Exercices sur la théorie de calcul 10, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Exercices sur la théorie de calcul 10, Exercices de Théorie de calcul

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Exercices sur la théorie de calcul 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer les limites de f, Tracer la courbe ¡.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Grèce septembre 1987 \

EXERCICE 1 4 points

Soit, dans le plan orienté, un triangle équilatéral ABC de côté a > 0 tel que l’angle

orienté (

−→ AB ,

−−→ AC

)

ait pour mesure + π

3 . C est le cercle de centre B et de rayon

a

2 et

C ′ le cercle de centre C et de rayon

a

2 .

À tout pointM deC on associe le pointM ′ deC ′ tel que l’angle orienté (

−−→ BM ,

−−−→ CM

)

ait pour mesure + π

3 .

1. Montrer que les droites (BM) et (CM ′) sont sécantes ; K désignant leur point d’intersection, montrer que les points A, B, C, K sont cocycliques.

2. Montrer que la rotation de centre A transformant B en C transformeM enM ′.

3. Soit I lemilieude (M , M ′).Montrer que I est l’imagedeM dansune similitude directe de centre A, indépendante deM , dont onprécisera les autres éléments.

Quel est l’ensemble décrit par le point I quand M décrit C ?

Le tracer.

EXERCICE 2 5 points

1. Le plan étant rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

, construire sur une

même figure l’ensemble E1 des points du plan dont les coordonnées vérifient le système :

{

y2 = 24x+24 x 6 0

et l’ensemble E2 des points du plan dont les coordonnées vérifient le système :

{

y2 =−4x+24 x > 0

(on prendra 1 cm pour unité).

E1 est une partie d’une parabole P1, E2 est une partie d’une parabole P2. Montrer que P1 et P2 ont même foyer F, tracer la directrice de P1 et la di- rectrice de P2 sur la figure précédente.

2. a. Vérifier que tout pointM de la réunion des ensembles E1 et E2 est tel que la somme des distances deM à F et deM à l’axe des ordonnées est égale à 7.

b. Démontrer que, réciproquement, tout point du plan dont la somme des distances à F et à l’axe des ordonnées est égale à 7 appartient à la réunion des ensembles E1 et E2.

Terminale C A. P. M. E. P.

PROBLÈME 11 points

Partie A

Dans cette partie, on étudie la fonction f de la variable réelle x définie sur D = ]−1 ; +∞[ par :

f (x)= 1

1+ x − ln(1+ x).

1. Déterminer les limites de f (x) aux bornes de son ensemble ainsi que la limite

de f (x)

x quand x tend vers +∞.

2. Étudier les variations de f sur D.

3. Construire, dans un repère orthonormal du plan (

O, −→ ı ,

−→

)

, d’unité 4 cm, la

courbe C représentative de f .

4. a. Montrer que f est une bijection de D sur R.

b. En déduire que l’équation f (x) = 0 admet dans D une solution unique, notée x1 et montrer que : 0,7< x1 < 0,8.

5. Calculer en fonction de x1 et en cm2 l’aire de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la courbe.

Partie B

Dans cette partie, on étudie la fonction g définie sur D par

g (x)= e−x ln(1+ x).

1. a. Déterminer les limites de g (x) aux bornes de D.

b. En utilisant la question A 4. étudier les variations de g ; donner une va- leur approchée dumaximum de g .

c. Montrer que, pour tout x de

[

0 ; 1

2

]

, g (x) appartient à

[

0 ; 1

2

]

.

2. On se propose dans cette question de démontrer que l’équation g (x)= x ad- met dans D une solution unique.

a. Onpose, pour x appartenant à D : h(x)= xg (x) ; exprimer h′(x) à l’aide de f (x) et montrer, en utilisant les variations de f étudiées en A, que h′(x) est du signe de x.

Étudier les variations de h.

b. Montrer que, pour tout x non nul appartenant à D, on a : h(x)> 0.

c. Résoudre alors dans D l’équation g (x)= x.

3. Tracer la courbe Γ représentative de g ainsi que la tangente à Γ en O, dans un

repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

, d’unité 4 cm.

4. On définit la suite (un )n∈N par son premier terme u0 = 1

2 et la relation de ré-

currence, pour tout entier n : un+1 = g (un ).

a. Montrer que : ∀n ∈N, un

[

0 ; 1

2

]

.

b. Montrer que la suite (un )n∈N est décroissante.

c. Déduire des questions précédentes que la suite converge et trouver sa limite (onmontrera que est solution de l’équation g (x)= x).

d. Représenter à l’aide de la courbe Γ les termes u0, u1, u2 sur (

O, −→ ı

)

.

Grèce 2 septembre 1987

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