Exercices sur la modélisation mathématique 9, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 9, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique - la fonction - 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer la probabilité de l’évènement, Exprimer z′ en fonction de z.
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[ Baccalauréat S Liban juin 2000 \

Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats

Une urne contient 10 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes, et 2 vertes. Dans les questions 1 et 2 on tire au hasard et simultanément 3 boules de cette urne. Les réponses seront données sous forme de fractions irréductibles.

1. Soit les évènements suivants :

A « Les trois boules sont rouges. »

B « Les trois boules sont de la même couleur. »

C « Les trois boules sont chacune d’une couleur différente. »

a. Calculer les probabilités p(A), p(B) et p(C ).

b. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de couleurs obtenues.

Déterminer la loi de probabilité de X . Calculer E (X ).

2. Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par n boules rouges où n est un entier supérieur ou égal à 2. L’urne contient donc n+5 boules, c’est- à-dire,n rouges, 3 jaunes et 2 vertes. On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. Soit les évènements suivants :

D « Tirer deux boules rouges. »

E « Tirer deux boules de la même couleur. »

a. Montrer que la probabilité de l’événement D est

p(D)= n(n−1)

(n+5)(n+4) .

b. Calculer la probabilité de l’évènement E , p(E ) en fonction de n. Pour

quelles valeurs de n a-t-on p(E )> 1

2 ?

Exercice 2 (obligatoire) 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On considère les points A et B d’affixes respectives i et − i. Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z distincte de − i associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ = 1+ iz

z + i .

1. Quelle est l’image par l’application f du point O ?

2. Quel est le point qui a pour image par l’application f le point C d’affixe 1+i ?

3. Montrer que l’équation 1+ iz

z + i = z admet deux solutions que l’on détermi-

nera.

4. Vérifier que z ′ = i(z − i)

z + i , en déduire OM ′ =

AM

BM et :

(

−→ u ,

−−−→

OM ′ )

=

(

−−→ MB ,

−−→ MA

)

+

π

2 +2avec k ∈Z.

5. Montrer que tous les points de l’axe des abscisses ont leurs images par l’ap- plication f situées sur unmême cercle (C ) que l’on précisera.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

6. Soit M un point du cercle de diamètre [AB] différent de A et de B, montrer que son image M ′ est située sur l’axe des abscisses.

Exercice 2 (spécialité) 5 points

1. Le plan (P ) est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. Soit A et

B dans ce plan d’affixes respectives a = 1+ i ; b =−4− i. Soit f la transforma- tion du plan (P ) qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z

tel que −−−→

OM ′ = 2 −−→ AM +

−−→ BM .

a. Exprimer z ′ en fonction de z.

b. Montrer que f admet un seul point invariant Ω dont on donnera l’affixe. En déduire que f est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.

2. On se place dans le cas où les coordonnées x et y de M sont des entiers na- turels avec 16 x 6 8 et 16 y 6 8.

Les coordonnées (x′ ; y ′) de M ′ sont alors : x′ = 3x +2 et y ′ = 3y −1.

a. On appelle G et H les ensembles des valeurs prises respectivement par x

et y ′. Écrire la liste des éléments de G et H .

b. Montrer que x′− y ′ est un multiple de 3.

c. Montrer que la somme et la différence de deux entiers quelconques ont même parité. On se propose de déterminer tous les couples (x′ ; y ′) de G ×H tels que m = x′2− y ′2 soit un multiple non nul de 60.

d. Montrer que dans ces conditions, le nombre x′− y ′ est un multiple de 6. Le nombre x′− y ′ peut-il être unmultiple de 30 ?

e. En déduire que, si x′2− y ′2 est un multiple non nul de 60, x′+ y ′ est mul- tiple de 10 et utiliser cette condition pour trouver tous les couples (x′ ; y ′) qui conviennent. Endéduire les couples (x ; y) correspondant aux couples (x′ ; y ′) trouvés.

Problème 11 points

Partie A - Préliminaires

1. Étudier le sens de variation de la fonction g définie sur R par

g (t)= et t −1.

Quel est le minimum de la fonction g sur l’intervalle ]−∞ ; +∞[ ?

2. En déduire les inégalités suivantes :

a. Pour tout réel t , et > t +1, et > t et − te− t >−1.

b. Pour tout réel t tel que t >− 1, ln(1+ t)6 t .

3. En déduire que pour tout réel x, ln(1− xe−x )<−xe−x .

Partie B - Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur R par

f (x)= x2−2ln (

ex x )

.

1. Montrer que f (x)= x2−2x −2ln(1− xe−x ). Quelle est la limite de f en +∞ ? On admettra que la limite de la fonction f en −∞ est +∞.

Liban 2 juin 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Calculer f ′(x) et montrer que f ′(x)= 2(x −1)(ex x −1)

ex x .

Dresser le tableau de variation de la fonction f .

Dans un repère orthonormal (unité : 3 cm), on considère la parabole (P ) d’équation y = x2−2x et (C ) la courbe représentative de f . Montrer que (P ) et (C ) sont asymptotes en + ∞. Étudier les positions relatives des courbes (P ) et (C ).

3. Donner une équation de chacune des tangentes (D) et (D′) respectivement aux courbes (P ) et (C ) aux points d’abscisse 0.

4. Tracer dans un même repère les courbes (P ) et (C ) et leurs tangentes (D) et (D′) .

Partie C - Étude d’une intégrale

1. Soit n un entier naturel, on pose un = ∫n

0 xe−x dx.

a. Démontrer que la suite u de terme général un est croissante.

b. Calculer un à l’aide d’une intégration par parties.

c. Déterminer la limite de la suite un .

2. L’aire du domaine (en unités d’aire) limité par les droites d’équation x = 0, x = n, la parabole (P ) et la courbe (C ) est définie par

In =− 2 ∫n

0 ln

(

1− xe−x )

dx

a. Montrer en utilisant la question 3) des préliminaires que In > 2un .

b. On admet que la suite (In ) a pour limite l . Montrer que : l > 2.

Liban 3 juin 2000

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