Exercices sur la modélisation mathématique - 13, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

Exercices sur la modélisation mathématique - 13, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

PDF (31.9 KB)
2 pages
424Numéro de visites
Description
Exercices sur la modélisation mathématique sur le plan affine euclidienmuni d’un repère orthonormé 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la nature de l’application f, les éléments caractéristiques de f .
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Paris C sept 1982.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C septembre 1982 Paris 1 \

EXERCICE 1 4 points

Dans le plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

on considère

l’ensemble E des points M dont les coordonnées (x ; y) vérifient la relation :

(x−1)2+ (y −1)2 =

(

x+ y −4

2

)2

.

1. Démontrer que E est une conique de centre O ; préciser les éléments caracté- ristiques : foyers, directrices, excentricité, axe principal.

2. On définit une application f du plan euclidien orienté dans lui-même qui à chaque point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = 1− i

2 z.

Quelle est la nature de l’application f ?

Préciser les éléments caractéristiques de f .

3. Déterminer l’image de E par f ; on précisera les éléments caractéristiques de cette image.

PROBLÈME 12 points

1. a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a, b, c pour que

chaque courbe Ca ?b" et l’asymptote correspondante se coupent en un point ; ce

point est-il unique ? b) On appelle 8 l’espace vectoriel des fonctions de IR dans IR.

Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de 8 de dimension trois dont on don-

nera une base. 2. On appelle cp l’application qui à chaque fonction Ia.b.c apparte-

nant à , associe la fonction CP(1a.b.’) défmie par : Vx E IR, CP(Ia,b„)(X) = la.b)4 - x).

a) Démontrer que CP(Ia,b,’) appartient à F et que cp est un automorphisme de F.

Déterminer cp 0 cp. Trouver les fonctions Ia.b.c telles que CP(1a.b.’) = fa,b.’ ; En dé-

duire la nature de l’application cp. Donner alors un élément de symétrie des courbes

Ca,b.c correspondantes. d) Trouver les fonctions fa.b.c telles que cp(fa.b.c) = - Ia,bc’

Donner un élément de symétrie des courbes Ca ?b ?c correspondantes. 3. On appelle

’P l’application qui à chaque fonction la b,c appartenant à , associe la fonction ’P(fa

b c) défmie pour tout x rêel par : 2 ; t ’P(Ia.b.C)(X) = (x - 4x + 5)fa,b,c(X) où f .b.c est

la fonction dérivée de Ia.b,c· Démontrer que ’P est un endomorphisme de F. Déter-

miner Ia,b,c E F ; ’P(Ia.b.c) = 0 , 0 étant l’application nulle. 177 C Septembre 1982.

Extrait. Soit un plan affme euclidien Pmuni d’un repère orthonormé direct O ; u, V).

Dans tout le problème cx est un nombre réel donné, élément de 0, [. A tout réel t

sont associés les points M, et N, du plan P dont es coordonnées respectives sont :

MJl + tcoscx ;O) NJ-l ;t sin cx). A) Soit G, le milieu du segment [M" N,] et (C,) le cercle

de diamètre [M" N,]. 1. Montrer que l’ensemble des points G" lorsque t parcourt IR,

est une droite. 2. Montrer qu’il existe dans P un unique point, noté dans distinct de

No et tel que, pour tER, T appartienne au cercl coordonnées de T ne sont pas exi-

gées. 3. Montrer que pour tout réel t les angles des couples t (TMo, TM,) et (TNo,

TN,) sont égaux. D) A tout point M de coordonnées (x, y) dans le repère (C plan P on

associe son affIXe z = x + iy. Soit S l’applica dans P qui au point M d’affixe z associe

le point M’ d’afft : + iy’, (x’, y’)E 1R2, défIni par : z’ = iztgcx - (1 + itgcx). 1. Montrer

1. Créteil, Versailles

Terminale C A. P. M. E. P.

que S admet un unique point invariant K dont or les coordonnées dans le repère (0 ;

u, V). Reconnaître l’application S. VérifIer que pour tout réel t S( 2. Montrer que K,

le point invariant de S, appartient, pour t au cercle (C,). En déduire que K = T. C) On

considère l’application S’ de P dans P qui au point M associe le point M’ d’affIxe z’

défmi par : z’ = iz tg cx - (1 + itgcx), où z désignant le nombre complexe conjugué de

z. 1. Montrer que S’admet un unique point invariant K’ calculera les coordonnées. 2.

VérifIer que pour tout réel t S’(M,) = N, et que les angles dt de droites (K’Mo, K’M,) et

(K’N" K’No) sont égaux. D) On désigne par F l’ensemble des applications affmes f de

telles que, pour tout réel t, f(M,) = N,. 1. Soit te IR. Montrer que M, est le barycentre

des points 1 affectées de coefficients convenables dépendant de t et précisera. 2. Soit

f une application de P dans P qui au point z = x + iy, (x, y) E 1R2, associe le point

M’ d’affIXe z’ = (x’, y’) E 1R2. Montrer que f appartient à F si, et seulement s il existe

des complexes p, q et r tels que : z’ = pz + qz + r r = - (1 + itgcx) (quel que soit M dans

P) p + q = itgcx 3. Avec les notations de la question précédente, pour quels cl et q

l’application f est-elle une similitude directe ?

Rouen 2 septembre 1982

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome