Exercices sur la modélisation mathématique 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique - Étude de la fonction g - 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étude d’une courbe paramétrée, Tracer (Γ).
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[ Baccalauréat S 2000 \

L’intégrale d’avril à décembre 2000

Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus

Pondichéry avril 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Amérique du Nord juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Antilles-Guyane juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Asie juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Centres étrangers juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Métropole juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 La Réunion juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 Liban juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Polynésie juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 Antilles-Guyane septembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

France septembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Polynésie septembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

Nouvelle-Calédonie décembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Amérique du Sud décembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Tapuscrit : Denis Vergès :

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

2

[ Baccalauréat S Pondichéry juin 2000 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Un professeur se trouve en possession de 5 clefs de salles. Il se tient devant une porte et il sait que, parmi ses 5 clefs, 2 n’ouvrent pas la porte parce qu’elles sont défectueuses mais les autres le peuvent. Il veut alors les tester toutes, une à une. Le choix des clefs est effectué au hasard et sans remise. On appelle clef numéro x la clef utilisée au x-ième essai.

1. OnappelleD1 l’évènement : « La clef numéro 1 n’ouvre pas la porte ». Calculer sa probabilité.

2. OnappelleD2 l’évènement : « La clef numéro 2 n’ouvre pas la porte ». Calculer la probabilité que l’évènement D2 se réalise, sachant que l’évènement D1 est réalisé.

En déduire la probabilité de l’évènement D1 ∩D2. On pourra, pour la suite de l’exercice, s’aider d’un arbre pondéré.

3. Quelle est la probabilité de l’évènement : « Les clefs numéros 1 et 2 ouvrent la porte et la clef numéro 3 ne l’ouvre pas » ?

4. Pour 1 6 i < j 6 5, on note (i ; j ) l’évènement : « Les clefs qui n’ouvrent pas la porte sont les clefs numéros i et j », et P (i ; j ) la probabilité de cet évènement.

a. Calculer P (2 ; 4).

b. Calculer P (4 ; 5).

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

; unité gra-

phique 4 cm. On appelle B le point d’affixe i et M1 le point d’affixe :

z1 = p 3−1 2

(1− i).

1. Déterminer le module et un argument de z1.

2. Soit M2 le point d’affixe z2, image deM1 par la rotation de centre O et d’angle π

2 .

Déterminer le module et un argument de z2.

Montrer que le point M2 est un point de la droite (D) d’équation y = x. 3. Soit M3 le point d’affixe z3, image de M2 par l’homothétie de centre O et de

rapport p 3+2.

a. Montrer que z3 = p 3+1 2

(1+ i ).

b. Montrer que les points M1 et M3 sont situés sur le cercle de centre B et de rayon

p 2.

4. Construire, à la règle et au compas, les points M1, M2 et M3 en utilisant les questions précédentes ; on précisera les différentes étapes de la construction.

5. À tout point M du plan d’affixe z (distinct de B), on associe le point M ′, d’af-

fixe Z telle que Z = 1

i− z .

Déterminer et construire l’ensemble (E) des points M du plan (M distinct de B) tels que M ′ appartienne au cercle de centre O et de rayon 1.

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Dans tout l’exercice, n désigne un entier naturel non nul.

1. a. Pour 16n6 6, calculer les restes de la division euclidienne de 3n par 7.

b. Démontrer que, pour tout n, 3n+6−3n est divisible par 7. En déduire que 3n et 3n+6 ont le même reste dans la division par 7.

c. À l’aide des résultats précédents, calculer le reste de la division eucli- dienne de 31000 par 7.

d. De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3n par 7, pour n quelconque ?

e. En déduire que, pour tout entier naturel n,3n est premier avec 7.

2. SoitUn = 1+3+32 +·· ·+3n−1 = i=n−1 ∑

i=0 3i , où n est un entier naturel supérieur

ou égal à 2.

a. Montrer que siUn est divisible par 7, alors 3n −1 est divisible par 7. b. Réciproquement, montrer que si 3n − 1 est divisible par 7, alors Un est

divisible par 7.

En déduire les valeurs de n telles queUn soit divisible par 7.

PROBLÈME 11 points

Partie A

⋆ Étude de la fonction g : x 7→ ln (

3+ x 3− x

)

Soit la fonction g définie sur ]−3 ; 3[ par : g (x)= ln (

3+ x 3− x

)

.

1. Étudier la parité de la fonction g .

2. a. Calculer les limites de g en −3 et en 3. b. Étudier le sens de variation de g sur [0 ; 3[.

Dresser son tableau de variation sur ]−3 ; 3[.

3. soit (

O, −→ ı ,

−→ )

un repère orthonormal d’unité graphique 4 centimètres. Soit

(C ) la courbe représentative de la fonction g dans ce repère.

a. Déterminer une équation de la tangente (T ) à (C ) au point d’abscisse 0.

b. Tracer dans le repère la courbe (C ) et sa tangente (T ).

4. Étudier le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

5. a. Calculer la dérivée de la fonction x 7→ xg (x). b. Calculer l’aire, exprimée en cm2, de la portion de plan délimitée par la

courbe (C ), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1. On donnera la valeur exacte de cette aire, puis une valeur approchée aumm2

près.

Partie B

⋆ Étude d’une courbe paramétrée

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

d’unité graphique 4 centi-

mètres. Soit la courbe paramétrée (Γ) définie par :

Pondichéry 4 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

{

x(t) = t (

3− t2 )

y(t) = t g (t) pour t ∈ [−2 ; 2].

g désigne la fonction étudiée dans la partie A. On noteM(t) le point de coordon- nées (x(t) ; y(t).

1. a. Comparer d’une part x(t) et x(−t) et d’autre par y(t) et y(−t). b. Par quelle transformation peut-on passer de M(t) àM(−t) ?

En déduire que (Γ) admet un axe de symétrie que l’on précisera.

2. Étudier la fonction x : t 7→ t (

3− t2 )

et dresser son tableau de variations sur [0 ; 2].

3. En utilisant la partie A., montrer que la fonction t 7→ y(t) est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 2].

4. Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions t 7→ x(t) et t 7→ y(t) sur [0 ; 2].

5. Pour quelles valeurs de t l’abscisse deM(t) est-elle nulle ?

Préciser alors les ordonnées des points correspondants de (Γ).

6. Tracé de (Γ)

a. Placer, dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

, les pointsM(0),M(1),M (p

3 )

etM(2) qui

correspondent respectivement aux valeurs 0, 1, p 3 et 2 du paramètre t .

b. Préciser un vecteur directeur des tangentes à (Γ) aux points M(0) et M(1) et tracer ces tangentes.

c. Tracer (Γ).

Pondichéry 5 juin 2000

[ Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2000 \

EXERCICE 1 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Dans tout l’exercice, z est un nombre complexe non nul.

À tout point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′ = − 1

z , puis le point I

milieu du segment [MM ′]. L’affixe de I est donc 1

2

(

z− 1

z

)

.

Note : les questions 2, 3 et 4 sont largement indépendantes.

1. a. Donner une relation entre les modules de z et z ′.

Donner une relation entre leurs arguments.

b. Sur la figure ci-dessous est placé le point M1 d’affixe z1 sur le cercle de centre O et de rayon 2.

Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point M ′1, puis le point I1 milieu du segment [M1M ′1]. Effectuer cette construction.

O

M1

M2

−→ u

−→ v

2. Pour cette question, θ est un réel et M est le point d’affixe z = e iθ . a. Calculer sous forme algébrique l’affixe de I .

b. Sur la figure ci-dessous est placé le point M2 d’affixe z2 sur le cercle C , de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en utilisant le résultat de la question 2 a, on peut obtenir géométriquement le point I2 milieu du segment [M2M ′2] .

Effectuer cette construction.

Donner (sans justification) l’ensemble décrit par I lorsque M décrit C .

3. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O.

a. Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels M et I sont confondus.

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

b. Développer (z−2i)2+3. Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels l’affixe de I est 2i.

4. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O, d’affixe

z = x+ iy (x et y réels). a. Exprimer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de

l’affixe de I .

b. Déterminer l’ensemble A des pointsM duplan pour lesquels I appartient à l’axe des abscisses.

c. Déterminer l’ensemble B des pointsM duplan pour lesquels I appartient à l’axe des ordonnées.

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

O A

BC

D E

FG

Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure ci-dessus.

L’espace est orienté par le repère orthonormal direct (

O ; −−→ OA ,

−−→ OC ,

−−→ OD

)

. On désigne

par a un réel strictement positif.

L, M et K sont les points définis par −−→ OL = a−−→OC , −−−→OM = a−−→OA , et −−→BK = a−→BF .

1. a. Calculer les coordonnées du vecteur −−−→ DM ∧−−→DL .

b. En déduire l’aire du triangle DLM .

c. Démontrer que la droite (OK ) est orthogonale au plan (DLM).

2. On note H le projeté orthogonal de O (et de K ) sur le plan (DLM).

a. Démontrer que −−−→ OM ·−−→OK =−−→OH ·−−→OK .

b. Les vecteurs −−→ OH et

−−→ OK étant colinéaires, on note λ le réel tel que

−−→ OH =λ−−→OK . Démontrer queλ=

a

a2+2 . Endéduire queH appartient au segment [OK ].

c. Déterminer les coordonnées de H .

d. Exprimer −−→ HK en fonction de

−−→ OK . En déduire que HK =

a2−a+2 p a2+2

.

Amérique du Nord 7 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

3. À l’aide des questions précédentes, déterminer le volumedu tétraèdreDLMK en fonction de a.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité Dans le plan orienté, on considère un triangle direct OAB, rectangle et isocèle en O.

On a donc ( −−→ OA ,

−−→ OB )=

π

2 [2π].

On note RA et RB les rotations de centres respectifs A et B et de même angle π

2 et SO

la symétrie de centre O. On place un point C, non situé sur la droite (AB) , on trace les carrés BEDC et ACFG

directs. On a donc ( −−→ BE ,

−−→ BC )=

π

2 [2π] et (

−−→ AC ,

−−→ AG )=

π

2 [2π].

1. a. Déterminer S(AO) ◦S(AB) composée des réflexions d’axes (AB) et (AO). b. En écrivant RB sous la forme d’une composée de deux réflexions, démon-

trer que RA ◦RB = SO. 2. a. Déterminer l’image de E par RA ◦RB.

b. En déduire que O est le milieu du segment [EG].

c. On note RF et RD les rotations de centres respectifs F et D et de même angle.

Étudier l’image de C par la transformation RF SO ◦RD . Déterminer la transformation RF ◦SO ◦RD .

d. Placer H le symétrique deD par rapport à O.

Démontrer que RF (H)=D. Démontrer que le triangle FOD est rectangle et isocèle en O.

PROBLÈME 10 points

Soit f la fonction définie sur [0, +∞[ par : 

f (x) = x2+ x+1

x2 e−

1 x pour x > 0

f (0) = 0.

OnnoteC la courbe représentative de f dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité

graphique 5 cm).

