Exercices sur la modélisation mathématique - 3, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur les paires3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'entier naturel non nul, l'espace vectoriel euclidien orienté, l’endomorphisme de E.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1982 Limoges \

EXERCICE 1 4 points

Déterminer les paires {a, b} d’entiers naturels non nuls tels que

2m+7d = 111,

m désignant le PPCM et d le PGCD de a et de b.

EXERCICE 2 4 points

1. Montrer que, pour tout nombre réel x, on a

cos3x = (2cos2x−1)cosx.

2. Pour tout entier naturel non nul n, on pose

Sn(θ)= Log

(

2cos θ

3 −1

)

+Log

(

2cos θ

32 −1

)

+·· ·+Log

(

2cos θ

3n −1

)

.

où Log désigne le logarithme népérien et θ un nombre réel donné de l’inter-

valle I = ]

π

3 ; π

3

[

.

a. Justifier l’existence de Sn(θ).

b. En utilisant la première question, montrer que

Sn(θ)= Logcos θ

2 −Logcos

θ

2.3n

c. Calculer S(θ)= lim n→+∞

Sn(θ).

3. Calculer S ′(θ), pour tout θ de l’intervalle I, S ′ désigne la dérivée de S. En dé-

duire la valeur de J= 1

2

π 3

0 tg θ

2 dθ.

PROBLÈME 12 points

On considère E un espace vectoriel euclidien orienté, muni de la base orthonormée

directe (

−→ ı ,

−→ ı ,

−→ k )

.

On note f0 l’identité de E.

Partie A

Soit f l’endomorphisme de E défini par

f (

−→ ı )

= −→ +

−→ k

f (

−→ )

= −→ ı +

−→ k

f (

−→ k )

= −→ ı +

−→ .

1. Déterminer f f et vérifier que

f f = f +2 f0 .

En déduire que f est une bijection et déterminer f −1 en fonction de f et de

f0.

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Soit f n = f n−1 ◦ f n ∈N⋆.

Montrer que f n peut s’écrire

f n =Un f +Vn f0

Un et Vn étant deux réels.

Calculer Un+1 et Vn+1 en fonction de Un et Vn .

3. Soit

{

αn+1 = 2Un+1+Vn+1 βn+1 = Un+1−Vn+1

n ∈N

Exprimer αn+1 en fonction de αn puis βn+1 en fonction de βn .

Calculer αn et βn en fonction de n.

En déduire Un et Vn en fonction de n et f n en fonction de f et f0.

Partie B

Soit ϕa, b l’endomorphisme de E défini par

ϕa, b = a f0+b f .

On note Φ l’ensemble de ces endomorphismes avec (a, b) ∈R2.

1. Montrer que Φ est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des endo- morphismes de E et que

(

f0, f )

est une base deΦ.

2. Quels sont les endomorphismes ϕa, b tels que

ϕa, b ϕa, b =ϕa, b +2 f0 .

3. Montrer que (Φ, +, ◦) est un anneau commutatif unitaire.

4. Déterminer les couples (a, b) de R2 pour lesquels

a. ϕa, b est une symétrie vectorielle de E. Caractériser les symétries trou- vées.

b. ϕa, b est uneprojection vectorielle deE. Caractériser les projections trou- vées.

c. ϕa, b est une isométrie vectorielle de E. Caractériser les isométries trou- vées.

La partie B est indépendante de A § 2) § 3).

Limoges 2 juin 1982

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