Exercices sur la modélisation mathématique 15, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
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Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 15, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique - le module - 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer le module et un argument de z1. Déterminer et construire l’ensemble (E).
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[ Baccalauréat S Pondichéry juin 2000 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Un professeur se trouve en possession de 5 clefs de salles. Il se tient devant une porte et il sait que, parmi ses 5 clefs, 2 n’ouvrent pas la porte parce qu’elles sont défectueuses mais les autres le peuvent. Il veut alors les tester toutes, une à une. Le choix des clefs est effectué au hasard et sans remise. On appelle clef numéro x la clef utilisée au x-ième essai.

1. OnappelleD1 l’évènement : « La clef numéro 1 n’ouvre pas la porte ». Calculer sa probabilité.

2. OnappelleD2 l’évènement : « La clef numéro 2 n’ouvre pas la porte ». Calculer la probabilité que l’évènement D2 se réalise, sachant que l’évènement D1 est réalisé.

En déduire la probabilité de l’évènement D1 ∩D2.

On pourra, pour la suite de l’exercice, s’aider d’un arbre pondéré.

3. Quelle est la probabilité de l’évènement : « Les clefs numéros 1 et 2 ouvrent la porte et la clef numéro 3 ne l’ouvre pas » ?

4. Pour 1 6 i < j 6 5, on note (i ; j ) l’évènement : « Les clefs qui n’ouvrent pas la porte sont les clefs numéros i et j », et P (i ; j ) la probabilité de cet évènement.

a. Calculer P (2 ; 4).

b. Calculer P (4 ; 5).

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

; unité gra-

phique 4 cm. On appelle B le point d’affixe i et M1 le point d’affixe :

z1 =

p 3−1

2 (1− i).

1. Déterminer le module et un argument de z1.

2. Soit M2 le point d’affixe z2, image deM1 par la rotation de centre O et d’angle π

2 .

Déterminer le module et un argument de z2.

Montrer que le point M2 est un point de la droite (D) d’équation y = x.

3. Soit M3 le point d’affixe z3, image de M2 par l’homothétie de centre O et de rapport

p 3+2.

a. Montrer que z3 =

p 3+1

2 (1+ i ).

b. Montrer que les points M1 et M3 sont situés sur le cercle de centre B et de rayon

p 2.

4. Construire, à la règle et au compas, les points M1, M2 et M3 en utilisant les questions précédentes ; on précisera les différentes étapes de la construction.

5. À tout point M du plan d’affixe z (distinct de B), on associe le point M ′, d’af-

fixe Z telle que Z = 1

i− z .

Déterminer et construire l’ensemble (E) des points M du plan (M distinct de B) tels que M ′ appartienne au cercle de centre O et de rayon 1.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Dans tout l’exercice, n désigne un entier naturel non nul.

1. a. Pour 16n6 6, calculer les restes de la division euclidienne de 3n par 7.

b. Démontrer que, pour tout n, 3n+6−3n est divisible par 7. En déduire que 3n et 3n+6 ont le même reste dans la division par 7.

c. À l’aide des résultats précédents, calculer le reste de la division eucli- dienne de 31000 par 7.

d. De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3n par 7, pour n quelconque ?

e. En déduire que, pour tout entier naturel n,3n est premier avec 7.

2. SoitUn = 1+3+32 +·· ·+3n−1 = i=n−1 ∑

i=0 3i , où n est un entier naturel supérieur

ou égal à 2.

a. Montrer que siUn est divisible par 7, alors 3n −1 est divisible par 7.

b. Réciproquement, montrer que si 3n − 1 est divisible par 7, alors Un est divisible par 7.

En déduire les valeurs de n telles queUn soit divisible par 7.

PROBLÈME 11 points

Partie A

⋆ Étude de la fonction g : x 7→ ln

(

3+ x

3− x

)

Soit la fonction g définie sur ]−3 ; 3[ par : g (x)= ln

(

3+ x

3− x

)

.

1. Étudier la parité de la fonction g .

2. a. Calculer les limites de g en −3 et en 3.

b. Étudier le sens de variation de g sur [0 ; 3[.

Dresser son tableau de variation sur ]−3 ; 3[.

3. soit (

O, −→ ı ,

−→

)

un repère orthonormal d’unité graphique 4 centimètres. Soit

(C ) la courbe représentative de la fonction g dans ce repère.

a. Déterminer une équation de la tangente (T ) à (C ) au point d’abscisse 0.

b. Tracer dans le repère la courbe (C ) et sa tangente (T ).

4. Étudier le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

5. a. Calculer la dérivée de la fonction x 7→ xg (x).

b. Calculer l’aire, exprimée en cm2, de la portion de plan délimitée par la courbe (C ), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1. On donnera la valeur exacte de cette aire, puis une valeur approchée aumm2

près.

Partie B

⋆ Étude d’une courbe paramétrée

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

d’unité graphique 4 centi-

mètres. Soit la courbe paramétrée (Γ) définie par :

Pondichéry 2 juin 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

{

x(t) = t (

3− t2 )

y(t) = t g (t) pour t ∈ [−2 ; 2].

g désigne la fonction étudiée dans la partie A. On noteM(t) le point de coordon- nées (x(t) ; y(t).

1. a. Comparer d’une part x(t) et x(−t) et d’autre par y(t) et y(−t).

b. Par quelle transformation peut-on passer de M(t) àM(−t) ?

En déduire que (Γ) admet un axe de symétrie que l’on précisera.

2. Étudier la fonction x : t 7→ t (

3− t2 )

et dresser son tableau de variations sur [0 ; 2].

3. En utilisant la partie A., montrer que la fonction t 7→ y(t) est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 2].

4. Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions t 7→ x(t) et t 7→ y(t) sur [0 ; 2].

5. Pour quelles valeurs de t l’abscisse deM(t) est-elle nulle ?

Préciser alors les ordonnées des points correspondants de (Γ).

6. Tracé de (Γ)

a. Placer, dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, les pointsM(0),M(1),M (p

3 )

etM(2) qui

correspondent respectivement aux valeurs 0, 1, p 3 et 2 du paramètre t .

b. Préciser un vecteur directeur des tangentes à (Γ) aux points M(0) et M(1) et tracer ces tangentes.

c. Tracer (Γ).

Pondichéry 3 juin 2000

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