Partie A

1. Démontrer que la droite (∆) d’équation y = 1 est asymptote à C .

2. Pour x > 0 , calculer f (x)− f (0)

x . Étudier la limite de cette expression quand

x tend vers 0. (on pourra utiliser, pour n entier naturel non nul,

lim u→+ ∞

une−u = 0. Que peut-on en déduire pour la fonction f ? Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

3. Démontrer que pour tout x de ]0,+∞[ on a f ′(x)= 1− x x4

e− 1 x .

4. Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau des variations de f .

Partie B

On note g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g (x)= f (x)− x f ′(x).

Amérique du Nord 8 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

1. Montrer que dans ]0 ; +∞[, les équations g (x)= 0 et x3+ x2+2x−1 = 0 sont équivalentes.

2. Démontrer que l’équation x3+ x2+2x −1 = 0 admet une seule racine réelle α dont on justifiera un encadrement à 10− 2 près.

3. On pose A = f (α)

α . Encadrer A à 2×10− 1 près (justifier) et montrer que

A = f ′(α). 4. Pour tout a > 0, on note Ta la tangente à C au point d’abscisse a. Montrer

que Ta a pour équation y = Ax. Tracer Ta , puis la courbe C . 5. Déduire des questions précédentes que de toutes les tangentes Ta à C (en

des points d’abscisses non nulles), seule passe par l’origine O.

6. On admettra que est au-dessus de C sur ]0 ; +∞[. a. Par lecture graphique (et sans justification), donner le nombre de solu-

tions de l’équation f (x)=m , suivant le réelm donné. b. Par lecture graphique (et sans justification), donner le nombre de solu-

tions de l’équation f (x)=mx selon le réelm donné.

Partie C

1. Pour n ∈N* on pose un = ∫1

1 n

f (x) dx. Sans calculer explicitement un , déter-

miner le signe de un+1−un . En déduire que la suite (un) est croissante.

2. Démontrer que la fonction h, définie sur ]0 ; +∞[ par h(x) = (x +1)e− 1 x est

une primitive de f sur ]0 ; +∞[. 3. Calculer un . Interpréter graphiquement le résultat.

4. Étudier la convergence de la suite (un ).

Amérique du Nord 9 juin 2000

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2000 \

Exercice 1 4 points

Un groupe de vingt-deux personnes décide d’aller au cinéma deux samedis de suite pour voir deux films A et B. Le premier samedi, huit personnes vont voir le film A, et les autres vont voir le film B. Le deuxième samedi, quatre personnes décident de revoir le film A, deux vont revoir le film B, et les autres vont voir le film qu’elles n’ont pas vu la semaine précédente. Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe. On considère les évènements suivants : A1 « la personne interrogée a vu le film A le premier samedi » ; A2 « la personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi » ; B1 « la personne interrogée a vu le film B le premier samedi » ; B2 « la personne interrogée a vu le film B le deuxième samedi ».

1. a. Calculer les probabilités suivantes : p(A1) et p(A2).

b. Calculer les probabilités de chacun des évènements suivants :

p(A2/A1), p(A2/B1) et p(A1∩ A2)

c. Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant, en remplaçant chaque point d’interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justifica- tion n’est demandée pour cette question.

A1?

A2 ??

B2 ??

B1

? A2 ??

B2 ??

d. Retrouver à partir de l’arbre pondéré que p(A2)= 8

11 .

2. Le prix du billet pour le film A est de 30 F et de 20 F pour le film B .

On appelle X la variable aléatoire égale au coût total, pour la personne inter- rogée, des deux séances de cinéma.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

b. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

Exercice 2 5 points Enseignement obligatoire

1. Pour tout nombre complexe z, on pose P (z)= z3−3z2+3z+7. a. Calculer P (− 1) . b. Déterminer les réels a et b tels que pour tout nombre complexe z, on ait :

P (z)= (z+1) (

z2+az+b )

.

c. Résoudre dans C l’équation P (z)= 0.

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; −→ u ,

−→ v ).

(Unité graphique : 2 cm.) On désigne par A, B, C et G les points du plan d’af- fixes respectives

zA =−1, zB = 2+ i p 3, zC = 2− i

p 3 et zG = 3.

a. Réaliser une figure et placer les points A, B, C et G.

b. Calculer les distances AB, BC et AC. En déduire la nature du triangle ABC.

c. Calculer un argument dunombre complexe zA− zC zG− zC

. Endéduire la nature

du triangle GAC.

3. Soit (D) l’ensemble des points M du plan tels que :

(

− −−→MA +2−−→MB +2−−→MC )

·−−→CG =+12 (1)

a. Montrer queG est le barycentre du système de points pondérés

{(A, −1) ; (B, 2) ; (C, 2)} .

b. Montrer que la relation (1) est équivalente à la relation −−−→ GM .

−−→ CG =−4 (2).

c. Vérifier que le point A appartient à l’ensemble (D).

d. Montrer que la relation (2) est équivalente à la relation −−→ AM .

−−→ GC = 0.

e. En déduire l’ensemble (D) et le tracer.

Exercice 2 5 points Enseignement de spécialité

Les points A0 =O ; A1 ; . . . ; A20 sont les sommets d’un polygone régulier de centre A, à 21 côtés, de sens direct. Les points B0 =O ; B1 ; B14 sont les sommets d’un polygone régulier de centre B, à 15 côtés, de sens direct.

Soit rA la rotation de centre A et d’angle 2π

21 et rB la rotation de centre B et d’angle

2π

15 .

On définit la suite (Mn ) de points par : — M0 est l’un des points A0, A1, A2, . . . , A20 ; — pour tout entier naturel n, Mn+1 = rA(Mn ).

On définit la suite (Pn) de points par : — P0 est l’un des points B0, B1, B2, . . . , B14 — pour tout entier naturel n, Pn+1 = rB(Pn).

Le but de l’exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l’ensemble S des entiers naturels n vérifiant :

Mn =Pn =O.

1. Dans cette question, M0 =P0 =O. a. Indiquer la position du point M2000 et celle du point P2000.

b. Déterminer le plus petit entier naturel n non nul tel que Mn =Pn =O. En déduire l’ensemble S.

2. Dans cette question, M0 = A19 et P0 =B10. On considère l’équation (E ) : 7x−5y = 1 avec x ∈Z et y ∈Z. a. Déterminer une solution particulière (a ; b) de (E ).

b. Déterminer l’ensemble des solutions de (E ).

Antilles-Guyane 11 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

c. En déduire l’ensemble S des entiers naturels n vérifiant Mn =Pn =O.

Problème 11 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f (x)= x ln (

x2 )

−2x.

On désigne par (C ) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère or-

thonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

; unité graphique : 1 cm.

Partie A - Étude de f

1. Montrer que, pour x > 0, f (x)= 2x lnx−2x puis que f (x)= 2x ln x

e .

2. a. Étudier la limite de f en +∞. b. Montrer que f est dérivable en tout x > 0 ; calculer f ′(x) pour x > 0. c. Étudier le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ . d. Donner le tableau de variation de f sur ]0 ; +∞[.

3. Déterminer par le calcul l’abscisse du point d’intersection de la courbe (C ) avec l’axe des abscisses.

4. Montrer que l’équation f (x) = 2 admet sur l’intervalle [1 ; 5] une unique so- lution et en donner la valeur décimale arrondie à 10− 2.

Partie B - Calcul d’aires

1. Soit F la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par 

F (0) = 0

F (x) = x2 lnx−2− 3x2

2 si x > 0

a. On admet que lim x→0

x lnx = 0 ; montrer que F est dérivable en 0 et préciser F ′(0).

b. Montrer que, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[, F ′(x)= f (x).

2. On considère pour chaque entier n positif ou nul, la droite Dn d’équation y =nx. On trouvera ci-dessous un tracé de la courbe (C ) et des droitesD0, D1, D2.

Antilles-Guyane 12 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

5

10

15

20

-5

5 10 15-5

D0

D1

(C )

D2

a. Déterminer les coordonnées du point In , d’abscisse strictement positive, intersection de (C ) et deDn .

On appelle Pn le point de l’axe des abscisses de même abscisse que In . Placer les points I0, I1, I2, P0,P1,P2 sur la figure donnée en annexe.

b. Déterminer la position relative de (C ) et de Dn pour les abscisses appar- tenant à ]0 ; +∞[.

3. Pour tout n > 1 , on considère le domaine An situé dans le quart de plan défini par x> 0 et y > 0, délimité par (C ), Dn−1 et Dn .

On note an son aire, exprimée en unités d’aire.

a. Faire apparaître les domaines A1 et A2 sur la figure.

b. Calculer l’aire tn du triangle OPn In , en unités d’aire.

c. Calculer l’aire un , en unités d’aire, du domaine situé dans le quart de plan défini par x> 0 et y > 0, délimité par (C ), l’axe des abscisses, et les paral- lèles à l’axe des ordonnées passant par P0 et Pn .

d. Vérifier que l’aire vn en unités d’aire, du domaine situé dans le quart de plan défini par x > 0 et y > 0 , délimité par (C ) , l’axe des abscisses etDn , est vn = tn un = e2 (en −1).

e. Calculer alors an .

4. Montrer que la suite (an) est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.

Antilles-Guyane 13 juin 2000

[ Baccalauréat S Asie juin 2000 \

Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats

Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d’une fléchette. Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lan-

cer suivant est égale à 1

3 . Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité

qu’elle manque la cible au lancer suivant est égale à 4

5 . On suppose qu’au premier

lancer elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer. Pour tout entier natureln strictement positif, on considère les évènements suivants : An : « Alice atteint la cible au ne coup ». Bn : « Alice rate la cible au ne coup ». On pose Pn = p(An). Pour les questions 1. et 2. on pourra éventuellement utiliser un arbre pondéré.

1. Déterminer p1 et montrer que p2 = 4

15 .

2. Montrer que, pour tout entier naturel n> 2,

pn = 2

15 pn−1+

1

5 .

3. Pour n > 1 on pose un = pn − 3

13 . Montrer que la suite (un ) est une suite

géométrique, dont on précisera le premier terme u1 et la raison q .

4. Écrire un puis pn en fonction de n.

5. Déterminer lim n→+ ∞

pn .

Exercice 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe (P ) muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ )

, d’unité

2 cm, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives :

zA =−i ; zB = 3 ; zC = 2+3i et zD =−1+2i.

1. Placer sur une figure les points A, B, C et D.

2. a. Interpréter géométriquement lemodule et l’argument du complexe zC− zA zD− zB

.

b. Calculer le complexe zC− zA zD− zB

.

c. Que pouvez-vous conclure concernant les segments [AC] et [BD] ?

3. a. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier.

b. Calculer l’aire s0 du quadrilatère ABCD.

4. a. Placer sur la figure précédente les points A1, B1, C1 et D1 tels que −−−→ DA1 =−−−→

A1B1 = −−−→ B1C , où les points A1 et B1 appartiennent à [DC], le quadrilatère

A1B1C1D1 étant un carré situé à l’extérieur du quadrilatère ABCD.

b. Tracer le carré A1B1C1D1 et déterminer son aire s1.

5. a. On continue par le même procédé : un carré AnBnCnDn étant déterminé,

on considère les points An+1, Bn+1, Cn+1 etDn+1 tels que −−−−−−→ DnAn+1 =

−−−−−−−→ An+1Bn+1 =−−−−−−→

Bn+1Cn où les points An+1 et Bn+1 appartiennent à [DnCn], le quadrila- tère An+1Bn+1Cn+1Dn+1 étant un carré situé à l’extérieur du carré AnBnCnDn .

Tracer le carré A2B2C2D2.

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

b. Soit sn l’aire du carré AnBnCnDn .

Exprimer sn+1 en fonction de sn , puis de n.

En déduire sn , en fonction de n.

c. Déterminer, en fonction de n, l’aire Sn de la figure obtenue par la juxta- position du quadrilatère ABCD et des carrés A1B1C1D1, A2B2C2D2, . . . et AnBnCnDn .

d. La suite (sn) est-elle convergente ? Préciser sa limite si elle existe.

Exercice 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Déterminer PGCD(2688 ; 3024).

2. Dans cette question, x et y sont deux entiers relatifs.

a. Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes

(1) 2688x+3024y =−3360 ; (2) 8x+9y =− 10.

b. Vérifier que (1 ; −2) est une solution particulière de l’équation (2). c. Déduire de ce qui précède les solutions de (2).

3. Soit (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

un repère orthonormal de l’espace.

On considère les plans (P) et (Q) d’équations respectives

x+2y z =−2 et 3xy +5z = 0.

a. Montrer que (P) et (Q) se coupent suivant une droite (D).

b. Montrer que les coordonnées des points de (D) vérifient l’équation (2).

c. En déduire l’ensemble E des points de (D) dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Asie 15 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

Problème 11 points

Partie A

Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= 1+ lnx

x .

Soit (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

; unité graphique : 5 cm.

1. Calculer les limites de f en 0 et en +∞. Déterminer les asymptotes de (C ). 2. Étudier le sens de variation de f . Dresser le tableau de variation de f .

3. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet sur l’intervalle [

1

e ; 1

]

une solution

unique, notée α.

Déterminer un encadrement de α, d’amplitude 10−2.

Donner, suivant les valeurs de x, le signe de f (x) sur ]0 ; +∞[. 4. Tracer la courbe (C ).

Partie B Calcul d’aire

1. Déterminer une équation de la tangente (D) à (C ) au point d’abscisse 1.

2. a. Soit ϕ la fonction définie, pour tout x > 0, par :

ϕ(x)= xx2+ lnx.

Calculer ϕ′(x).

En déduire le sens de variation de ϕ, puis le signe de ϕ(x), sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

b. Montrer que, pour tout x > 0, f (x)− x = ϕ(x)

x .

c. En déduire la position relative de (C ) et de (D).

3. On considère le domaine limité sur le graphique par l’axe des abscisses, la courbe (C ) et la tangente (D).

a. Hachurer ce domaine.

b. Soit A son aire, en cm2. Écrire la valeur exacte de A comme expression polynomiale du second degré en α.

Partie C Étude d’une suite

Soit x0 un réel appartenant à l’intervalle

]

1

e ; α

]

. On note M0 le point de (C )d abs-

cisse x0.

1. a. Donner une équation de la tangente (T0) à (C ) en M0, en fonction de x0, f (x0) et f ′(x0).

b. Soit x1 l’abscisse du point d’intersection de (T0) avec l’axe des abscisses. Écrire x1 en fonction de x0, f (x0) et f ′(x0).

2. On considère la fonction h définie sur

]

1

e ; α

]

par :

h(x)= xf (x)

f ′(x) . (On remarquera que h(x0)= x1).

Asie 16 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

a. Montrer que h′(x)= f ′′(xf (x) [ f ′(x)]2

.

b. Calculer f ′′(x) et étudier son signe sur

]

1

e ; α

]

.

c. Endéduire queh est strictement croissante sur

]

1

e ; α

]

, puismontrer que

x1 <α.

d. En écrivant h(x)− x =− f (x)

f ′(x) , étudier le signe de h(x)− x sur

]

1

e ; α

]

En déduire que 1

e < x0 < x1 <α.

3. a. Démontrer que, pour tout x appartenant à

]

1

e ; α

]

, h(x) appartient à ]

1

e ; α

]

.

b. On considère la suite (xn) de réels définie par x0 et xn+1 = h(xn ) pour tout entier naturel n.

Montrer que la suite (xn ) est strictement croissante.

Asie 17 juin 2000

[ Baccalauréat S Centres étrangers juin 2000 \

Exercice 1 5 points

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes et on donnera les réponses sous forme de fractions. Une urne contient 6 boules bleues, 3 boules rouges, et 2 boules vertes, indiscer- nables au toucher.

1. On tire simultanément au hasard 3 boules de l’urne.

a. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

E1 : « Les boules sont toutes de couleurs différentes. »

E2 : « Les boules sont toutes de la même couleur. »

b. On appelle X la variable aléatoire qui, à tout tirage de trois boules associe le nombre de boules bleues tirées.

Établir la loi de probabilité de X .

Calculer l’espérance mathématique de X .

2. Soit k un entier supérieur ou égal à 2.

On procède cette fois de la façon suivante : on tire au hasard une boule de l’urne, on note sa couleur, puis on la replace dans l’urne avant de procéder au tirage suivant.

On effectue ainsi k tirages successifs.

Quelle est la valeur minimale de k pour que la probabilité de ne tirer que des boules bleues soit au moins mille fois plus grande que la probabilité de ne tirer que des boules rouges ?

Exercice 2 (obligatoire) 5 points

On se propose d’étudier une modélisation d’une tour de contrôle de trafic aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées par deux droites de l’es- pace.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

d’unité 1 km. Le plan (

O, −→ ı ,

−→ )

représente le sol.

Les deux « routes aériennes » à contrôler sont représentées par deux droites (D1) et (D2) , dont on connaît des représentations paramétriques :

(D1)

x = 3+a y = 9+3a z = 2

avec a ∈R (D2)

x = 0,5+2b y = 4+b z = 4−b

avec b ∈R.

1. a. Indiquer les coordonnées d’un vecteur −→ u1 directeur de la droite (D1) et

d’un vecteur −→ u2 directeur de la droite (D2).

b. Prouver que les droites (D1) et (D2) ne sont pas coplanaires.

2. Onveut installer au sommet Sde la tour de contrôle, de coordonnées S(3 ; 4 ; 0,1), un appareil de surveillance qui émet un rayon représenté par une droite no- tée (R) . Soit (P1) le plan contenant S et (D1) et soit (P2) le plan contenant S et (D2).

a. Montrer que (D2) est sécante à (P1).

b. Montrer que (D1) est sécante à (P2).

c. Un technicien affirme qu’il est possible de choisir la direction de (R) pour que cette droite coupe chacune des droites (D1) et (D2). Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

Exercice 2 (spécialité) 5 points

Dans le plan orienté, on considère un losange ABCD tel que

AB = BC = CD = DA = 5 et (−−→ AB ,

−−→ AD

)

= π

3 .

On désigne par I, J, K, L et O les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD], [DA] et [BD]. On note (∆) la médiatrice de [AB] et (∆′) la médiatrice de [CD].

1. Soit f l’isométrie du plan définie par f (A)=B, f (B)=O, f (D)=C. a. Prouver que f est un antidéplacement.

b. Démontrer que s’il existe un pointM invariant par f , alorsM est équidis- tant des points A, B, C, D.

c. L’isométrie f admet-elle un point invariant ?

2. Soit σ la symétrie orthogonale d’axe (∆) et r la rotation de centre B et d’angle

π

3 .

a. Démontrer que f = r σ. b. A-t-on f =σr ?

3. Soit s1, la symétrie orthogonale d’axe (BC).

a. Déterminer l’axe de la symétrie orthogonale s2, telle que r = s1 ◦ s2. b. En déduire que f peut s’écrire sous la forme f = s1◦t1, où t1 est une trans-

lation que l’on précisera.

4. Soit t2 la translation de vecteur 1

2

−−→ AD ; on note t− 12 sa réciproque et on pose

g = t− 12 ◦ f . a. Déterminer g (D), g (I), g (O). En déduire la nature précise de la transfor-

mation g .

b. Démontrer que f = t2 ◦ g . A-t-on f = g t2 ?

Centres étrangers 19 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

Problème 10 points

Les buts du problème sont l’étude de la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :

f (x)= ln

(

e2x −1 )

ex ,

puis la recherche de primitives de cette fonction.

Partie A - Étude de fonctions auxiliaires

1. On définit la fonction g sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par :

g (x)= 2x− (x−1) ln(x−1).

a. On admet le résultat suivant : lim x→0

x lnx = 0. En déduire la limite de g (x) lorsque x tend vers 1.

b. Calculer g ′(x) pour x appartenant à l’intervalle ]1 ; +∞[. c. Résoudre l’inéquation 1− ln(x −1) > 0, d’inconnue x appartenant à l’in-

tervalle ]1 ; +∞[. d. Étudier le sens de variation de g sur l’intervalle ]1 ; +∞[. e. Montrer que l’équation g (x) = 0 a une solution unique, notée α, dans

l’intervalle [

e+1 ; e3+1 ]

et étudier le signe de g (x) sur chacun des in- tervalles ]1 ; α[ et ]α ; +∞[.

2. Soit ϕ la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par :

ϕ(x)= ln (

x2−1 )

x

a. Déterminer lim x→1

ϕ(x) et prouver que lim x→+ ∞

ϕ(x)= 0.

b. Calculer ϕ′(x) et montrer que ϕ′(x) est du signe de g (x2) sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

c. Montrer que ϕ est croissante sur l’intervalle ]

1 ; p α [

et décroissante sur l’intervalle

]p α ; +∞

[

.

Partie B - Étude de la fonction f

1. Vérifier que, pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[, on a

f (x)=ϕ (

ex )

.

2. En déduire :

a. La limite de f (x) lorsque x tend vers 0.

b. La limite de f (x) lorsque x tend vers +∞. c. Le sens de variation de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et que f admet unmaxi-

mum en ln( p α).

3. Montrer que, pour tout x de l’intervalle ]0 ; +∞[, f (x)6 2 p α

α−1 .

4. Reproduire le tableau suivant et le compléter en donnant des valeurs appro- chées à 10−2 près :

x 0,1 0,5 1 1,5 2 3 f (x)

Centres étrangers 20 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

5. Représenter graphiquement f dans un repère orthogonal, d’unités 5 cm en abscisse et 10 cm en ordonnée, On prendra 10 comme valeur approchée de α.

Partie C - Recherche de primitives de f

1. Vérifier que f est solution de l’équation différentielle :

y ′+ y = ex

ex −1 −

ex

ex +1 .

2. On pose h(x)= ex

ex −1 −

ex

ex +1 .

a. Trouver une primitive H de h sur l’intervalle ]0 ; +∞[. b. En déduire les primitives F de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

Centres étrangers 21 juin 2000

[ Baccalauréat S Métropole juin 2000 \

Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats Les résultats numériques seront donnés sous forme de fractions. Dans une classe de 30 élèves sont formés un club photo et un club théâtre. Le club photo est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois. On note A l’évènement contraire de l’évènement A et p(A / B) la probabilité condi- tionnelle de A sachant que B est réalisé.

1. On interroge un élève de la classe pris au hasard.

On appelle P l’évènement : « L’élève fait partie du club photo », et T l’événe- ment : « L’élève fait partie du club théâtre ».

Montrer que les évènements P et T sont indépendants.

2. Lors d’une séance du club photo, les 10 membres sont tous présents. Un pre- mier élève est tiré au sort. Il doit prendre la photo d’un autremembre du club qui sera lui aussi tiré au sort.

a. Onappelle T1 l’évènement : «Le premier élève appartient au club théâtre». Calculer p(T1).

b. Onappelle T2 l’évènement «L’élève pris enphoto appartient au club théâtre».

Calculer p(T2/T1), puis p (

T2/T1 )

. En déduire p (T2 ∩ T1) et p (

T2 ∩ T1 )

.

(On pourra éventuellement utiliser un arbre.)

c. Montrer que la probabilité que l’élève pris en photo appartienne au club théâtre est 0,2.

3. Toutes les semaines, on recommence de façon indépendante la séance de photographie avec tirage au sort duphotographe et duphotographié. Lemême élève peut être photographié plusieurs semaines de suite.

Calculer la probabilité qu’au bout de 4 semaines, aucun membre du club théâtre n’ait été photographié.

Exercice 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, unité gra-

phique 4 cm, on considère les points A d’affixe zA = 1 et B d’affixe zB = 2. Soit un réel θ appartenant à l’intervalle ]0 ; π[. On note M le point d’affixe z = 1+e2iθ .

1. Montrer que le point M appartient au cercle (C ) de centre A et de rayon 1.

2. Exprimer l’angle ( −−→ AB ;

−−→ AM ) en fonction de θ.

En déduire l’ensemble E des points M quand θ décrit l’intervalle ]0 ; π[.

3. On appelle M ′ l’image de M par la rotation de centre O et d’angle − 2θ et on note z ′ l’affixe deM ′. Montrer que z ′ = z puis que M ′ appartient à (C ).

4. Dans toute la suite, on choisit θ = π

3 .

On appelle r la rotation de centre O et d’angle − 2π

3 et A′ l’image de A par r .

a. Définir l’image (C ′) du cercle (C ) par r .

Placer sur une figure A, B, (C ), M , (C ′) puis le point M ′ image de M par r .

b. Montrer que le triangle AMO est équilatéral.

c. Montrer que (C ) et (C ′) se coupent en O et enM ′.

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

d. Soit le point P symétrique de M par rapport à A. Montrer que M ′ est le milieu de [A′P ].

Exercice 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan orienté, on considère deux points A et B et le point E tel que −→ AE =

3

4

−−→ AB .

Pour la figure, on prendra comme unité de longueur le centimètre et AB = 16. Cette figure sera complétée au fur et à mesure.

Soit un point C , distinct de A, tel que (−−→ AB ;

−−→ AC

)

= π

4 .

La droite parallèle à (BC ) passant par E coupe la droite (AC ) en F . On appelle I le milieu de [BC ], J le milieu de [EF ] et D le point d’intersection des droites (EC ) et (BF ). On note hA l’homothétie de centre A qui transforme B en E et hD l’homothétie de centreD qui transforme E en C .

1. Déterminer hA(C ) puis hD (F ).

2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de hD hA puis de hA ◦ hD .

3. On appelle E ′ l’image de E par hA et E ′′ l’image de E ′ par hD .

Représenter E ′, puis construire E ′′ en justifiant la construction.

4. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de hD hA ◦hA ◦hD . 5. Montrer que le quadrilatère BECE ′′ est un parallélogramme.

6. On appelle (∆) l’ensemble des points M tels que (−−→ AB ;

−−→ AM

)

= π

4 .

(∆) est donc une demi-droite ouverte d’origine A.

Pour la suite, les points A, B, E sont fixes et le point C décrit (∆).

Déterminer et construire le lieu géométrique (∆)′′ du point E ′′.

Métropole 23 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

Problème 11 points Commun à tous les candidats Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal

(

O, −→ ı ,

−→ )

(unité graphique : 5 cm).

Partie A ⋆ On considère la fonction f1 définie sur [0 ; +∞[ par

f1(x)= xe−x 2

et on appelle (C1) sa courbe représentative.

1. Montrer que, pour tout réel positif x, f ′1(x) = e − x2 −2x2e− x2 . En déduire le

sens de variation de f1.

2. Calculer la limite de f1 en +∞ (on pourra poser u = x2). Interpréter graphi- quement ce résultat.

3. Dresser le tableau de variation de f1.

4. On appelle (∆) la droite d’équation y = x. Déterminer la position de (C1) par rapport à (∆).

5. Tracer (C1) et (∆).

Partie B ⋆ On considère la fonction f3 définie sur [0 ; +∞[ par f3(x)= x3e−x

2 et on appelle

(C3) sa courbe représentative.

1. Montrer que, pour tout réel x positif, f ′3(x) a même signe que 3−2x 2 . En dé-

duire le sens de variation de f3.

2. Déterminer les positions relatives de (C1) et (C3).

3. Tracer (C3) dans le même repère que (C1) (on admettra que (C3) a la même asymptote que (C1) en +∞.

4. On appelle (D) la droite d’équation x = 1. Soit A1 l’aire en unités d’aire du domaine limité par la courbe (C1), les deux axes de coordonnées et la droite (D) et soit A3 l’aire en unités d’aire du domaine limité par la courbe (C3) les deux axes de coordonnées et la droite (D).

a. Calculer A1.

b. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que A3 =− 1

2e +A1.

Partie C ⋆ On désigne par n un entier naturel non nul et on considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

fn (x)= xne− x 2 .

On note (Cn) la courbe représentative de f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Montrer que, pour tout entier n > 1, fn admet un maximum pour x = √

n

2 .

On note αn , ce maximum.

2. On appelle Sn le point de (Cn) d’abscisse

n

2 .

Montrer que, pour tout n, (Cn) passe par S2. Placer S1, S2, S3 sur la figure.

Métropole 24 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

3. Soit la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par :

g (x)= e− x 2

[

−1+ln (

x 2

)]

c’est-à-dire g (x)= exp [

x2 (

− 1+ ln (

x 2

))]

.

a. Étudier le sens de variation de g .

b. Montrer que, pour tout entier n> 1, αn = g (n). En déduire que tout point Sn a une ordonnée supérieure à celle de S2.

Métropole 25 juin 2000

[ Baccalauréat S La Réunion juillet 2000 \

Exercice 1 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité :

2 cm). On dit qu’un triangle équilatéral ABC est direct si et seulement si (−−→ AB ,

−−→ AC

)

= π

3 [2π]. On pose j = e2i

π 3 .

1. a. Vérifier que 1 , j et j2 sont solutions de l’équation z3 = 1. b. Calculer (1− j)(1+ j+ j2) ; en déduire que 1+ j+ j2 = 0. c. Vérifier que ei

π 3 + j2 = 0.

2. Dans le plan complexe, on considère trois points A, B, C , deux à deux dis- tincts, d’affixes respectives a, b, c.

a. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si ca ba

= ei π 3 .

b. En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que le tri- angle ABC est équilatéral direct si et seulement si : a+bj+cj2 = 0.

3. À tout nombre complexe z 6= 1 , on associe les points R, M et M ′ d’affixes respectives 1, z et z.

a. Pour quelles valeurs de z les points M et M ′ sont-ils distincts ?

b. En supposant que la condition précédente est réalisée, montrer que l’en- semble (∆) des points M d’affixe z tels que le triangle RMM ′ soit équila- téral direct est une droite privée d’un point.

Exercice 2 (obligatoire) 5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

. On désigne par Γ la courbe

paramétrée, ensemble des points M(θ) dont les coordonnées (x(θ), y(θ) sont défi- nies par

{

x(θ) = 20e−θ cosθ y(θ) = 20e−θ sinθ θ ∈ [0 ; +∞[

1. Soient M et M1, les points de Γ correspondant respectivement aux para- mètres θ et θ+π.

a. Démontrer qu’il existe un réel k, indépendant de θ, que l’on déterminera, tel que

−−−→ OM1 = k

−−−→ OM .

b. En déduire une transformation géométrique par laquelle, pour tout réel θ positif, M1 est l’image deM .

2. On appelle Γ1 la partie de Γ correspondant à θ élément de l’intervalle [0 ; π].

a. Montrer que :

x′(θ)=−20 p 2e−θ cos

(

θπ

4

)

et y ′(θ)=−20 p 2e−θ sin

(

θπ

4

)

.

b. Étudier le sens de variations des fonctions x et y sur [0 ; π] ; rassembler les résultats dans un tableau unique et indiquer les points de Γ, en lesquels la tangente est parallèle à l’un des axes de coordonnées.

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

3. Tracer Γ1, ainsi que ses tangentes aux points M(0), M (π

4

)

, M

(

3π

4

)

, M(π).

(unité graphique : 1 cm ; on prendra la feuille de papier millimétré dans le sens de la longueur avec l’axe des ordonnées à 4 cm du bord gauche).

Exercice 2 (spécialité) 5 points

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, on considère les nombres

a =n3−n2−12n et b = 2n2−7n−4.

1. Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par n−4.

2. On pose α= 2n+1 et β=n+3. On note d le PGCD de α et β. a. Établir une relation entre α et β indépendante de n.

b. Démontrer que d est un diviseur de 5.

c. Démontrer que les nombres α et β sont multiples de 5 si et seulement si n−2 est multiple de 5.

3. Montrer que 2n+1 et n sont premiers entre eux. 4. a. Déterminer, suivant les valeurs de n et en fonction de n, le PGCD de a et

b.

b. Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers n = 11 et n = 12.

Problème 10 points

Le but du problème est l’étude simultanée de deux fonctions f et g (partie A), uti- lisées ensuite pour déterminer une valeur approchée d’un certain nombre réel noté C. Le plan est rapporté à un repère orthonormal

(

O, −→ ı ,

−→ )

; (unité graphique : 2 cm).

Partie A :

Soient les fonctions f et g définies sur l’ensemble des nombres réels par :

f (x)= x−ex et g (x)= (1− x)ex .

On appelle (C ) et (C ′) leurs courbes représentatives respectives

1. a. Déterminer les limites des fonctions f et g en +∞ et en −∞. b. Montrer que la droite (∆) d’équation y = x est asymptote à la courbe (C ). c. Étudier le sens de variations de chacune des fonctions f et g , sur l’en-

semble des nombres réels.

