Exercices sur la théorie algébrique des nombres, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices sur la théorie algébrique des nombres, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques sur la théorie algébrique des nombres Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices de 1 à 10, démonstrations.
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Université de Rennes 1 Master M1 de mathématiques Année 2006-2007 H04. Théorie algébrique des nombres

Feuille de TD 2

Exercice 1

Montrer que (1− i) est irréductible dans Z[i]. Vérier que dans Z[i] on a

5 = (2 + i) (2− i) = (1 + 2 i)(1− 2 i)

et que ceci ne contredit pas la factorialité de Z[i]. Décomposer en produit d'irréductibles dans Z[i] :

2, 7, 13, −2 + 2 i, −11 + 2 i et 7 + i.

Exercice 2

Décomposer en produit d'irréductibles dans Z[j] :

3 + j, 5 + j, 3 j, 7.

Exercice 3

Soit z ∈ Z [ i √

5 ] que l'on écrit a + i b

√ 5 avec (a, b) ∈ Z2. On dénit la

norme de z par N(z) = z z = a2 + 5 b2. 1. Montrer que pour tous z, z′ ∈ Z

[ i √

5 ] , on a

N(z z′) = N(z)N(z′).

En déduire que si z divise z′ dans Z [ i √

5 ] , N(z) divise N(z′) dans Z.

2. En déduire qu'un élément z de Z [ i √

5 ] est inversible dans Z

[ i √

5 ] si

et seulement si N(z) = 1. Quels sont les inversibles de Z [ i √

5 ] ?

3. Montrer que 2 est irréductible dans Z [ i √

5 ] (on utilisera la norme).

En considérant l'égalité

(1 + i √

5) (1− i √

5) = 2.3

en déduire que Z [ i √

5 ] n'est pas un anneau factoriel.

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4. Déterminer les diviseurs communs de 9 et 3.(2 + i √

5) dans Z [ i √

5 ]

(on commencera par déterminer leur norme ; on montrera en particulier qu'il n'y a pas dans Z

[ i √

5 ] d'éléments de norme 3 ou 27).

5. Déduire du point 4 que 3 et 2 + i √

5 n'ont pas de ppcm dans Z [ i √

5 ]

(ceci redémontre également que Z [ i √

5 ] n'est pas factoriel).

6. Déduire du point 4 que 9 et 3 (2+i √

5) n'ont pas de pgcd dans Z [ i √

5 ]

(ceci redémontre également que Z [ i √

5 ] n'est pas factoriel).

Exercice 4

Soit p un nombre premier congru à 1 modulo 4. Le but de cet exercice est de mettre au point un algorithme ecace permettant d'écrire p comme somme de deux carrés.

1. Soit n un entier tel que la classe n de n dans F∗p soit d'ordre 4. Montrer qu'il existe un unique morphisme d'anneaux ϕn : Z[i] → Fp qui envoie i sur n. Montrer que le noyau de ϕn est engendré par p et n − i. Soit a + i b un générateur du noyau de ϕn. Montrer que p = a2 + b2.

2. Écrivons p − 1 = 2r q avec q impair et r > 2. Montrer que pour tout x de F∗p, x

2r−2 q est d'ordre 4 si et seulement si x n'est pas un carré. En déduire la probabilité pour qu'un élément x de F∗p pris au hasard vérie que x2

r−2 q est d'ordre 4. Ceci donne un algorithme probabiliste ecace pour trouver un élément d'ordre 4 de F∗p.

3. Savez vous eectuer des divisions euclidiennes dans Z[i] ? par exemple, la division euclidienne de 1549 par 88− i ?

4. Ce qui précède donne un algorithme pour écrire p comme somme de deux carrés : on trouve n tel que n soit un élément d'ordre 4 dans F∗p, et on calcule (comment ?) un générateur du noyau du morphisme ϕn. Appliquer cet algorithme à un grand nombre premier congru à 1 modulo 4, par exemple 1549 ou 12517.

Exercice 5

Montrer qu'il existe une innité de nombres premiers congrus à 3 mo- dulo 4 et qu'il existe une innité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4 (s'inspirer de la preuve classique de l'innitude des nombres premiers ; pour le deuxième cas, on utilisera après l'avoir démontré le fait que tout facteur premier impair d'un nombre de la forme n2 + 1 est congru à 1 modulo 4).

