Exercices sur la modélisation mathématique - 7, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur l’ensemble C des nombres complexes 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: résoudre l’équation, étudier les variations de f .
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[ Baccalauréat C septembre 1982 Nancy-Metz \

EXERCICE 1 4 points

1. Dans l’ensemble C des nombres complexes, on considère l’équation

z2+2z+2= 0.

a. Résoudre cette équation. On note z1 et z2 ses racines.

b. Calculer zn1 + z n 2 pour l’entier naturel n non nul.

2. Dans C, résoudre l’équation

z+1

z−1 = 1.

On pose C′ =C {1}.

Montrer que l’application f de C′ vers C′ définie par f (z) = z+1

z−1 est une ap-

plication involutive.

3. Former une équation du second degré admettant f (z1) et f (z2) pour racines.

EXERCICE 2 5 points

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)= Log (

x+ √

x2+1 )

.

1. Montrer que :

tout réel x vérifie (

x+ p x2+1

)(

x+ p x2+1

)

= 1.

2. Déterminer l’ensemble de définition de f et montrer que f est une fonction impaire.

3. Étudier les variations de f .

4. Tracer la courbeC représentatrice de f dansun repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Préciser les branches infinies et la tangente au point d’abscisse 0.

5. Montrer que f admet une fonction réciproque f −1. Déterminer f −1. Tracer la courbe C ′ représentatrice de f −1.

60 C Nice. Septembre 1982. 4 points. 1. Étudier l’ensemble de déflDÎtion et les va- riations (sans en chercher les 0 limites et sans les représenter graphiquement) des deux fonctions de IR dans IR : x2 f : x 1-+ Log(l + x) - x + 2" x2 x3 g : x 1-+ Log(l + x) - x + 2" - 3" Calculer f(O) et g(O). 2. Déduire de la question précédente que : x2 x2 x3 VXE Rt, x - 2" < Log(l + x) < x - 2" + 3" . 1 . Log(l + x) - x + x2 limi’ erc er SI a lonctlon cp : x 1-+ ., a Une te x quand x tend vers zéro par valeurs positives. C h h FONCflONS NUMÉRIQUES 61 C Rouen. Septembre 1982. Extrait. P est un plan vec- toriel euclidien, muni d’une base orthonormée (7, J) ; est un plan affme, de plan vectoriel associé P, muni d’un repère (0 ; T.l>. Soit f la fonction numérique de la va- riable réelle x défInie par : f(x) = e ;X - e-". 1. a) Étudier les variations de f. b) Tracer sur un même graphique, en prenant 5 cm comme unité de longueur, les courbes :

Terminale C A. P. M. E. P.