2. Pour tout réel x, on pose h(x)= f (x)− g (x).

a. Montrer que, pour tout réel x, h′(x)= 1− g (x). b. Endéduire le sens de variations de la fonctionh sur l’ensemble des nombres

réels.

c. Démontrer que les courbe (C ) et (C ′) admettent un unique point d’inter- section, dont l’abscisse notée α, appartient à l’intervalle [1 ; 2].

Donner un encadrement de α d’amplitude 10−1.

d. Étudier, suivant les valeurs de x, la position relative de (C ) et (C ′).

3. Tracer la droite (∆) et les courbes (C ) et (C ′).

4. Pour tout réel x, on pose θ(x)= ∫x

0 h(t)dt .

La Réunion 27 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer θ(x).

b. En déduire, sous la forme d’une expression rationnelle enα, l’aire en cm2

du domaine limité sur le graphique par les courbes (C ) et (C ′), l’axe des ordonnées et la droite d’équation x =α.

Partie B

Pour tout entier naturel n non nul, on pose

Sn = 1+ 1

2 +·· ·+

1

n − lnn.

1. À l’aide d’une calculatrice, déterminer un encadrement de S20 d’amplitude 10−3.

2. a. En utilisant le tableau de variations de la fonction g définie dans la partie A, démontrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[,

ex 6 1

1− x .

b. En déduire que, pour tout nombre entier k > 2, e 1 k 6

k

k−1 , puis que,

pour tout nombre entier k > 2, 1

k 6 ln

(

k

k−1

)

.

c. Pour tout entier naturel n> 2 , calculer SnSn−1. En déduire que la suite (Sn) est décroissante.

3. Pour tout entier n > 20, on pose un = S20−Sn . a. Vérifier que pour tout entier n > 20, un > 0. b. En utilisant le tableau de variations de la fonction f définie dans la partie

A, démontrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; 1], 1+x6 ex .

c. En déduire que pour tout nombre entier k > 1, k+1 k

6 e 1 k , puis que, pour

tout nombre entier k > 1, ln

(

k+1 k

)

6 1

k .

d. Vérifier que, pour tout entier naturel n > 20,

un = ln ( n

20

)

− (

1

21 +

1

22 +·· ·+

1

n

)

.

En raisonnant par récurrence, démontrer que pour tout entier natureln > 20,

ln

(

n+1 21

)

6 1

21 +

1

22 +·· ·+

1

n .

e. En déduire que, pour tout entier naturel n > 20,

un = ln (

21

20

)

− ln (

n+1 n

)

.

puis que, pour tout entier naturel n > 20, un 6 0,049. 4. On admet que la suite (Sn) est convergente de limite notée C.

a. Justifier l’encadrement S20−0,0496C6 S20. b. Déterminer un encadrement de C d’amplitude 0,05.

La Réunion 28 juin 2000

[ Baccalauréat S Liban juin 2000 \

Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats

Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes, et 2 vertes. Dans les questions 1 et 2 on tire au hasard et simultanément 3 boules de cette urne. Les réponses seront données sous forme de fractions irréductibles.

1. Soit les évènements suivants :

A « Les trois boules sont rouges. »

B « Les trois boules sont de la même couleur. »

C « Les trois boules sont chacune d’une couleur différente. »

a. Calculer les probabilités p(A), p(B) et p(C ).

b. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de couleurs obtenues.

Déterminer la loi de probabilité de X . Calculer E (X ).

2. Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par n boules rouges où n est un entier supérieur ou égal à 2. L’urne contient donc n+5 boules, c’est- à-dire,n rouges, 3 jaunes et 2 vertes. On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. Soit les évènements suivants :

D « Tirer deux boules rouges. »

E « Tirer deux boules de la même couleur. »

a. Montrer que la probabilité de l’événement D est

p(D)= n(n−1)

(n+5)(n+4) .

b. Calculer la probabilité de l’évènement E , p(E ) en fonction de n. Pour

quelles valeurs de n a-t-on p(E )> 1

2 ?

Exercice 2 (obligatoire) 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On considère les points A et B d’affixes respectives i et − i. Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z distincte de − i associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ = 1+ iz z+ i

.

1. Quelle est l’image par l’application f du point O ?

2. Quel est le point qui a pour image par l’application f le pointC d’affixe 1+i ?

3. Montrer que l’équation 1+ iz z+ i

= z admet deux solutions que l’on détermi- nera.

4. Vérifier que z ′ = i(z− i) z+ i

, en déduire OM ′ = AM

BM et :

(−→ u ,

−−−→ OM

)

= (−−→ MB ,

−−→ MA

)

+ π

2 +2avec k ∈Z.

5. Montrer que tous les points de l’axe des abscisses ont leurs images par l’ap- plication f situées sur unmême cercle (C ) que l’on précisera.

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

6. Soit M un point du cercle de diamètre [AB] différent de A et de B, montrer que son image M ′ est située sur l’axe des abscisses.

Exercice 2 (spécialité) 5 points

1. Le plan (P ) est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. Soit A et

B dans ce plan d’affixes respectives a = 1+ i ; b =−4− i. Soit f la transforma- tion du plan (P ) qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z

tel que −−−→ OM ′ = 2−−→AM +−−→BM .

a. Exprimer z ′ en fonction de z.

b. Montrer que f admet un seul point invariant Ω dont on donnera l’affixe. En déduire que f est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.

2. On se place dans le cas où les coordonnées x et y de M sont des entiers na- turels avec 16 x6 8 et 16 y 6 8.

Les coordonnées (x′ ; y ′) deM ′ sont alors : x′ = 3x+2 et y ′ = 3y −1. a. On appelle G et H les ensembles des valeurs prises respectivement par x

et y ′. Écrire la liste des éléments deG et H .

b. Montrer que x′− y ′ est un multiple de 3. c. Montrer que la somme et la différence de deux entiers quelconques ont

même parité. On se propose de déterminer tous les couples (x′ ; y ′) de G×H tels quem = x′2− y ′2 soit un multiple non nul de 60.

d. Montrer que dans ces conditions, le nombre x′− y ′ est un multiple de 6. Le nombre x′− y ′ peut-il être unmultiple de 30 ?

e. En déduire que, si x′2− y ′2 est un multiple non nul de 60, x′+ y ′ est mul- tiple de 10 et utiliser cette condition pour trouver tous les couples (x′ ; y ′) qui conviennent. Endéduire les couples (x ; y) correspondant aux couples (x′ ; y ′) trouvés.

Problème 11 points

Partie A - Préliminaires

1. Étudier le sens de variation de la fonction g définie sur R par

g (t)= et t −1.

Quel est le minimum de la fonction g sur l’intervalle ]−∞ ; +∞[ ? 2. En déduire les inégalités suivantes :

a. Pour tout réel t , et > t +1, et > t et − te− t >−1. b. Pour tout réel t tel que t >− 1, ln(1+ t)6 t .

3. En déduire que pour tout réel x, ln(1− xe−x )<−xe−x .

Partie B - Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur R par

f (x)= x2−2ln (

ex x )

.

1. Montrer que f (x)= x2−2x−2ln(1− xe−x ). Quelle est la limite de f en +∞ ? On admettra que la limite de la fonction f en −∞ est +∞.

Liban 30 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

2. Calculer f ′(x) et montrer que f ′(x)= 2(x−1)(ex x−1)

ex x .

Dresser le tableau de variation de la fonction f .

Dans un repère orthonormal (unité : 3 cm), on considère la parabole (P ) d’équation y = x2−2x et (C ) la courbe représentative de f . Montrer que (P ) et (C ) sont asymptotes en + ∞. Étudier les positions relatives des courbes (P ) et (C ).

3. Donner une équation de chacune des tangentes (D) et (D′) respectivement aux courbes (P ) et (C ) aux points d’abscisse 0.

4. Tracer dans un même repère les courbes (P ) et (C ) et leurs tangentes (D) et (D′) .

Partie C - Étude d’une intégrale

1. Soit n un entier naturel, on pose un = ∫n

0 xe−x dx.

a. Démontrer que la suite u de terme général un est croissante.

b. Calculer un à l’aide d’une intégration par parties.

c. Déterminer la limite de la suite un .

2. L’aire du domaine (en unités d’aire) limité par les droites d’équation x = 0, x =n, la parabole (P ) et la courbe (C ) est définie par

In =− 2 ∫n

0 ln (

1− xe−x )

dx

a. Montrer en utilisant la question 3) des préliminaires que In > 2un .

b. On admet que la suite (In ) a pour limite l . Montrer que : l > 2.

Liban 31 juin 2000

[ Baccalauréat S Polynésie juin 2000 \

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, unité graphique 4

cm. Dans l’ensemble des nombres complexes C, i désigne le nombre de module 1,

et d’argument π

2 .

On appelle f l’application, qui, à tout nombre complexe z différent de −2, associe

Z = f (z)= z−2+ i z+2i

.

1. Si z = x+ iy, x et y étant deux réels, exprimer la partie réelle et la partie ima- ginaire de Z en fonction de x et de y .

On vérifiera que ℜ(Z )= x2+ y2−2x+3y +2

x2+ (y +2)2 .

En déduire la nature de :

a. l’ensemble E des points M d’affixe z, tels que Z soit un réel ;

b. l’ensemble F des pointsM d’affixe z duplan, tels que Z soit un imaginaire pur éventuellement nul.

c. Représenter ces deux ensembles.

2. On appelle A et B les points d’affixes respectives zA = 2− i et zB =−2i. En remarquant que Z =

zzA zzB

, retrouver les ensembles E et F par une mé-

thode géométrique.

3. Calculer | f (z)−1|×|z+2i|, et en déduire que les points M ′ d’affixe Z , lorsque le point M d’affixe z parcourt le cercle de centre B et de rayon

p 5, sont tous

sur unmême cercle dont on précisera le rayon et l’affixe du centre.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 4 jetons blancs marqués 0 ; 3 jetons rouges marqués 7 ; 2 jetons blancs marqués 2 ; 1 jeton rouge marqué 5.

1. On tire simultanément 4 jetons du sac.

Quel est le nombre de tirages possibles ?

2. On suppose que tous les tirages sont équiprobables, et on considère les évè- nements suivants :

A : « Les quatre numéros sont identiques ».

B : « Avec les jetons tirés, on peut former le nombre 2000 ».

C : « Tous les jetons sont blancs ».

D : « Tous les jetons sont de la même couleur ».

E : « Aumoins un jeton porte un numéro différent des autres ».

a. Montrer que la probabilité de l’évènement B , est 4

105 .

b. Calculer la probabilité des évènements A, C , D, E .

c. On suppose que l’évènement C est réalisé, calculer alors la probabilité de l’évènement B .

On établit la règle de jeu suivante :

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

— Si le joueur peut former 5000, il gagne 75 F. — Si le joueur peut former le nombre 7000, il gagne 50 F. — Si le joueur peut former le nombre 2000, il gagne 20 F. — Si le joueur peut former le nombre 0000, il perd 25 F. Pour tous les autres tirages, il perd 5 F.

