme de F.

Déterminer cp 0 cp. Trouver les fonctions Ia.b.c telles que CP(1a.b.’) = fa,b.’ ; En dé-

duire la nature de l’application cp. Donner alors un élément de symétrie des courbes

Ca,b.c correspondantes. d) Trouver les fonctions fa.b.c telles que cp(fa.b.c) = - Ia,bc’

Donner un élément de symétrie des courbes Ca ?b ?c correspondantes. 3. On appelle

’P l’application qui à chaque fonction la b,c appartenant à , associe la fonction ’P(fa

b c) défmie pour tout x rêel par : 2 ; t ’P(Ia.b.C)(X) = (x - 4x + 5)fa,b,c(X) où f .b.c est

la fonction dérivée de Ia.b,c· Démontrer que ’P est un endomorphisme de F. Déter-

miner Ia,b,c E F ; ’P(Ia.b.c) = 0 , 0 étant l’application nulle. 177 C Septembre 1982.

Extrait. Soit un plan affme euclidien Pmuni d’un repère orthonormé direct O ; u, V).

Dans tout le problème cx est un nombre réel donné, élément de 0, [. A tout réel t

sont associés les points M, et N, du plan P dont es coordonnées respectives sont :

MJl + tcoscx ;O) NJ-l ;t sin cx). A) Soit G, le milieu du segment [M" N,] et (C,) le cercle

de diamètre [M" N,]. 1. Montrer que l’ensemble des points G" lorsque t parcourt IR,

est une droite. 2. Montrer qu’il existe dans P un unique point, noté dans distinct de

No et tel que, pour tER, T appartienne au cercl coordonnées de T ne sont pas exi-

gées. 3. Montrer que pour tout réel t les angles des couples t (TMo, TM,) et (TNo,

TN,) sont égaux. D) A tout point M de coordonnées (x, y) dans le repère (C plan P on

associe son affIXe z = x + iy. Soit S l’applica dans P qui au point M d’affixe z associe

le point M’ d’afft : + iy’, (x’, y’)E 1R2, défIni par : z’ = iztgcx - (1 + itgcx). 1. Montrer

1. Créteil, Versailles

Terminale C A. P. M. E. P.

que S admet un unique point invariant K dont or les coordonnées dans le repère (0 ;

u, V). Reconnaître l’application S. VérifIer que pour tout réel t S( 2. Montrer que K,

le point invariant de S, appartient, pour t au cercle (C,). En déduire que K = T. C) On

considère l’application S’ de P dans P qui au point M associe le point M’ d’affIxe z’

défmi par : z’ = iz tg cx - (1 + itgcx), où z désignant le nombre complexe conjugué de

z. 1. Montrer que S’admet un unique point invariant K’ calculera les coordonnées. 2.

VérifIer que pour tout réel t S’(M,) = N, et que les angles dt de droites (K’Mo, K’M,) et

(K’N" K’No) sont égaux. D) On désigne par F l’ensemble des applications affmes f de

telles que, pour tout réel t, f(M,) = N,. 1. Soit te IR. Montrer que M, est le barycentre

des points 1 affectées de coefficients convenables dépendant de t et précisera. 2. Soit

f une application de P dans P qui au point z = x + iy, (x, y) E 1R2, associe le point

M’ d’affIXe z’ = (x’, y’) E 1R2. Montrer que f appartient à F si, et seulement s il existe

des complexes p, q et r tels que : z’ = pz + qz + r r = - (1 + itgcx) (quel que soit M dans

P) p + q = itgcx 3. Avec les notations de la question précédente, pour quels cl et q

l’application f est-elle une similitude directe ?

Rouen 2 septembre 1982

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