(C’) représentative de la fonction x 1-+ e ;X dans le repère (0 ; T,J) ; (C”) représenta- tive de la fonction x 1-+ - e-" dans le même repère ; (C) représentative de la fonction f dans lemême repère. 2. Montrer que f admet une fonction réciproque f-1. On pose y = f(x). Exprimer e ;X puis x en fonction de y. En déduire f-1(y). Calculer la fonction dérivée de f - 1. Tracer la courbe représentative de f -1 sur le graphique du 1). 3. Â. est un nombre réel positif. Calculer l’aire S). de l’ensemble des points m dont les coordonnées vérifIent : O x Â. (O’ . 2) f(x) y e ;X n expnmera cette aire en cm admet-elle une limite quand Â. tend vers + oo ? 62 o Soit g la fonction de R dans IR défInie par : +x g(x) = Log – 2-x Prouver que g est une fonction impaire a) Étudier les variations de g b) Construire la courbe représentative (c) de g dans un repère orthonormé (A, T, J) 3. a) Prouver que la res- triction f de g à] - 2,2[ est une bijection de ] - 2,2[ sur IR. b) Défmir l’application f-1 ; en particulier préciser f-1(X). 63 64 6. Coniques 109 C Caen. Juin 1983. 3,5 points. Dans le plan affme euclidien muni d’un repère orthonormé (0, 7, l>. on note E l’ensemble des points M(x, y) tels que : x2 + 4 y2 - 21xl - 3 = 0 Étudier et construire E. En particulier, préciser les axes de symétrie, les points où les tangentes sont parallèles aux axes et les demi-tangentes aux points d’abscisse nulle. 110 C Paris, Créteil, Versailles. Septembre 1982. 4 points. Dans le plan affme euclidien muni d’un repère orthonormé (0 ; T,J) on considère l’ensemble E des points M dont les coordonnées (x, y) vérifIent la relation : (x - 1)2 + (y - 1)2 = (x + ; - 4y 1. Démontrer que E est une conique de centre 0 ; préciser les éléments caractéristiques : foyers, directrices, excentricité, axe principal. 2. On dé- fInit une application f du plan euclidien orienté dans luimême qui à chaque point M d’affIxe z associe le point Mf d’affIXe z’ / . 1 1 - i ellD1e par : z = -2- z Quelle est la nature de l’application f ? Préciser les éléments caractéristiques de f· 3. Détermi- ner l’image de E par f ; on précisera les éléments caractéristiques de cette image. 111 Deux points A et B et un réel strictement positif a étant construire une ellipse admet- tant A comme sommet du grar comme sommet du petit axe, et 2a comme longueur du gt Discuter. 112 113 A tout nombre complexe z = x + iy, on fait c0l !epondre, dam (P) rapporté au repère orthonormé (0 ; i,j), le point coordonnées x et y. a) Trouver et construire dans le plan (P) l’ensemble (H) des dont l’afftxe z vérifIe la relation : Z2 + Z2 = 1 (1) b) Calculer les arguments des nombres complexes z de modl satisfont à (1) et situer sur (H) les images de ces nombres. d PROBLÈMES On appelle E le sous-espace vectoriel de F, engendré par la famille (fl’/2’/3, f4)’ a) Soit f, l’élément de E, égal à afl + bf2 + Cf3 + df4 avec (a, b, c, d) E 1R4. Montrer que la dérivée d’ordre n, de f, qu’on note J<"l, est défmie par J<"l(x) = [a(x + n) + b] e ;X + (- 1)"[c(x - n) + d] e-X ? (TI est conseillé d’utiliser ce résultat dans la suite du problème.) b) Montrer que E est de dimension 4. (On pourra utiliser le fait que, si afl + bf2 + Cf3 + df4 est l’application nulle 0, ses trois premières dérivées sont nulles). 2. a) Étudier les variations de l’application f, déflDÎe sur IR, par f(x) = (4x - 6)e ;X + (2x + l)e-X - x2 + X - 5. (Pour l’étude des branches infmies de la courbe re- présentative (C) on fera seulement une étude précise des limites de f en + 00, et en - 00.) Donner une allure de la courbe (C), dans un plan (P) rapporté à un repère ortho- normé. b) Évaluer l’aire géométrique de la portion de (P) comprise entr : : la courbe (C) et les droites d’équations x = 0, x = 1 et y = O. On recherchera une primitive de f en utilisant le 2.-a). 3. On appelle G, l’application de F dans F défInie par : G(f) = f" - 21’ + f· Montrer que G est un endomorphisme de F. Soit h un élément tel que G(h) = 0, et g l’élément de F déflDÎ par g(x) = e-X ? h(x). Évaluer la dérivée seconde de g, en déduire que g est une application afftne, puis que f E F ; G(f) = O est le plan vectoriel de base (fI’ f2)’ 4. On appelle G l’ la restriction de G à l’ensemble de départ E. Montrer que G1 est un endomorphisme de E. Déterminer f E E ; G 1 (f) = O et g E E ; g = G 1 (f) avec f E E . Soit l’application f = 8f3 - 4f4’ Trouver un élément fo du plan engendré par f3 etf4 tel que G1(fo) = f . d) Trouver une application polynôme, Po, du second degré, telle que, G po) = p, p étant l’application polynôme défInie par p(x) = x + 5x - 9. e) Prouver que l’ensemble S = f E F /G(f) = f + p est non vide et le