G est la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

Établir la loi de probabilité deG et calculer l’espérance mathématique de G.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. On cherche deux entiers relatifs x et y solutions de l’équation

(1) ax+by = 60 (a et b entiers naturels donnés tels que ab 6= 0). On notera d le plus grand commun diviseur de a et b.

a. On suppose que l’équation (1) a au moins une solution (x0 ; y0). Montrer que d divise 60.

b. On suppose que d divise 60. Prouver qu’il existe alors aumoins une solu- tion (x0 ; y0) à l’équation (1).

2. On considère l’équation : (2) 24x+36y = 60. (x et y entiers relatifs).

a. Donner le PGCDde24 et 36 en justifiant brièvement. Simplifier l’équation (2).

b. Trouver une solution évidente pour l’équation (2) et résoudre cette équa- tion. On appellera S l’ensemble des couples (x ; y) solutions.

c. Énumérer tous les couples (x ; y) solutions de (2) et tels que :

−106 x 6 10.

Donner parmi eux, ceux pour lesquels x et y sont multiples de 5.

d. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm), représenter l’ensemble E des points M de coordonnées (x ; y) telles que :

{

x = 1+3t y = 1−2t t ∈R.

e. Montrer que les points ayant pour coordonnées les solutions (x ; y) de l’équation (2) appartiennent à E .

Comment peut-on caractériser S ?

PROBLÈME 10 points

Partie A

On considère la fonction numérique f , de la variable réelle x, définie sur R par :

f (x)= e−x sinx.

On appelle (C f ) la courbe d’équation y = f (x) dans le plan rapporté à un repère orthogonal

(

O, −→ ı ,

−→ )

.

On prendra 2 cmpour 1 unité sur l’axe des ordonnées, et 6 cmpour π unités sur l’axe des abscisses.

1. Montrer que, pour tout réel x, − e−x 6 f (x)6 e−x . En déduire lim

x→+ ∞ f (x) et l’existence d’une asymptote pour la courbe (C f ).

Polynésie 33 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

2. Montrer que la fonction dérivée de f vérifie :

f ′(x)=− p 2e−x cos

(

x+ π

4

)

, pour x élément de R.

3. On étudie la fonction f sur l’intervalle [

π

2 ; π

]

.

Recopier et compléter le tableau suivant :

x π

2 π

x+ π

4

π

2

Signe de cos (

x+ π

4

)

En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [

π

2 ; π

]

.

4. Représenter la fonction f sur l’intervalle [

π

2 ; π

]

ainsi que les courbes (C1)

et (C2) d’équations y =−e−x et y = e−x .

5. Déterminer algébriquement sur R, puis sur [

π

2 ; π

]

, les coordonnées des

points communs à :

a. (C f ) et l’axe des abscisses.

b. (C f ) et (C1).

c. (C f ) et (C2).

6. Déterminer un réel α tel que, pour x >α, on ait | f (x)|6 10−2.

Partie B

Le but de cette partie est de déterminer une primitive F de la fonction f sur R.

1. En calculant les dérivées successives de la fonction f jusqu’à l’ordre 4 (on rappelle que f (x) = e− x sinx), trouver une relation entre la fonction f et sa dérivée d’ordre 4 notée f (4).

2. En déduire qu’on peut choisir F (x)=− 1

4 f (3)(x).

3. On pose I = ∫π

0 e−x sinx dx. Montrer que I =

e+1 2

.

Partie C

Pour tout entier naturel n, on pose : In = ∫(2n+1)π

2nπ f (x)dx.

1. Vérifier que I0 = I et interpréter I0 comme l’aire d’un domaine plan. Hachu- rer ce domaine.

2. Montrer que, pour tout naturel n, In = e−2

2 (e−π+1) .

3. Prouver que la suite (In )n∈N est une suite géométrique.

Calculer sa raison.

4. Prouver que la suite (In )n∈N converge et préciser sa limite.

Polynésie 34 juin 2000

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2000 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

1. Pour tout nombre complexe z, on considère

f (z)= z4−10z3+38z2−90z+261.

a. Soit b un nombre réel. Exprimer en fonction de b les parties réelle et ima- ginaire de f (ib). En déduire que l’équation f (z)= 0 admet deux nombres imaginaires purs comme solution.

b. Montrer qu’il existe deux nombres réels α et β, que l’on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe z,

f (z)= (

z2+9 ) (

z2+αz+β )

.

c. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation f (z)= 0. 2. Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal.

a. Placer dans le plan P les points A, B, C et D ayant respectivement pour affixes : a = 3i, b =−3i, c = 5+2i et d = 5−2i.

b. Déterminer l’affixe de l’isobarycentre G des points A, B, C, D.

c. Déterminer l’ensemble E des points M de P tels que : ∥

−−→ MA +−−→MB +−−→MC +−−−→MD

∥= 10.

Tracer E sur la figure précédente.

EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire

1. Une fourmi se déplace sur les arêtes de la pyramide ABCDS. Depuis un som- met quelconque, elle se dirige au hasard (on suppose qu’il y a équiprobabi- lité) vers un sommet voisin ; on dit qu’elle « fait un pas ».

a. La fourmi se trouve en A. Après avoir fait deux pas, quelle est la probabilité qu’elle soit :

• en A ? • en B ? • en C ? • en D ?

b. Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on note : Sn l’évènement « la fourmi est au sommet S après n pas », et pn la pro- babilité de cet évènement. A B

C D

S

Donner p1. En remarquant que Sn+1 = Sn+1∩Sn , montrer que

pn+1 = 1

3

(

1−pn )

.

2. On considère la suite (pn), définie pour tout nombre entier n strictement positif

par :

p1 = 1

3 pn+1 =

1

3

(

1−pn )

.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. Montrer par récurrence que, pout tout entier naturel n strictement positif,

on a pn = 1

4

(

1− (

− 1

3

)n)

.

b. Déterminer lim n→+∞

pn .

PROBLÈME 12 points Enseignement obligatoire et de spécialité

L’objet de ce problème est d’étudier, à l’aide d’une fonction auxiliaire, une fonction et de résoudre une équation différentielle dont elle est solution.

A. Étude d’une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur R par

g (x)= ex

1+2ex − ln

(

1+2ex )

.

1. Calculer g ′(x) et montrer que ce nombre est strictement négatif pour tout x de R.

2. Déterminer les limites de g en −∞ et +∞. 3. Dresser le tableau de variation de g .

4. Donner le signe de g (x).

B. Étude d’une fonction et calcul d’une aire

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= e−2x ln (

1+2ex )

.

On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 4 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées).

1. Calculer f ′(x) et montrer que pour tout réel x, f ′(x)= 2e−2xg (x). 2. a. Déterminer la limite de f en −∞.

b. Déterminer la limite de f en +∞. On pourra remarquer que :

si on pose X = 1+2ex , f (x) s’écrit 4 X

(X −1)2 lnX

X .

3. Dresser le tableau de variation de f .

4. Tracer C .

5. Soit α un réel strictement positif.

a. Vérifier que, pour tout réel x, e−x

1+2ex = e−x −2

e−x

e−x +2 .

En déduire la valeur de l’intégrale I (α)= ∫α

0

e−x

1+2ex dx.

b. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale :

J (α)= ∫α

0 f (x)dx.

Donner une interprétation graphique de J (α).

C. Résolution d’une équation différentielle

On considère l’équation différentielle

(E) : y ′+2y = 2 e−x

1+2ex .

Antilles-Guyane 36 septembre 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Vérifier que la fonction f étudiée dans la partie B) est solution de (E).

2. Montrer qu’une fonction ϕ est solution de (E) si et seulement si ϕf est solution de l’équation différentielle

(E′) : y ′+2y = 0.

3. Résoudre (E′) et en déduire les solutions de (E).

Antilles-Guyane 37 septembre 2000

[ Baccalauréat S Métropole septembre 2000 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Les résultats seront donnés à 10−3 près.

Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. Chaque enquêteur a une liste de personnes à contacter. Lors du premier appel téléphonique, la probabilité pour que le correspondant soit absent est 0,4. Sachant que le correspondant est présent, la probabilité pour qu’il accepte de répondre au questionnaire est 0,2.

1. On note :

• A1 l’évènement « la personne est absente lors du premier appel » ; • R1 l’évènement « la personne accepte de répondre au questionnaire lors

du premier appel ».

Quelle est la probabilité de R1 ?

2. Lorsqu’une personne est absente lors du premier appel, on lui téléphone une seconde fois, à une heure différente, et, alors, la probabilité pour qu’elle soit absente est 0,3. Et, sachant qu’elle est présente lors du second appel, la pro- babilité pour qu’elle accepte de répondre au questionnaire est encore 0,2.

Si une personne est absente lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.

On note :

A2 l’évènement « la personne est absente lors du second appel » ;

R2 l’évènement « la personne accepte de répondre au questionnaire lors du second appel » ;

R l’évènement « la personne accepte de répondre au questionnaire ».

Montrer que la probabilité de R est 0,176. (On pourra utiliser un arbre).

3. Sachant qu’une personne a accepté de répondre au questionnaire, quelle est la probabilité pour que la réponse ait eu lieu lors du premier appel ?

4. On suppose que les sondages auprès des personnes d’une même liste sont indépendants. Un enquêteur a une liste de 20 personnes à contacter. Quelle est la probabilité pour qu’une au moins des 20 personnes de la liste accepte de répondre au questionnaire ?

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire (hors-programme en 2002)

Les questions 1) et 2) sont in- dépendantes. L’espace est muni d’un re- père orthonormal direct. ABCDEFGH est le cube re- présenté ci-contre. Son arête a pour longueur 1, le centre de la face ABCD est le point I. Aucune figure n’est deman- dée sur la copie.

A B

C D

E F

GH

I

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. a. Déterminer −−→ BC ∧−−→BA .

b. En déduire l’ensemble (E ) des points M de l’espace tels que :

(−−→ BC ∧−−→BA

)

∧−−→BM =−→0 .

c. Déterminer l’ensemble (F ) des points M de l’espace tels que :

(−−→ BC ∧−−→BA

)

·−−→BM = 0.

2. On appelle P le barycentre du système {(A, 2);(C, −1)}. a. Montrer que P est le symétrique de C par rapport à A.

b. Soit (G ) l’ensemble des points M de l’espace tels que : ∥

∥2 −−→ MA −−−→MC

∥= ∥

∥− −−→ MA +2−−→MB −−−→MC

∥ .

Déterminer l’ensemble (G ).

Montrer que le point A appartient à l’ensemble (G ).

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. L’unité gra-

phique est 4 cm. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que :

a = 1, b = ei π 3 , c =

3

2 + p 3

2 i, d =

p 3

2 e−i

π 6 .

1. a. Donner la forme exponentielle de c et la forme algébrique de d .

b. Représenter les points A, B, C et D.

c. Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.

2. Montrer que les points D, A et C sont alignés.

3. Déterminer l’angle θ et le rapport k de la similitude directe s de centre O qui transforme A en C.

4. On note F et G les images par la similitude directe s des points D et C respec- tivement. Montrer que les points F, C et G sont alignés.

