Exercices sur la modélisation mathématique 5, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 5, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique - le repère orthonormal direct - 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer le complexe, Tracer le carré A1B1C1D1 et déterminer son aire s1.
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AsieS2000.dvi

[ Baccalauréat S Asie juin 2000 \

Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats

Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d’une fléchette. Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lan-

cer suivant est égale à 1

3 . Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité

qu’elle manque la cible au lancer suivant est égale à 4

5 . On suppose qu’au premier

lancer elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer. Pour tout entier natureln strictement positif, on considère les évènements suivants : An : « Alice atteint la cible au ne coup ». Bn : « Alice rate la cible au ne coup ». On pose Pn = p(An). Pour les questions 1. et 2. on pourra éventuellement utiliser un arbre pondéré.

1. Déterminer p1 et montrer que p2 = 4

15 .

2. Montrer que, pour tout entier naturel n> 2,

pn = 2

15 pn−1+

1

5 .

3. Pour n > 1 on pose un = pn − 3

13 . Montrer que la suite (un ) est une suite

géométrique, dont on précisera le premier terme u1 et la raison q .

4. Écrire un puis pn en fonction de n.

5. Déterminer lim n→+ ∞

pn .

Exercice 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe (P ) muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→

)

, d’unité

2 cm, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives :

zA =−i ; zB = 3 ; zC = 2+3i et zD =−1+2i.

1. Placer sur une figure les points A, B, C et D.

2. a. Interpréter géométriquement lemodule et l’argument du complexe zC− zA

zD− zB .

b. Calculer le complexe zC− zA

zD− zB .

c. Que pouvez-vous conclure concernant les segments [AC] et [BD] ?

3. a. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier.

b. Calculer l’aire s0 du quadrilatère ABCD.

4. a. Placer sur la figure précédente les points A1, B1, C1 et D1 tels que −−−→ DA1 =

−−−→ A1B1 =

−−−→ B1C , où les points A1 et B1 appartiennent à [DC], le quadrilatère

A1B1C1D1 étant un carré situé à l’extérieur du quadrilatère ABCD.

b. Tracer le carré A1B1C1D1 et déterminer son aire s1.

5. a. On continue par le même procédé : un carré AnBnCnDn étant déterminé,

on considère les points An+1, Bn+1, Cn+1 etDn+1 tels que −−−−−−→ DnAn+1 =

−−−−−−−→ An+1Bn+1 =

−−−−−−→ Bn+1Cn où les points An+1 et Bn+1 appartiennent à [DnCn], le quadrila- tère An+1Bn+1Cn+1Dn+1 étant un carré situé à l’extérieur du carré AnBnCnDn .

Tracer le carré A2B2C2D2.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Soit sn l’aire du carré AnBnCnDn .

Exprimer sn+1 en fonction de sn , puis de n.

En déduire sn , en fonction de n.

c. Déterminer, en fonction de n, l’aire Sn de la figure obtenue par la juxta- position du quadrilatère ABCD et des carrés A1B1C1D1, A2B2C2D2, . . . et AnBnCnDn .

d. La suite (sn) est-elle convergente ? Préciser sa limite si elle existe.

Exercice 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Déterminer PGCD(2688 ; 3024).

2. Dans cette question, x et y sont deux entiers relatifs.

a. Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes

(1) 2688x+3024y =−3360 ;

(2) 8x+9y =− 10.

b. Vérifier que (1 ; −2) est une solution particulière de l’équation (2).

c. Déduire de ce qui précède les solutions de (2).

3. Soit (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→

k )

un repère orthonormal de l’espace.

On considère les plans (P) et (Q) d’équations respectives

x+2y z =−2 et 3xy +5z = 0.

a. Montrer que (P) et (Q) se coupent suivant une droite (D).

b. Montrer que les coordonnées des points de (D) vérifient l’équation (2).

c. En déduire l’ensemble E des points de (D) dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Asie 2 juin 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Problème 11 points

Partie A

Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= 1+ lnx

x .

Soit (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

; unité graphique : 5 cm.

1. Calculer les limites de f en 0 et en +∞. Déterminer les asymptotes de (C ).

2. Étudier le sens de variation de f . Dresser le tableau de variation de f .

3. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet sur l’intervalle

[

1

e ; 1

]

une solution

unique, notée α.

Déterminer un encadrement de α, d’amplitude 10−2.

Donner, suivant les valeurs de x, le signe de f (x) sur ]0 ; +∞[.

4. Tracer la courbe (C ).

Partie B Calcul d’aire

1. Déterminer une équation de la tangente (D) à (C ) au point d’abscisse 1.

2. a. Soit ϕ la fonction définie, pour tout x > 0, par :

ϕ(x)= xx2+ lnx.

Calculer ϕ′(x).

En déduire le sens de variation de ϕ, puis le signe de ϕ(x), sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

b. Montrer que, pour tout x > 0, f (x)− x = ϕ(x)

x .

c. En déduire la position relative de (C ) et de (D).

3. On considère le domaine limité sur le graphique par l’axe des abscisses, la courbe (C ) et la tangente (D).

a. Hachurer ce domaine.

b. Soit A son aire, en cm2. Écrire la valeur exacte de A comme expression polynomiale du second degré en α.

Partie C Étude d’une suite

Soit x0 un réel appartenant à l’intervalle

]

1

e ; α

]

. On note M0 le point de (C )d abs-

cisse x0.

1. a. Donner une équation de la tangente (T0) à (C ) en M0, en fonction de x0, f (x0) et f ′(x0).

b. Soit x1 l’abscisse du point d’intersection de (T0) avec l’axe des abscisses. Écrire x1 en fonction de x0, f (x0) et f ′(x0).

2. On considère la fonction h définie sur

]

1

e ; α

]

par :

h(x)= xf (x)

f ′(x) . (On remarquera que h(x0)= x1).

Asie 3 juin 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. Montrer que h′(x)= f ′′(xf (x)

[ f ′(x)]2 .

b. Calculer f ′′(x) et étudier son signe sur

]

1

e ; α

]

.

c. Endéduire queh est strictement croissante sur

]

1

e ; α

]

, puismontrer que

x1 <α.

d. En écrivant h(x)− x =− f (x)

f ′(x) , étudier le signe de h(x)− x sur

]

1

e ; α

]

En déduire que 1

e < x0 < x1 <α.

3. a. Démontrer que, pour tout x appartenant à

]

1

e ; α

]

, h(x) appartient à ]

1

e ; α

]

.

b. On considère la suite (xn) de réels définie par x0 et xn+1 = h(xn ) pour tout entier naturel n.

Montrer que la suite (xn ) est strictement croissante.

Asie 4 juin 2000

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