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Exercice 6

On considère l'équation x2 + y2 = p z2 où p est un nombre premier. Véri- er qu'elle possède une solution dansQ3 si et seulement si elle en possède une dans Z3. Montrer que si −1 n'est pas un carré dans Fp elle n'admet pas de solution dans Z3. Réciproque ? Dans le cas où l'équation admet une solution, décrire toutes les solutions dans Q3.

Exercice 7

Donner toutes les solutions dans Z2 et Q2 des équations suivantes :

x2 + 2 y2 = 6,

x2 + y2 = 11,

x2 + 2 y2 = 11,

x2 + 2 y2 = 7,

x2 − 6 y2 = −1. On pensera à réduire les équations modulo un nombre premier. On pensera aussi à la paramétrisation rationnelle des coniques.

Exercice 8

Le but de cet exercice est de montrer que (3, 5) et (3,−5) sont les seules solutions dans Z2 de l'équation

y2 + 2 = x3 (∗).

1. Montrer que l'anneau Z [ i √

2 ] est euclidien (donc factoriel). On s'ins-

pirera de la preuve du fait que Z[i] est euclidien.

2. En déduire que si (x, y) ∈ Z2 est une solution de (∗), il existe des entiers a et b vériant

y + i √

2 = ( a + i b

√ 2 )3

.

3. Conclure.

4. Pouvez-vous donner un autre exemple d'équation diophantienne résol- vable par une méthode similaire ?

Exercice 9

Le but de cet exercice est de montrer que l'anneau Z [

1+i √

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] est principal

mais non euclidien.

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1. On établit d'abord une condition nécessaire pour qu'un anneau soit euclidien. Montrer que si A est un anneau euclidien il existe un élément x de A non inversible tel que la restriction du morphisme naturel A→ A/(x) à l'ensemble A∗ ∪ {0} soit surjective (considérer un élément de stathme minimal). Exhiber un tel élément dans les cas A = Z, A = k[X], A = Z[i].

2. Dans toute la suite de l'exercice, A désigne l'anneau Z [

1+i √

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] . Dé-

terminer le groupe des éléments inversibles de A (on utilisera la norme N : z 7→ z z).

3. En remarquant que α = 1+i √

19 2

satisfait la relation α2 − α + 5 = 0, déduire de ce qui précède que A n'est pas un anneau euclidien.

4. Le but du reste de l'exercice est de montrer que A est principal. On considère à nouveau la norme N : z 7→ z z. Contrairement à ce qui se passe pour Z[i], N n'est pas un stathme euclidien pour A. Montrer cependant l'existence d'une pseudo division euclidienne sur A au sens suivant : si a ∈ A et b ∈ A \ {0}, il existe q, r ∈ A vériant les deux conditions suivantes : i. r = 0 ou N(r) < N(b) ii. a = b q + r ou 2 a = b q + r (s'inspirer de la preuve du fait que Z[i] est euclidien pour N ; on écrira a b

= u + v α avec u et v rationnels ; si n est la partie entière de v, on distinguera les cas v /∈

] n + 1

3 , n + 2

3

[ et v ∈

] n + 1

3 , n + 2

3

[ , en

considérant 2a b dans ce dernier cas).

5. Déduire de la question précédente que A est principal. On utilisera, après l'avoir démontré, le fait que (2) est un idéal maximal de A.

Exercice 10

Le but de cet exercice est de démontrer la version (énoncée en cours) du théorème de Fermat où l'anneau Z est remplacé par un anneau de polynômes. Soit n > 3 un entier. On cherche les triplets (A,B,C) d'éléments de C[T ], premiers entre eux (un tel triplet est dit primitif) et vériant l'équation

An + Bn = Cn (E).

Un tel triplet solution sera dit trivial si ses éléments sont des constantes. On va montrer que les seuls triplets primitifs d'éléments de C[T ] solutions de (E) sont les triplets triviaux. Pour cela on utilise la méthode de descente innie. Pour tout triplet (A,B,C) de C[T ]3 on pose

h(A,B,C) = max(deg(A), deg(B), deg(C)).