5. Déterminer l’affixe f du point F.

6. On considère la transformation ϕ qui à tout point M , d’affixe Z , associe le point M ′ d’affixe Z ′ telle que :

Z ′ = ei 2π 3 Z +

3

2 + i

p 3

2 .

Pour toute droite δ du plan, on notera σδ la symétrie orthogonale d’axe δ.

a. Soit r la transformation qui à tout point M1 d’affixe Z1, associe le point M ′1 d’affixe Z

′ 1, telle que :

Z ′1 = e −i 2π3 Z1+

3

2 + i

p 3

2

Déterminer la nature de r et donner ses éléments caractéristiques.

b. Enutilisant les nombres complexes, donner unemesure de l’angle (−−→ AO ,

−−→ AB

)

,

puis déterminer la droite ∆ telle que :

r =σ∆ ◦σ(AO).

Métropole 39 septembre 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

c. Montrer que ϕ= r σ(AO). En déduire la nature de ϕ.

PROBLÈME 11 points Enseignement obligatoire et de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→ )

. L’unité graphique est 4 cm

sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= (2+cosx)e1−x .

On note (C ) la courbe représentative de f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Montrer que, pour tout x de R : f (x)> 0.

2. a. Montrer que, pour tout x de R : p 2cos

(

xπ

4

)

= cosx+ sinx.

b. En déduire que, pour tout x de R : 2+cosx+ sinx > 0. c. Montrer que f est strictement décroissante sur R.

3. a. Montrer que, pour tout x de R : e1−x 6 f (x)6 3e1−x .

b. En déduire les limites de f en +∞ et en −∞. c. Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite

de f en +∞. 4. a. Montrer que, sur l’intervalle [0 ; π], l’équation f (x) = 3 admet une solu-

tion unique α.

b. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2.

5. Représenter la courbe (C ) sur [0 ; 4].

Partie B

Onveut calculer l’aire,A , exprimée enunités d’aire, dudomaine limité par la courbe (C ), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1.

1. Montrer que : A = 2e−2+ ∫1

0 cos te1−t dt .

2. On pose I = ∫1

0 cos t e1−t dt et J =

∫1

0 sin t e1−t dt .

a. À l’aide de deux intégrations par parties, montrer que : I =−cos1+e− J et J = −sin1+1.

b. En déduire la valeur de I.

3. Déterminer la valeur exacte de A en unités d’aire, puis donner une valeur approchée de A à 10−2 près par défaut.

Partie C

Soit h la fonction définie sur R par : h(x)=−1− sinx

2+cosx .

1. a. Montrer que la fonction h admet des primitives sur R.

b. Calculer la primitive H de la fonction h, qui prend en 0 la valeur (1+ ln3). 2. a. Déterminer ln

(

f (x) )

pour tout x de R.

b. Étudier le sens de variation de la fonction H .

Métropole 40 septembre 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

c. Déterminer le tableau de variations de H .

3. On appelle Γ la courbe représentative de la fonction définie sur R par

x 7→ 1− x+ ln(2+cosx). (On ne demande pas de représenter Γ). On appelle ∆ la droite d’équation y =−x+1. a. Étudier la position relative de Γ et de ∆.

b. Déterminer les abscisses des points communs à Γ et ∆.

4. a. Établir une équation de la tangente T à Γ au point d’abscisse 0.

b. Étudier la position relative de Γ et T.

5. Montrer que la courbe Γ est contenue dans une bande du plan limitée par deux droites parallèles dont on donnera des équations.

Métropole 41 septembre 2000

[ Baccalauréat S Polynésie septembre 2000 \

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

On dispose d’un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par pk la probabilité d’obtenir, lors d’un lancer, la face numérotée k (k est un entier et 16 k 6 6). Ce dé a été pipé de telle sorte que : • les six faces ne sont pas équiprobables, • les nombres p1, p2, p3, p4, p5, p6, dans cet ordre, sont six termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison r , • les nombres p1, p2, p4 dans cet ordre, sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique.

1. Démontrer que : pk = k

21 pour tout entier k tel que 16 k 6 6.

2. On lance ce dé une fois et on considère les évènements suivants :

— A : « le nombre obtenu est pair » — B : « le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3 » — C : « le nombre obtenu est 3 ou 4 ».

a. Calculer la probabilité de chacun de ces évènements.

b. Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3, sachant qu’il est pair.

c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Les évènements A et C sont-ils indépendants ?

3. On utilise ce dé pour un jeu. On dispose :

• d’une urne U1 contenant une boule blanche et trois boules noires, • d’une urne U2 contenant deux boules blanches et une boule noire. Le joueur lance le dé : • s’il obtient un nombre pair, il extrait au hasard une boule de l’urne U1, • s’il obtient un nombre impair, il extrait au hasard une boule de l’urne U2. On suppose que les tirages sont équiprobables et le joueur est déclaré ga- gnant lorsqu’il tire une boule blanche, on note G cet évènement.

a. Déterminer la probabilité de l’évènement G ∩ A, puis la probabilité de l’évènement G.

b. Le joueur est gagnant.Déterminer la probabilité qu’il ait obtenu unnombre pair lors du lancer du dé.

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

On considère un cube ABCDEFGH d’arête 1.

1. a. Exprimer plus simplement le vecteur −−→ AB +−−→AD +−→AE .

b. En déduire que le produit scalaire −−→ AG .

−−→ BD est nul.

c. Démontrer de même que le produit scalaire −−→ AG ·−→BE est nul.

d. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).

2. Soit I le centre de gravité du triangle BDE. Déduire de 1. a. que le point I est le point d’intersection de la droite (AG) et du plan (BDE), et préciser la position du point I sur le segment [AG].

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Dans cette question, l’espace est orienté par le repère orthonormal direct

(A ; −−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE ).

a. Écrire une équation du plan (BDE).

b. Écrire une représentationparamétriquede la droite∆passant par le point H et orthogonale au plan (BDE).

c. Déterminer les coordonnées du point d’intersection J de la droite ∆ avec le plan (BDE).

d. En déduire la distance du point H au plan (BDE).

A

B C

D

E

F

G

H

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Sur la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle de sens direct, AEFB et ADGH sont des carrés de sens direct.

1. Le but de cette première question est de démontrer que les droites (AC), (EG) et (FH) sont concourantes. Pour cela on note I le point d’intersection des droites (EG) et (FH) et on introduit :

• l’homothétie h1 de centre I qui transforme G en E. • l’homothétie h2 de centre I qui transforme F en H.

a. Déterminer l’image de la droite (CG) par l’homothétie h1 puis par la composée

h2 ◦h1. b. Déterminer l’image de la droite (CF) par la

composée h1 ◦h2. c. Justifier l’égalité :

h2 ◦h1 = h1 ◦h2.

En déduire que la droite (AC) passe aussi par le point I. G

D

C

H

A

B

E

F

2. On se propose ici de démontrer que la médiane issue du sommet A du tri- angle AEH est une hauteur du triangle ABD. On note O le milieu du segment [EH].

a. Exprimer le vecteur −−→ AO en fonction des vecteurs

−→ AE et

−−→ AH .

b. Exprimer le vecteur −−→ BD en fonction des vecteurs

−→ AB et

−−→ AD .

Polynésie 43 septembre 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

c. Calculer le produit scalaire −−→ AO ·−−→BD et conclure.

3. Dans cette question, on étudie la similitude directe S qui transforme A en B et D en A.

On pose AB = 1 et AD = k (k > 0). a. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude S.

b. Déterminer l’image de la droite (BD), puis l’image de la droite (AO), par cette similitude S.

c. En déduire que le point d’intersection Ω des droites (BD) et (AO) est le centre de la similitude S.

PROBLÈME 10 points Enseignement obligatoire et de spécialité

On considère la fonction numérique f définie sur R par :

f (x)= 2x+1− xex−1.

On note (C ) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

A. Étude de la fonction f et construction de la courbe (C )

1. Étudier la limite de la fonction f en −∞ puis en +∞ (on pourra écrire

xex−1 = 1

e xex ).

2. Démontrer que la droite ∆ d’équation y = 2x +1 est asymptote à la courbe (C ) en −∞ et préciser la position de la courbe (C ) par rapport à la droite ∆.

3. a. Calculer la dérivée f ′ et la dérivée seconde f ′′ de la fonction f .

b. Dresser le tableau de variation de la fonction f ′ en précisant la limite de la fonction f ′ en - ∞.

c. Calculer f ′(1) et en déduire le signe de f ′ pour tout réel x.

d. Dresser le tableau de variation de la fonction f .

4. Soit I l’intervalle [1,9 ; 2]. Démontrer que, sur I, l’équation f (x)= 0 a une so- lution unique, α.

5. Tracer la droite ∆ et la courbe (C ) (unité graphique : 2 cm).

B. Recherche d’une approximation de α

On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par :

g (x)= 1+ ln (

2+ 1

x

)

.

1. Démontrer que, sur I, l’équation f (x)= 0 équivaut à l’équation g (x)= x. 2. Étudier le sens de variation de la fonction g sur I et démontrer que, pour tout

x appartenant à I, g (x) appartient à I.

3. Démontrer que, pour tout x de l’intervalle I, |g ′(x)|6 1

9 .

4. Soit (un ) la suite de nombres réels définie par :

u0 = 2 et, pour tout n deN, un+1 = g (un).

On déduit de la question B 2 que tous les termes de cette suite appartiennent à l’intervalle I. On ne demande pas de le démontrer.

Polynésie 44 septembre 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. Démontrer que, pour tout n deN, |un+1−α|6 1

9 |un α|.

b. En déduire, en raisonnant par récurrence, que :

pour tout n deN, |un α|6 (

1

9

)n

× 1

10 .

c. En déduire que la suite (un ) converge et préciser sa limite.

C. Calcul d’aire

1. En intégrant par parties, calculer l’intégrale I = ∫α

1 xex−1 dx.

2. a. Déterminer, en unités d’aire, l’aire A de la portion de plan limitée par la courbe (C ), l’axe des abscisses, la droite d’équation x = 1 et la droite d’équation x =α.

b. Démontrer qu’on peut écrireA = (α−1) (

α− 1

α

)

.

Polynésie 45 septembre 2000

[ Baccalauréat série S Nouvelle – Calédonie \ décembre 2000

Exercice 1 5 points

Dans l’espace muni du repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on considère les

points : A(4 ; 0 ; 0), B(2 ; 4 ; 0), C(0 ; 6 ; 0), S(0 ; 0 ; 4), E(6 ; 0 ; 0) et F(0 ; 8 ; 0).

1. Réaliser une figure comportant les points définis dans l’exercice que l’on complètera au fur et à mesure.

2. Montrer que E est le point d’intersection des droites (BC) et (OA).

3. On admettra que F est le point d’intersection des droites (AB) et (OC).

a. Déterminer les coordonnées du produit vectoriel −→ SE ∧−→EF . En déduire

l’équation cartésienne du plan (SEF).

b. Calculer les coordonnées dupoint A′ barycentre des points pondérés (A, 1) et (S, 3).

c. On considère le plan P parallèle au plan (SEF) et passant par A′. Vérifier qu’une équation cartésienne de P est 4x+3y +6z−22 = 0.

