Exercices sur la modélisation mathématique - 8, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur l’inconnue complexe 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le paramètre complexe, la fonction numérique de la variable réelle
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Baccalauréat C juin 1982 Nancy-Metz

Exercice 1 4 points

1. Résoudre dans Z2 l’équation

17q − 11p = 2.

2. On désigne par n la classe d’équivalence modulo 187 de l’entier n ∈ Z. Résoudre dans Z/187Z l’équation x2 − 1 = 0.

Exercice 2 4 points

1. Résoudre dans C l’équation

z2 − [(1 + 2i)u+ 1]z + (−1 + z)u2 + iu = 0

oô z est l’inconnue complexe et u un paramètre complexe. On appellera z′ la racine qui est un polynôme du premier degré en u et dont le coefficient de u est (1 + i), z′′ l’autre racine.

2. Dans le plan affine euclidien, on appelle P le point d’affixe u, M ′ celui d’affixe z′, M ′′ celui d’affixe z′′. Par quelles transformations du plan passe-t-on de P à M ′ ? (On appellera T1 cette transformation et on explicitera ses éléments géométriques). Puis de P à M ′′ ? (On appellera T2 cette transformation et on explicitera ses éléments géométriques.)

3. Par quelle transformation T passe-t-on alors de M ′ à M ′′ ? Donner les éléments caractérisant T.

Problème 12 points

Partie A

On considère la fonction numérique de la variable réelle f définie par

f(x) = 1

1 + x .

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f .

2. Déterminer une fonction polynôme P, de degré inférieur ou égal à 3, qui a même valeur et même nombre dérivé que f en 0 et 1.

3. Soit k la fonction numérique définie par

k(x) = 1

1 + x +

1

4 x3 −

3

4 x2 + x− 1.

Factoriser k et en déduire la position relative de Cf et CP courbes re-

présentatives respectives de f et P dans un même repère (

O, −→ ı ,

−→  )

orthonormé du plan. Tracer soigneusement Cf et CP. Faire figurer les tangentes aux points communs.

Terminale C A. P. M. E. P.

4. À l’aide d’un encadrement de 1 + x pour x ∈ [0 ; 1], montrer que

1

240 <

∫ 1

0

k(x) dx < 1

120 .

5. Calculer ∫ 1

0

k(x) dx et ∫ 1

0

P(x) dx.

6. Déduire des résultats précédents la valeur de n ∈ N telle que

n

240 < Log 2 <

n+ 1

240 .

Partie B

On désigne par E l’espace vectoriel sur constitué par la fonction nulle et les fonctions polynômes, à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 3. Soit h un réel strictement positif et ϕ l’application de E vers R4 telle que

ϕ(P) = (P(0), P′(0), P(h), P′(h).

1. Quelle est la dimension de E ? Montrer que ϕ est une application linéaire bijective de E sur R4.

2. Soit ϕ−1, la bijection réciproque de ϕ. Déterminer P3 = ϕ−1((0, 0, 1, 0)) et P4 = ϕ−1((0, 0, 0, 1)).

3. Soit P1 = 1− P3, et P2 défini par P2(X) = −P4(h− x). Vérifier que P1 = ϕ−1((1, 0, 0, 0)) et P2 = ϕ−1((0, 1, 0, 0)).

4. Calculer pour i élément de {1, 2, 3, 4} l’intégrale ∫ h

0

Pi(t) dt.

5. Montrer que tout élément P de E s’écrit comme une combinaison linéaire de P1, P2, P3 et P4. En déduire la relation, pour P élément de E,

∫ h

0

P(t) dt = h

2 (P(0) + P(h)) +

h2

12

(

P′(0)− P′(h) )

.

Partie C

Soit a un réel strictement positif et g une application de [0 ; a] vers R possédant des dérivées continues au moins jusqu’à l’ordre 4 sur [0 ; a]. Soit h ∈]0 ; a], et Qh l’élément de E ayant même valeur et même nombre dérivé que g en 0 et h.

1. Montrer que g est intégrable sur [0 ; h] et, en utilisant les résultats de la partie B, qu’on a la relation

∫ h

0

g(t)dt− ∫ h

0

Qh(t)dt = ∫ h

0

g(t)dt− h

2 (g(0)+g(h))−

h2

12 (g′(0)− g′(h)) .

2. Pour tout u de [0 ; a], on pose

Ψ(u) =

∫ u

0

g(t) dt− u

2 (g(0) + g(u))−

u2

12 (g′(0)− g′(u)) .

Montrer que l’application Ψ ainsi définie est dérivable au moins jusqu’à l’ordre 3 sur [0 ; a], que

Ψ(0) = Ψ′(0) = Ψ′′(0) = 0

et que (∀u ∈ [0 ; a]),

(

Ψ(3)(u) = u2

12 g(4)(u)

)

.

Nancy-Metz 2 juin 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

3. On pose M = supt∈[0 ;a] ∣

∣g(4)(t) ∣

∣. Montrer successivement que

∀x ∈ [0 ; a], |Ψ′′(x)| 6 M x3

36 ,

∀y ∈ [0 ; a], |Ψ′(y)| 6 M y4

144 ,

∀z ∈ [0 ; a], |Ψ(z)| 6 M z5

720 .

4. Montrer en utilisant les questions précédentes que

∫ a

0

g(t) dt = a

2 (g(0) + g(a)) +

a2

12 (g′(0)− g′(a)) + R,

avec R 6 a5

720 M.

Nancy-Metz 3 juin 1982

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