Exercices sur la modélisation mathématique 3, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 3, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique - l’espérance mathématique de la variable aléatoire X - 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer les probabilités de chacun des évènements, Reproduire et com...
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Antilles-Guyane2000.dvi

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2000 \

Exercice 1 4 points

Un groupe de vingt-deux personnes décide d’aller au cinéma deux samedis de suite pour voir deux films A et B. Le premier samedi, huit personnes vont voir le film A, et les autres vont voir le film B. Le deuxième samedi, quatre personnes décident de revoir le film A, deux vont revoir le film B, et les autres vont voir le film qu’elles n’ont pas vu la semaine précédente. Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe. On considère les évènements suivants : A1 « la personne interrogée a vu le film A le premier samedi » ; A2 « la personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi » ; B1 « la personne interrogée a vu le film B le premier samedi » ; B2 « la personne interrogée a vu le film B le deuxième samedi ».

1. a. Calculer les probabilités suivantes : p(A1) et p(A2).

b. Calculer les probabilités de chacun des évènements suivants :

p(A2/A1), p(A2/B1) et p(A1∩ A2)

c. Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant, en remplaçant chaque point d’interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justifica- tion n’est demandée pour cette question.

A1?

A2 ??

B2 ??

B1

? A2 ??

B2 ??

d. Retrouver à partir de l’arbre pondéré que p(A2)= 8

11 .

2. Le prix du billet pour le film A est de 30 F et de 20 F pour le film B .

On appelle X la variable aléatoire égale au coût total, pour la personne inter- rogée, des deux séances de cinéma.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

b. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

Exercice 2 5 points Enseignement obligatoire

1. Pour tout nombre complexe z, on pose P (z)= z3−3z2+3z+7.

a. Calculer P (− 1) .

b. Déterminer les réels a et b tels que pour tout nombre complexe z, on ait :

P (z)= (z+1) (

z2+az+b )

.

c. Résoudre dans C l’équation P (z)= 0.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; −→ u ,

−→ v ).

(Unité graphique : 2 cm.) On désigne par A, B, C et G les points du plan d’af- fixes respectives

zA =−1, zB = 2+ i p 3, zC = 2− i

p 3 et zG = 3.

a. Réaliser une figure et placer les points A, B, C et G.

b. Calculer les distances AB, BC et AC. En déduire la nature du triangle ABC.

c. Calculer un argument dunombre complexe zA− zC zG− zC

. Endéduire la nature

du triangle GAC.

3. Soit (D) l’ensemble des points M du plan tels que :

(

− −−→ MA +2

−−→ MB +2

−−→ MC

)

· −−→ CG =+12 (1)

a. Montrer queG est le barycentre du système de points pondérés

{(A, −1) ; (B, 2) ; (C, 2)} .

b. Montrer que la relation (1) est équivalente à la relation −−−→ GM .

−−→ CG =−4 (2).

c. Vérifier que le point A appartient à l’ensemble (D).

d. Montrer que la relation (2) est équivalente à la relation −−→ AM .

−−→ GC = 0.

e. En déduire l’ensemble (D) et le tracer.

Exercice 2 5 points Enseignement de spécialité

Les points A0 =O ; A1 ; . . . ; A20 sont les sommets d’un polygone régulier de centre A, à 21 côtés, de sens direct. Les points B0 =O ; B1 ; B14 sont les sommets d’un polygone régulier de centre B, à 15 côtés, de sens direct.

Soit rA la rotation de centre A et d’angle 2π

21 et rB la rotation de centre B et d’angle

2π

15 .

On définit la suite (Mn ) de points par : — M0 est l’un des points A0, A1, A2, . . . , A20 ; — pour tout entier naturel n, Mn+1 = rA(Mn ).

On définit la suite (Pn) de points par : — P0 est l’un des points B0, B1, B2, . . . , B14 — pour tout entier naturel n, Pn+1 = rB(Pn).

Le but de l’exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l’ensemble S des entiers naturels n vérifiant :

Mn =Pn =O.

1. Dans cette question, M0 =P0 =O.

a. Indiquer la position du point M2000 et celle du point P2000.

b. Déterminer le plus petit entier naturel n non nul tel que Mn =Pn =O.

En déduire l’ensemble S.

2. Dans cette question, M0 = A19 et P0 =B10.

On considère l’équation (E ) : 7x−5y = 1 avec x ∈Z et y ∈Z.

a. Déterminer une solution particulière (a ; b) de (E ).

b. Déterminer l’ensemble des solutions de (E ).

Antilles-Guyane 2 juin 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

c. En déduire l’ensemble S des entiers naturels n vérifiant Mn =Pn =O.

Problème 11 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f (x)= x ln (

x2 )

−2x.

On désigne par (C ) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère or-

thonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

; unité graphique : 1 cm.

Partie A - Étude de f

1. Montrer que, pour x > 0, f (x)= 2x lnx−2x puis que f (x)= 2x ln x

e .

2. a. Étudier la limite de f en +∞.

b. Montrer que f est dérivable en tout x > 0 ; calculer f ′(x) pour x > 0.

c. Étudier le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ .

d. Donner le tableau de variation de f sur ]0 ; +∞[.

3. Déterminer par le calcul l’abscisse du point d’intersection de la courbe (C ) avec l’axe des abscisses.

4. Montrer que l’équation f (x) = 2 admet sur l’intervalle [1 ; 5] une unique so- lution et en donner la valeur décimale arrondie à 10− 2.

Partie B - Calcul d’aires

1. Soit F la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

F (0) = 0

F (x) = x2 lnx−2− 3x2

2 si x > 0

a. On admet que lim x→0

x lnx = 0 ; montrer que F est dérivable en 0 et préciser

F ′(0).

b. Montrer que, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[, F ′(x)= f (x).

2. On considère pour chaque entier n positif ou nul, la droite Dn d’équation y =nx.

On trouvera ci-dessous un tracé de la courbe (C ) et des droitesD0, D1, D2.

Antilles-Guyane 3 juin 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

5

10

15

20

−5

5 10 15−5

D0

D1

(C )

D2

a. Déterminer les coordonnées du point In , d’abscisse strictement positive, intersection de (C ) et deDn .

On appelle Pn le point de l’axe des abscisses de même abscisse que In . Placer les points I0, I1, I2, P0,P1,P2 sur la figure donnée en annexe.

b. Déterminer la position relative de (C ) et de Dn pour les abscisses appar- tenant à ]0 ; +∞[.

3. Pour tout n > 1 , on considère le domaine An situé dans le quart de plan défini par x> 0 et y > 0, délimité par (C ), Dn−1 et Dn .

On note an son aire, exprimée en unités d’aire.

a. Faire apparaître les domaines A1 et A2 sur la figure.

b. Calculer l’aire tn du triangle OPn In , en unités d’aire.

c. Calculer l’aire un , en unités d’aire, du domaine situé dans le quart de plan défini par x> 0 et y > 0, délimité par (C ), l’axe des abscisses, et les paral- lèles à l’axe des ordonnées passant par P0 et Pn .

d. Vérifier que l’aire vn en unités d’aire, du domaine situé dans le quart de plan défini par x > 0 et y > 0 , délimité par (C ) , l’axe des abscisses etDn , est vn = tn un = e2 (en −1).

e. Calculer alors an .

4. Montrer que la suite (an) est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.

Antilles-Guyane 4 juin 2000

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