Exercices sur la modélisation mathématique 4, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 4, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique - le nombre complexe - 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, Déterminer l’ensemble E des points M de P.
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[ Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2000 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

1. Pour tout nombre complexe z, on considère

f (z)= z4−10z3+38z2−90z +261.

a. Soit b un nombre réel. Exprimer en fonction de b les parties réelle et ima- ginaire de f (ib). En déduire que l’équation f (z)= 0 admet deux nombres

imaginaires purs comme solution.

b. Montrer qu’il existe deux nombres réels α et β, que l’on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe z,

f (z)= (

z2+9 ) (

z2+αz +β )

.

c. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation f (z)= 0.

2. Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal.

a. Placer dans le plan P les points A, B, C et D ayant respectivement pour affixes : a = 3i, b =−3i, c = 5+2i et d = 5−2i.

b. Déterminer l’affixe de l’isobarycentre G des points A, B, C, D.

c. Déterminer l’ensemble E des points M de P tels que : ∥

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD

∥= 10.

Tracer E sur la figure précédente.

EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire

1. Une fourmi se déplace sur les arêtes de la pyramide ABCDS. Depuis un som- met quelconque, elle se dirige au hasard (on suppose qu’il y a équiprobabi-

lité) vers un sommet voisin ; on dit qu’elle « fait un pas ».

a. La fourmi se trouve en A. Après avoir fait deux pas, quelle est la

probabilité qu’elle soit :

• en A ?

• en B ?

• en C ?

• en D ?

b. Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on note :

Sn l’évènement « la fourmi est au

sommet S après n pas », et pn la pro-

babilité de cet évènement. A B

C D

S

Donner p1.

En remarquant que Sn+1 = Sn+1∩Sn , montrer que

pn+1 = 1

3

(

1−pn )

.

2. On considère la suite (pn), définie pour tout nombre entier n strictement positif

par :

p1 = 1

3

pn+1 = 1

3

(

1−pn )

.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. Montrer par récurrence que, pout tout entier naturel n strictement positif,

on a pn = 1

4

(

1−

(

1

3

)n)

.

b. Déterminer lim n→+∞

pn .

PROBLÈME 12 points Enseignement obligatoire et de spécialité

L’objet de ce problème est d’étudier, à l’aide d’une fonction auxiliaire, une fonction

et de résoudre une équation différentielle dont elle est solution.

A. Étude d’une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur R par

g (x)= ex

1+2ex − ln

(

1+2ex )

.

1. Calculer g ′(x) et montrer que ce nombre est strictement négatif pour tout x de R.

2. Déterminer les limites de g en −∞ et +∞.

3. Dresser le tableau de variation de g .

4. Donner le signe de g (x).

B. Étude d’une fonction et calcul d’une aire

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= e−2x ln (

1+2ex )

.

On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal

(unités graphiques : 4 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées).

1. Calculer f ′(x) et montrer que pour tout réel x, f ′(x)= 2e−2x g (x).

2. a. Déterminer la limite de f en −∞.

b. Déterminer la limite de f en +∞. On pourra remarquer que :

si on pose X = 1+2ex , f (x) s’écrit 4 X

(X −1)2 lnX

X .

3. Dresser le tableau de variation de f .

4. Tracer C .

5. Soit α un réel strictement positif.

a. Vérifier que, pour tout réel x, e−x

1+2ex = e−x −2

e−x

e−x +2 .

En déduire la valeur de l’intégrale I (α)=

α

0

e−x

1+2ex dx.

b. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale :

J (α)=

α

0 f (x)dx.

Donner une interprétation graphique de J (α).

C. Résolution d’une équation différentielle

On considère l’équation différentielle

(E) : y ′+2y = 2 e−x

1+2ex .

Antilles-Guyane 2 septembre 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Vérifier que la fonction f étudiée dans la partie B) est solution de (E).

2. Montrer qu’une fonction ϕ est solution de (E) si et seulement si ϕf est solution de l’équation différentielle

(E′) : y ′+2y = 0.

3. Résoudre (E′) et en déduire les solutions de (E).

Antilles-Guyane 3 septembre 2000

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