4. Le plan P coupe les arêtes [SO], [SA], [SB] et [SC] de la pyramide SOABC res- pectivement aux points O′, A′, B′ et C′.

a. Déterminer les coordonnées de O′.

b. Vérifier que C′ a pour coordonnées

(

0, 2, 8

3

)

.

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (SB), en dé- duire les coordonnées du point B′.

5. Vérifier que O′A′B′C′ est un parallélogramme.

Exercice 2 5 points

1. a. Résoudre dans C l’équation

z2−2z+2= 0.

Préciser le module et un argument de chacune des solutions.

b. En déduire les solutions dans C de l’équation

(−iz+3i+3)2−2(−iz+3i+3)+2= 0.

2. Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

d’unité gra-

phique 2 cm. On considère les points A, B et C d’affixes respectives

zA = 1+ i, zB = zA, zC = 2zB. a. Déterminer les formes algébriques de zB et zC.

b. Placer les points A, B et C.

c. Montrer que les points A, B et C appartiennent au cercle (C ) de centre I d’affixe 3 et de rayon

p 5.

d. Calculer zC−3 zA−3

; en déduire la nature du triangle IAC.

e. Le point E est l’image du point O par la translation de vecteur 2 −→ IC . Déter-

miner l’affixe du point E.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

f. Le point D est l’image du point E par la rotation de centre O et d’angle π

2 .

Déterminer l’affixe du point D.

g. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

Exercice 2 spécialité

Dans tout l’exercice x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y . S est l’ensemble des couples (x, y) tels que PGCD(x ; y)= y x.

1. a. Calculer le PGCD(363 ; 484).

b. Le couple (363 ; 484) appartient-il à S ?

2. Soit n un entier naturel non nul ; le couple (n ; n+1) appartient-il à S ? Justifier votre réponse.

3. a. Montrer que (x ; y) appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tel que x = k(y x) et y = (k+1)(y x).

b. En déduire que pour tout couple (x ; y) de S on a :

PPCM (x ; y)= k(k+1)(y x). 4. a. Déterminer l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.

b. En déduire l’ensemble des couples (x ; y) de S tels que

PPCM (x ; y)= 228.

Problème 10 points

Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

d’unité

graphique 2 cm.

Partie A

On considère la fonction numérique u définie sur R par

u(x)= √

x2+1− x

et on désigne par (C ) sa courbe représentative.

1. a. Déterminer la limite de u en −∞.

b. Montrer que, pour tout x réel, on a u(x)= 1

p x2+1+ x

.

En déduire la limite de u en +∞. 2. a. Montrer que [u(x)+2x] tend vers 0 quand x tend vers −∞.

b. Montrer que pour tout x réel, on a u(x)> 0. En déduire le signe de [u(x)+2x].

c. Interpréter graphiquement ces résultats.

3. a. Montrer que la dérivée de la fonction u est définie sur R par

u′(x)= −u(x) p x2+1

.

b. Étudier les variations de la fonction u.

4. Tracer la courbe (C ) et son asymptote oblique.

Nouvelle–Calédonie 47 décembre 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Partie B

On considère la fonction f définie sur R par

f (x)= ∫x

0

−1 p t2+1

dt .

et (Γ) sa courbe représentative.

1. Justifier que pour tout x réel on a f (x)= lnu(x) en utilisant la question A 3. a. 2. Déterminer les limites de f en −∞ , puis en +∞ et étudier les variations de

f .

3. a. Déterminer une équationde la droite (T) tangente à la courbe (Γ) aupoint d’abscisse 0.

b. On considère la fonction ϕ définie sur R par ϕ(x)= f (x)+ x. Montrer que ϕ est croissante sur R et que ϕ(0)= 0. En déduire la position de ta courbe (Γ) par rapport à la tangente (T).

4. Tracer sur le même graphique la courbe (Γ) et la tangente (T).

Partie C

1. On pose α= 1−e2

2e , montrer que u(α)= e et en déduire f (α).

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer ∫0

α ln ( √

x2+1− x )

dx.

3. Soit V une primitive de u et g la fonction définie sur R par g (t)= et −e−t

2 .

a. Montrer que u

(

et −e−t

2

)

= e−t .

b. Justifier que V g est dérivable sur R et que sa dérivée est définie par

(

V g )′ (t)=

1+e−2t

2 .

c. En déduire que V (0)−V (α)= (V g )(0)− (V g )(−1)= ∫0

−1

1+e−2t

2 dt ,

puis que ∫0

α u(x)dx =

e2+1 4

.

4. On admet que pour tout x réel, f (x)<u(x). Déduire des questions précédentes l’aire, en unité d’aires, du domaine limité par les courbes (C ), (Γ) et les droites d’équation x =α et x = 0.

Nouvelle–Calédonie 48 décembre 2000

[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2000 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Un sac contient trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2, indiscernables au toucher. On tire une boule du sac, on note son numéro x et on la remet dans le sac, puis on tire une seconde boule, on note son numéro y et on la remet dans le sac. Toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées. À chaque tirage de deux boules, on associe dans le plan, muni d’un repère ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→ )

, le point M de coordonnées (x ; y).

On désigne parD le disque de centre O et de rayon 1,7. Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.

1. Placer dans le plan muni du repère (O ; −→ ı ,

−→ ) les points correspondant aux

différents résultats possibles.

2. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

A « Le point M est sur l’axe des abscisses » ;

B « Le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 ».

3. a. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules, associe la somme x2+y2. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . Calculer son espérance mathématique E(X ).

b. Montrer que la probabilité de l’évènement « le pointM appartient audisque

D » est égale à 4

9 .

4. On tire 5 fois de suite, de façon indépendante, deux boules successivement et avec remise. On obtient ainsi 5 points du plan.

Quelle est la probabilité de l’évènement suivant :

C : « Aumoins un de ces points appartient au disque D » ?

5. On renouvelle n fois de suite, de façon indépendante, le tirage de deux boules successivement et avec remise. On obtient ainsi n points du plan.

Déterminer le plus petit entier n strictement positif tel que la probabilité de l’évènement « au moins un de ces points appartient à D » soit supérieure ou égale à 0,9999.

EXERCICE 2 5 points Candidats qui n’ont pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité gra-

phique : 2 cm).

1. a. Donner l’écriture algébrique du nombre complexe de module 2 et dont

un argument est π

2 .

b. Résoudre dans C l’équation iz − 2 = 4i− z. On donnera la solution sous forme algébrique.

2. On désigne par I, A et B les points d’affixes respectives 1, 2i et 3 + i.

a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.

b. Calculer l’affixe zC du point C image de A par la symétrie de centre I.

c. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe zC− zB zA− zB

.

En déduire le module et un argument de ce nombre. (zA et zB désignent les affixes des points A et B).

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

d. Soit D le point d’affixe zD tel que zD− zC = zA− zB. Montrer que ABCD est un carré.

3. Pour tout point M du plan, on considère le vecteur −−→ MA +−−→MB +−−→MC +−−−→MD .

a. Exprimer le vecteur −−→ MA +−−→MB +−−→MC +−−−→MD en fonction du vecteur −−→MI .

b. Montrer que le point K défini par −−→ KA +−−→KB +−−→KC +−−→KD = 2−−→AB est lemilieu

du segment [AD].

c. Déterminer l’ensemble Γ des points M du plan tels que ∥

−−→ MA +−−→MB +−−→MC +−−−→MD

∥= ∥

∥2 −−→ AB

∥ .

Construire Γ.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité graphique :

2 cm). On désigne parm unnombre réel. On considère la transformation Tm duplan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = (m+ i)z+m−1− i

Partie A

1. Peut-on choisirm de telle sorte que Tm soit une translation ?

2. Déterminer le réelm de telle sorte que Tm soit une rotation. Préciser alors le centre et l’angle de cette rotation.

Partie B

Dans la suite de l’exercice on posem = 1. 1. a. Calculer l’affixe du pointΩ invariant par Tm .

b. Pour tout nombre complexe z différent de 1, calculer z ′−1 z−1

.

En interprétant géométriquement le module et un argument de z ′−1 z−1

,

démontrer que T1 est une similitude directe dont on précisera les élé- ments caractéristiques.

c. Démontrer que, pour tout nombre z on a : z ′−z = i(z−1). En déduire que si M est distinct deΩ , alors le triangleΩMM ′ est rectangle isocèle en M .

2. On définit dans le plan une suite (Mn) de points en posant :

M0 =O, M1 =T1(M0), pour tout entier naturel n non nul :Mn =T1(Mn−1).

a. Placer les pointsM1 , M2, M3 etM4 dans le planmuni du repère (

O, −→ u ,

−→ v )

.

b. Pour tout entier naturel n, on pose dn = ΩMn . Démontrer que la suite (dn) est une suite géométrique. Converge-t-elle ?

PROBLÈME 11 points

Partie A étude préliminaire : mise en place d’une inégalité.

Amérique du Sud 50 novembre 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Le plan est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

On désigne par ∆ la droite d’équation y = x+1 et par Γ la courbe d’équation y = ex . a. Que représente la droite ∆ pour la courbe Γ ?

b. Tracer dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

la droite ∆ et donner l’allure de Γ.

2. a. Démontrer que pour tout réel t , et > t +1. Interpréter graphiquement ce résultat.

b. En déduire que pour tout réel t , e−t + t +1> 2, et que pour tout x de R∗+ on a :

1

x + lnx+1> 2.

Partie B étude d’une fonction.

On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par

g (x)= (x+1) lnx.

On appelle C la courbe représentative de g dans le planmuni d’un repère orthonor-

mal (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 2 cm).

1. a. Étudier le sens de variations de g en utilisant la partie A.

b. Déterminer les limites de la fonction g en 0 et en +∞. 2. a. Déterminer une équation de la tangente D à C au point d’abscisse 1.

b. On appelle h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : h(x)= g (x)−2x+2. étudier le sens de variations de h. On pourra utiliser la question A 2 b.

En déduire le signe de h(x) suivant les valeurs de x.

c. étudier la position de C par rapport àD.

3. Tracer C etD dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v )

.

4. Pour tout n deN∗, on poseUn = ∫n+1

n g (x)dx.

a. Donner une interprétation géométrique deUn .

b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul on a :

g (n)6Un 6 g (n+1).

c. En déduire le sens de variation de la suite (Un).

d. La suite (Un) est-elle convergente ?

Partie C étude d’une primitive.

G désigne la primitive de g sur ]0 ; +∞[ qui s’annule en 1.

On a donc : pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[, G(x)= ∫x

1 g (t)dt .

1. Quel est le signe deG(x) suivant les valeurs de x ?

2. Calculer G(x) à l’aide d’une intégration par parties.

3. Déterminer les limites deG en 0 et en +∞. Pour l’étude en +∞, on pourra mettre x en facteur dans l’expression G(x). Pour l’étude en 0, on admettra que lim

x→0 x lnx = 0.

Amérique du Sud 51 novembre 2000

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