Exercices sur la modélisation mathématique 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique - la probabilité des évènements - 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Montrer la probabilité de l’évènement, Donner l’écriture algébrique du nombre complexe de ...
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[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2000 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Un sac contient trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2, indiscernables au toucher. On tire une boule du sac, on note son numéro x et on la remet dans le sac, puis on tire une seconde boule, on note son numéro y et on la remet dans le sac. Toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées. À chaque tirage de deux boules, on associe dans le plan, muni d’un repère ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→

)

, le point M de coordonnées (x ; y).

On désigne parD le disque de centre O et de rayon 1,7. Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.

1. Placer dans le plan muni du repère (O ; −→ ı ,

−→ ) les points correspondant aux

différents résultats possibles.

2. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

A « Le point M est sur l’axe des abscisses » ;

B « Le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 ».

3. a. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules, associe la somme x2+y2. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . Calculer son espérance mathématique E(X ).

b. Montrer que la probabilité de l’évènement « le pointM appartient audisque

D » est égale à 4

9 .

4. On tire 5 fois de suite, de façon indépendante, deux boules successivement et avec remise. On obtient ainsi 5 points du plan.

Quelle est la probabilité de l’évènement suivant :

C : « Aumoins un de ces points appartient au disque D » ?

5. On renouvelle n fois de suite, de façon indépendante, le tirage de deux boules successivement et avec remise. On obtient ainsi n points du plan.

Déterminer le plus petit entier n strictement positif tel que la probabilité de l’évènement « au moins un de ces points appartient à D » soit supérieure ou égale à 0,9999.

EXERCICE 2 5 points Candidats qui n’ont pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité gra-

phique : 2 cm).

1. a. Donner l’écriture algébrique du nombre complexe de module 2 et dont

un argument est π

2 .

b. Résoudre dans C l’équation iz − 2 = 4i− z. On donnera la solution sous forme algébrique.

2. On désigne par I, A et B les points d’affixes respectives 1, 2i et 3 + i.

a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.

b. Calculer l’affixe zC du point C image de A par la symétrie de centre I.

c. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe zC− zB

zA− zB .

En déduire le module et un argument de ce nombre. (zA et zB désignent les affixes des points A et B).

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

d. Soit D le point d’affixe zD tel que zD− zC = zA− zB.

Montrer que ABCD est un carré.

3. Pour tout point M du plan, on considère le vecteur −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD .

a. Exprimer le vecteur −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD en fonction du vecteur

−−→ MI .

b. Montrer que le point K défini par −−→ KA +

−−→ KB +

−−→ KC +

−−→ KD = 2

−−→ AB est lemilieu

du segment [AD].

c. Déterminer l’ensemble Γ des points M du plan tels que ∥

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD

∥=

∥2 −−→ AB

∥ .

Construire Γ.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité graphique :

2 cm). On désigne parm unnombre réel. On considère la transformation Tm duplan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = (m+ i)z+m−1− i

Partie A

1. Peut-on choisirm de telle sorte que Tm soit une translation ?

2. Déterminer le réelm de telle sorte que Tm soit une rotation. Préciser alors le centre et l’angle de cette rotation.

Partie B

Dans la suite de l’exercice on posem = 1.

1. a. Calculer l’affixe du pointΩ invariant par Tm .

b. Pour tout nombre complexe z différent de 1, calculer z ′−1

z−1 .

En interprétant géométriquement le module et un argument de z ′−1

z−1 ,

démontrer que T1 est une similitude directe dont on précisera les élé- ments caractéristiques.

c. Démontrer que, pour tout nombre z on a : z ′−z = i(z−1). En déduire que si M est distinct deΩ , alors le triangleΩMM ′ est rectangle isocèle en M .

2. On définit dans le plan une suite (Mn) de points en posant :

M0 =O, M1 =T1(M0), pour tout entier naturel n non nul :Mn =T1(Mn−1).

a. Placer les pointsM1 , M2, M3 etM4 dans le planmuni du repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

b. Pour tout entier naturel n, on pose dn = ΩMn . Démontrer que la suite (dn) est une suite géométrique. Converge-t-elle ?

PROBLÈME 11 points

Partie A étude préliminaire : mise en place d’une inégalité.

Amérique du Sud 2 novembre 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Le plan est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On désigne par ∆ la droite d’équation y = x+1 et par Γ la courbe d’équation y = ex .

a. Que représente la droite ∆ pour la courbe Γ ?

b. Tracer dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

la droite ∆ et donner l’allure de Γ.

2. a. Démontrer que pour tout réel t , et > t +1. Interpréter graphiquement ce résultat.

b. En déduire que pour tout réel t , e−t + t +1> 2, et que pour tout x de R∗ +

on a : 1

x + lnx+1> 2.

Partie B étude d’une fonction.

On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par

g (x)= (x+1) lnx.

On appelle C la courbe représentative de g dans le planmuni d’un repère orthonor-

mal (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité graphique : 2 cm).

1. a. Étudier le sens de variations de g en utilisant la partie A.

b. Déterminer les limites de la fonction g en 0 et en +∞.

2. a. Déterminer une équation de la tangente D à C au point d’abscisse 1.

b. On appelle h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : h(x)= g (x)−2x+2.

étudier le sens de variations de h. On pourra utiliser la question A 2 b.

En déduire le signe de h(x) suivant les valeurs de x.

c. étudier la position de C par rapport àD.

3. Tracer C etD dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

4. Pour tout n deN∗, on poseUn = ∫n+1

n g (x)dx.

a. Donner une interprétation géométrique deUn .

b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul on a :

g (n)6Un 6 g (n+1).

c. En déduire le sens de variation de la suite (Un).

d. La suite (Un) est-elle convergente ?

Partie C étude d’une primitive.

G désigne la primitive de g sur ]0 ; +∞[ qui s’annule en 1.

On a donc : pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[, G(x)= ∫x

1 g (t)dt .

1. Quel est le signe deG(x) suivant les valeurs de x ?

2. Calculer G(x) à l’aide d’une intégration par parties.

3. Déterminer les limites deG en 0 et en +∞. Pour l’étude en +∞, on pourra mettre x en facteur dans l’expression G(x).

Pour l’étude en 0, on admettra que lim x→0

x lnx = 0.

Amérique du Sud 3 novembre 2000

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