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On suppose que l'ensemble E des triplets primitifs non triviaux solutions de (E) est non vide. On peut alors toujours choisir (A0, B0, C0) ∈ E tel que

h(A0, B0, C0) = min (A,B,C)∈E

h(A,B,C).

On va alors construire à partir de (A0, B0, C0) un élément (A′0, B ′ 0, C

′ 0) de E

vériant h(A′0, B

′ 0, C

′ 0) < h(A0, B0, C0)

d'où une contradiction. 1. On note µn l'ensemble des racines nèmes de l'unité de C. Montrer que

les polynômes (C0 − ζ B0)ζ∈µn sont premiers entre eux deux à deux, et que pour tout ζ ∈ µn il existe un polynôme Pζ vériant P nζ = C0−ζ B0.

2. Soit ζ1, ζ2 et ζ3 trois éléments distincts de µn. Posons pour i = 1, 2, 3 Pi = Pζi . Montrer qu'il existe un triplet (a1, a2, a3) d'éléments de C tel qu'on ait

(a1 P1) n + (a2 P2)

n = (a3 P3) n .

Conclure.

3. Peut-on remplacer C par un corps k algébriquement clos quelconque ?

4. Peut-on remplacer C par un corps quelconque ?

Exercice 11

Le but de cet exercice est de donner une démonstration du théorème de Lagrange : tout entier naturel est somme de quatre carrés.

1. Soit A un anneau. On note 1, i, j, k la base canonique du A-module libre A4. Admettre (ou démontrer. . .) qu'il existe sur A4 une loi de compo- sition (que l'on notera multiplicativement) associative, distributive par rapport à l'addition, admettant 1 pour élément neutre, et telle que

i2 = j2 = k2 = −1, i j = −j i = k, j k = −k j = i, k i = −i k = j.

Cette loi munit A4 d'une structure d'anneau non nécessairement com- mutatif. A4 muni de cette structure est appelé anneau des quaternions sur A et noté H(A). Pour tout z = a+ b i+ c j + d k ∈ H(A) on dénit le conjugué de z par z = a− b i− c j − d k. Vérier qu'on a pour tout z, z′ ∈ H(A)

z + z′ = z + z′, z z′ = zz′ et z = z.

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2. Pour z ∈ H(A), on dénit la norme réduite de z, notée N(z), par N(z) = z z. Montrer que si z = a + b i + c j + d k ∈ H(A) on a N(z) = a2 + b2 + c2 + d2 et que pour tout z, z′ ∈ H(A) on a N(z z′) = N(z)N(z′). Montrer que z est inversible dans H(A) si et seulement si N(z) est inversible dans A. En déduire que tout élément non nul de H(Q) est inversible.

3. On dénit l'ensemble H des quaternions de Hurwitz comme le sous- ensemble de H(Q) donné par

H =

{ a + b i + c j + d

2 , (a, b, c, d) ∈ Z4, a ≡ b ≡ c ≡ d [2]

} .

Montrer que H est un sous-anneau (non commutatif) de H(Q) conte- nant H(Z). Montrer que tout idéal à gauche de H (respectivement à droite)(i.e. tout sous-groupe additif de H stable par multiplication à gauche (resp. à droite)) est de la forme H z (respectivement zH) pour un z ∈ H (s'inspirer de la preuve du fait que Z[i] est principal).

4. Montrer que pour démontrer le théorème de Lagrange il sut de mon- trer que tout nombre premier impair s'écrit comme somme de quatre carrés.

5. Montrer que sur un corps ni 0 est somme de quatre carrés non tous nuls. En déduire que l'anneau des quaternions sur un corps de caracté- ristique non nulle n'est jamais intègre.

6. Soit p un nombre premier impair. Montrer que l'on peut munir le quo- tient H/H p d'une structure d'anneau (non commutatif) telle que l'ap- plication naturelleH→ H/H p soit un morphisme d'anneaux. Montrer que muni de cette structure H/H p est isomorphe à H(Fp). En consi- dérant un élément non nul de H(Fp) de norme réduite nulle, montrer qu'il existe un élément z de H tel que H z soit distinct de H et H p soit inclus dans H z. En déduire que p est somme de quatre carrés.

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