Nancy-Metz 2 septembre 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

déterminer. f) Déterminer l’élément f de S, tel que f(O) = - 10 et 1’(0) = o. 176 C Paris, Créteil, Versailles. Septembre 1982. 12 points. PROBLÈMES 1. a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a, b, c pour que chaque courbe Ca ?b" et l’asymptote correspondante se coupent en un point ; ce point est-il unique ? b) On appelle 8 l’espace vectoriel des fonctions de IR dans IR. Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de 8 de dimension trois dont on donnera une base. 2. On appelle cp l’application qui à chaque fonction Ia.b.c ap- partenant à , associe la fonction CP(1a.b.’) défmie par : Vx E IR, CP(Ia,b„)(X) = la.b)4 - x). a) Démontrer que CP(Ia,b,’) appartient à F et que cp est un automorphisme de F. Déterminer cp 0 cp. Trouver les fonctions Ia.b.c telles que CP(1a.b.’) = fa,b.’ ; En dé- duire la nature de l’application cp. Donner alors un élément de symétrie des courbes Ca,b.c correspondantes. d) Trouver les fonctions fa.b.c telles que cp(fa.b.c) = - Ia,bc’ Donner un élément de symétrie des courbes Ca ?b ?c correspondantes. 3. On appelle ’P l’application qui à chaque fonction la b,c appartenant à , associe la fonction ’P(fa b c) défmie pour tout x rêel par : 2 ; t ’P(Ia.b.C)(X) = (x - 4x + 5)fa,b,c(X) où f .b.c est la fonction dérivée de Ia.b,c· Démontrer que ’P est un endomorphisme de F. Déter- miner Ia,b,c E F ; ’P(Ia.b.c) = 0 , 0 étant l’application nulle. 177 C Septembre 1982. Extrait. Soit un plan affme euclidien Pmuni d’un repère orthonormé direct O ; u, V). Dans tout le problème cx est un nombre réel donné, élément de 0, [. A tout réel t sont associés les points M, et N, du plan P dont es coordonnées respectives sont : MJl + tcoscx ;O) NJ-l ;t sin cx). A) Soit G, le milieu du segment [M" N,] et (C,) le cercle de diamètre [M" N,]. 1. Montrer que l’ensemble des points G" lorsque t parcourt IR, est une droite. 2. Montrer qu’il existe dans P un unique point, noté dans distinct de No et tel que, pour tER, T appartienne au cercl coordonnées de T ne sont pas exi- gées. 3. Montrer que pour tout réel t les angles des couples t (TMo, TM,) et (TNo, TN,) sont égaux. D) A tout point M de coordonnées (x, y) dans le repère (C plan P on associe son affIXe z = x + iy. Soit S l’applica dans P qui au point M d’affixe z associe le point M’ d’afft : + iy’, (x’, y’)E 1R2, défIni par : z’ = iztgcx - (1 + itgcx). 1. Montrer que S admet un unique point invariant K dont or les coordonnées dans le repère (0 ; u, V). Reconnaître l’application S. VérifIer que pour tout réel t S( 2. Montrer que K, le point invariant de S, appartient, pour t au cercle (C,). En déduire que K = T. C) On considère l’application S’ de P dans P qui au point M associe le point M’ d’affIxe z’ défmi par : z’ = iz tg cx - (1 + itgcx), où z désignant le nombre complexe conjugué de z. 1. Montrer que S’admet un unique point invariant K’ calculera les coordonnées. 2. VérifIer que pour tout réel t S’(M,) = N, et que les angles dt de droites (K’Mo, K’M,) et (K’N" K’No) sont égaux. D) On désigne par F l’ensemble des applications affmes f de telles que, pour tout réel t, f(M,) = N,. 1. Soit te IR. Montrer que M, est le barycentre des points 1 affectées de coefficients convenables dépendant de t et précisera. 2. Soit f une application de P dans P qui au point z = x + iy, (x, y) E 1R2, associe le point M’ d’affIXe z’ = (x’, y’) E 1R2. Montrer que f appartient à F si, et seulement s il existe des complexes p, q et r tels que : z’ = pz + qz + r r = - (1 + itgcx) (quel que soit M dans P) p + q = itgcx 3. Avec les notations de la question précédente, pour quels cl et q l’application f est-elle une similitude directe ? J

Nancy-Metz 3 septembre 1982

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