Exercices sur la modélisation mathématique - 4, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur les racines carrées du nombre complexe 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la constante A, le réel non nul.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1982 Lyon \

EXERCICE 1 4 points

1. a. Déterminer les racines carrées du nombre complexe 3+4i.

b. Résoudre dans le corps C des nombres complexes l’équation

z3− (5+3i)z2+ (5+8i)z−1−5i= 0

dont on remarquera qu’elle admet une racine z1 réelle.

On notera z2 = x2+ iy2, z3 = x3+ iy3 (x2 < x3) les deux autres solutions.

2. On considère dans le plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé les points M1, M2, M3 d’affixes respectives z1, z2, z3.

Calculer le rapport et donner unemesure en radian de l’angle de la similitude plane directe de centreM1 transformant M2 enM3.

EXERCICE 2 4 points

Pour tout naturel n> 1 on pose

In = 1

2n+1n!

∫1

0 (1− t)ne

t 2 dt .

1. À l’aide d’une intégration par parties calculer I1.

2. Démontrer que pour tout naturel n> 1 on a

In+1 = In − 1

2n+1(n+1)! .

3. En déduire par récurrence que pour tout naturel n> 1 on a

p e= 1+

1

2

1

1! +·· ·+

1

2n 1

n! + In .

4. Montrer que l’on peut trouver une constante A telle que

06 In 6 1

2nn! A.

Onpourra déterminer A enmajorant la fonction t 7−→ (1−t)ne t 2 sur l’intervalle

[0 ; 1].

En déduire la limite quand n tend vers l’infini de

un = 1+ 1

2

1

1! +·· ·+

1

2n 1

n! .

PROBLÈME 12 points

P est un plan vectoriel euclidien et (−→ ı ,

−→ )

une base orthonormée de ce plan, a est

un réel et b un réel non nul. On note ϕa, b l’endomorphisme de P dont la matrice

dans la base (−→ ı ,

−→ )

est

(

a b2

1 a

)

.

Terminale C A. P. M. E. P.

Partie A

1. Pour quelles valeurs de a et b, ϕa, b est-il bijectif ? Déterminer, suivant les va- leurs de a et de b, le noyau et l’image de ϕa, b .

2. Dans cette question a = b.

On appelle h l’homothétie vectorielle de P de rapport 1

2b . Démontrer que

l’application p = ϕa, b h est une projection vectorielle dont on précisera les ensembles qui la caractérisent.

En déduire queϕa, b est égal à la composée d’une homothétie vectorielle, dont on donnera le rapport, et d’une projection vectorielle.

3. Dans cette question a = 0 (et b est toujours un réel non nul).

Pour quelles valeurs du réel λ le système d’équations

{

λxb2y = 0 xλy = 0

d’inconnue le couple (x ; y) deR×R, admet-il d’autres solutions que le couple (0 ; 0) ?

Pour chaque valeur de λ trouvée, déterminer l’ensemble des solutions de ce système.

En déduire qu’il existe deux droites vectorielles D1 et D2 dont on donnera des équations cartésiennes, globalement invariantes par ϕa, b . À quelle condition ces droites sont-elles orthogonales ?

Partie B

Soit P le plan affine euclidien associé au plan vectoriel P rapporté au repère ortho-

normé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Dans la suite du problème, toutes les constructions demandées se feront dans un même repère orthonormé, en prenant 2 cm pour unité de longueur sur les axes. On appelle f l’application affine de P qui au point M de coordonnées (x ; y) dans (

O, −→ ı ,

−→ )

associe le point M ′ de coordonnées (x′ ; y ′) telles que

{

x′ = b2y y ′ = x+Logb2

(où Log est le symbole du logarithme népérien).

1. Quelle est la matrice, relativement à (−→ ı ,

−→ )

, de l’endomorphisme associé à

f ? Montrer que f est bijective et déterminer analytiquement sa réciproque f −1.

2. Déterminer, suivant les valeurs de b, l’ensemble des points invariants par f . Dans le cas où b2 = 1, reconnaître f .

3. Quelles sont les droites affines D de P transformées en droites f (D) parallèles à D ?

4. Construire les courbes C et C ′ d’équations respectives y = ex et y = Logx. Démontrer que la courbe C ′ est la transformée de la courbe C par f .

Soit ∆ la tangente à C en un point M0 d’abscisse x0.

Démontrer que la tangente à C ′ au point M ′0 = f (M0) est la droite ∆ ′ = f (∆).

Partie C

Lyon 2 juin 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

Soit t un réel. Un point mobile M a pour coordonnées dans (

O, −→ ı ,

−→ )

, à l’instant t ,

x(t) = 1

2 +

p 2

2 cos t

y(t) = 1

2 +

p 2

2 sin t .

1. Construire la trajectoire Γ deM . Quelle est la nature dumouvement deM ?

2. A quels instants le pointM co¨ïncide-t-il avec le point A de coordonnées (0 ; 1). Démontrer que les courbes C et Γ admettent en A la même tangente T .

3. Déterminer la nature de la trajectoire Γ′ du point M ′ = f (M). Dans le cas où b2 = 2 construire Γ′, placer les points A, A′ = f (A), O′ = f (O) et la droite

T ′ = f (T ).

Lyon 3 juin 1982

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