Exercices sur la suites de fonctions, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices sur la suites de fonctions, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques sur la suites de fonctions. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: convergence simple, d´emonstration complète.
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TD : Suites de fonctions

Mathématiques Licence STS Mention Electronique

Laboratoire LTSI - Université de Rennes1

Exercice 1.

Etudier en terme de convergence simple et uniforme les suites de fonctions définies par :

1. fn(x) = e −nx pour tous x ∈ [0, 1], et n ∈ N∗ ;

2. gn(x) = e−nx

n pour tous x ∈ [0, 1], et n ∈ N∗ ;

3. hn(x) = e −nx sin(x) pour tous x ∈ [0,+∞[, et n ∈ N∗.

Exercice 2.

Examiner la convergence1 en moyenne et en moyenne quadratique des suites de fonctions définies par :

1. fn(x) = √ ne−n

2x2 pour tout x ∈ R (utiliser ∫ R e−x

2 dx =

√ π)

2. gn(x) =

{ n2 sin(nx)

2π pour tout x ∈ [−π/n, π/n] ;

0 sinon ;

3. hn(x) =

{ 2

πn2

√ n2 − x2 pour tout x ∈ [−n, n]

0 sinon .

Exercice 3.

Déterminer si les propriétés suivantes sont vraies ou fausses. On donnera une démonstration complète dans le premier cas et un contre-exemple dans le deuxième cas. Les fonctions fn (non nécessairement continues) sont définies sur un intervalle I.

1. Si (fn) converge uniformément vers f sur I et si f est bornée sur I, alors chaque fn est bornée sur I. (On rappelle que f est bornée sur I si et seulement si il existe B > 0 tel que, pour tout x de I on ait |f (x)| < B) ; 2. Si (fn) et (gn) convergent uniformément respectivement vers f et g sur I, alors (fn + gn) converge uniformément vers f + g sur I ;

3. Si (fn) et (gn) convergent uniformément respectivement vers f et g sur I, alors (fngn) converge uniformément vers fg sur I ;

4. Si (fn) converge uniformément sur [a, b[ et si la suite numérique (fn (b)) est convergente, alors la suite de fonctions (fn) converge uniformément sur [a, b].

1Attention : la convergence uniforme n’implique les trois autres que si l’on travaille sur un compact (fermé borné).

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