Exercices sur la modélisation mathématique 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

PDF (45.9 KB)
3 pages
130Numéro de visites
Description
Exercices sur la modélisation mathématique - la probabilité des évènements - 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Montrer la probabilité de l’évènement, Donner l’écriture algébrique du nombre complexe de ...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
AmeriqueduSudSnov2000.dvi

[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2000 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Un sac contient trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2, indiscernables au toucher. On tire une boule du sac, on note son numéro x et on la remet dans le sac, puis on tire une seconde boule, on note son numéro y et on la remet dans le sac. Toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées. À chaque tirage de deux boules, on associe dans le plan, muni d’un repère ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→

)

, le point M de coordonnées (x ; y).

On désigne parD le disque de centre O et de rayon 1,7. Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.

1. Placer dans le plan muni du repère (O ; −→ ı ,

−→ ) les points correspondant aux

différents résultats possibles.

2. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

A « Le point M est sur l’axe des abscisses » ;

B « Le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 ».

3. a. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules, associe la somme x2+y2. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . Calculer son espérance mathématique E(X ).

b. Montrer que la probabilité de l’évènement « le pointM appartient audisque

D » est égale à 4

9 .

4. On tire 5 fois de suite, de façon indépendante, deux boules successivement et avec remise. On obtient ainsi 5 points du plan.

Quelle est la probabilité de l’évènement suivant :

C : « Aumoins un de ces points appartient au disque D » ?

5. On renouvelle n fois de suite, de façon indépendante, le tirage de deux boules successivement et avec remise. On obtient ainsi n points du plan.

Déterminer le plus petit entier n strictement positif tel que la probabilité de l’évènement « au moins un de ces points appartient à D » soit supérieure ou égale à 0,9999.

EXERCICE 2 5 points Candidats qui n’ont pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité gra-

phique : 2 cm).

1. a. Donner l’écriture algébrique du nombre complexe de module 2 et dont

un argument est π

2 .

b. Résoudre dans C l’équation iz − 2 = 4i− z. On donnera la solution sous forme algébrique.

2. On désigne par I, A et B les points d’affixes respectives 1, 2i et 3 + i.

a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.

b. Calculer l’affixe zC du point C image de A par la symétrie de centre I.

c. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe zC− zB

zA− zB .

En déduire le module et un argument de ce nombre. (zA et zB désignent les affixes des points A et B).

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

d. Soit D le point d’affixe zD tel que zD− zC = zA− zB.

Montrer que ABCD est un carré.

3. Pour tout point M du plan, on considère le vecteur −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD .

a. Exprimer le vecteur −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD en fonction du vecteur

−−→ MI .

b. Montrer que le point K défini par −−→ KA +

−−→ KB +

−−→ KC +

−−→ KD = 2

−−→ AB est lemilieu

du segment [AD].

c. Déterminer l’ensemble Γ des points M du plan tels que ∥

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD

∥=

∥2 −−→ AB

∥ .

Construire Γ.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité graphique :

2 cm). On désigne parm unnombre réel. On considère la transformation Tm duplan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = (m+ i)z+m−1− i

Partie A

1. Peut-on choisirm de telle sorte que Tm soit une translation ?

2. Déterminer le réelm de telle sorte que Tm soit une rotation. Préciser alors le centre et l’angle de cette rotation.

Partie B

Dans la suite de l’exercice on posem = 1.

1. a. Calculer l’affixe du pointΩ invariant par Tm .

b. Pour tout nombre complexe z différent de 1, calculer z ′−1

z−1 .

En interprétant géométriquement le module et un argument de z ′−1

z−1 ,

démontrer que T1 est une similitude directe dont on précisera les élé- ments caractéristiques.

c. Démontrer que, pour tout nombre z on a : z ′−z = i(z−1). En déduire que si M est distinct deΩ , alors le triangleΩMM ′ est rectangle isocèle en M .

2. On définit dans le plan une suite (Mn) de points en posant :

M0 =O, M1 =T1(M0), pour tout entier naturel n non nul :Mn =T1(Mn−1).

a. Placer les pointsM1 , M2, M3 etM4 dans le planmuni du repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

b. Pour tout entier naturel n, on pose dn = ΩMn . Démontrer que la suite (dn) est une suite géométrique. Converge-t-elle ?

PROBLÈME 11 points

Partie A étude préliminaire : mise en place d’une inégalité.

Amérique du Sud 2 novembre 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Le plan est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On désigne par ∆ la droite d’équation y = x+1 et par Γ la courbe d’équation y = ex .

a. Que représente la droite ∆ pour la courbe Γ ?

b. Tracer dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

la droite ∆ et donner l’allure de Γ.

2. a. Démontrer que pour tout réel t , et > t +1. Interpréter graphiquement ce résultat.

b. En déduire que pour tout réel t , e−t + t +1> 2, et que pour tout x de R∗ +

on a : 1

x + lnx+1> 2.

Partie B étude d’une fonction.

On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par

g (x)= (x+1) lnx.

On appelle C la courbe représentative de g dans le planmuni d’un repère orthonor-

mal (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité graphique : 2 cm).

1. a. Étudier le sens de variations de g en utilisant la partie A.

b. Déterminer les limites de la fonction g en 0 et en +∞.

2. a. Déterminer une équation de la tangente D à C au point d’abscisse 1.

b. On appelle h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : h(x)= g (x)−2x+2.

étudier le sens de variations de h. On pourra utiliser la question A 2 b.

En déduire le signe de h(x) suivant les valeurs de x.

c. étudier la position de C par rapport àD.

3. Tracer C etD dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

4. Pour tout n deN∗, on poseUn = ∫n+1

n g (x)dx.

a. Donner une interprétation géométrique deUn .

b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul on a :

g (n)6Un 6 g (n+1).

c. En déduire le sens de variation de la suite (Un).

d. La suite (Un) est-elle convergente ?

Partie C étude d’une primitive.

G désigne la primitive de g sur ]0 ; +∞[ qui s’annule en 1.

On a donc : pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[, G(x)= ∫x

1 g (t)dt .

1. Quel est le signe deG(x) suivant les valeurs de x ?

2. Calculer G(x) à l’aide d’une intégration par parties.

3. Déterminer les limites deG en 0 et en +∞. Pour l’étude en +∞, on pourra mettre x en facteur dans l’expression G(x).

Pour l’étude en 0, on admettra que lim x→0

x lnx = 0.

Amérique du Sud 3 novembre 2000

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome