Exercices sur la théorie de calcul 11, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices sur la théorie de calcul 11, Exercices de Théorie de calcul

PDF (34.9 KB)
2 pages
128Numéro de visites
Description
Exercices sur la théorie de calcul 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer un réel a, dèterminer la limite de la suite.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
LaReunionCjuin1987.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C La Réunion juin 1987 \

EXERCICE 1 4 points

Pour chaque entier naturel n, on pose :

un =

∫1

0

xn

1+2x +4x2 dx.

1. Montrer que l’on définit ainsi une suite (un ), dont chaque terme est positif ou nul.

2. Étudier le sens de variation de la suite (un ).

En déduire qu’elle converge.

3. Déterminer un réel a vérifiant : xn

1+2x +4x2 6 a tout réel x de l’intervalle

[0 ; 1].

En déduire la limite de la suite (un ).

EXERCICE 2 4 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct.

1. On désigne par A, B et C des points distincts du plan, ayant pour affixes res- pectives a, b et c.

Montrer que ABC est un triangle rectangle en A, si, et seulement si, c a

b a a une

partie réelle nulle.

2. A chaque point M d’affixe z non nulle, on associe les points A, B et C d’affixes

respectives 1

z , 1

z2 et

1

z3 , et on désigne par F l’ensemble des points M du plan

pour lesquels les points A, B et C sont distincts deux à deux, et ABC est un triangle rectangle.

a. Pour quelles valeurs de z, les points A, B et C sont-ils distincts deux à deux ?

b. Déterminer F puis le représenter. (On notera que le triangle ABC peut être rectangle en A, B, ou C.)

PROBLÈME 12 points

Les questions ne sont pas indépendantes, mais la formulation de chacune d’elles per-

mettra au candidat d’utiliser tout résultat utile à la résolution de la suite du problème,

même s’il ne l’a pas démontré.

On désigne par E l’ensemble des triplets (x, y, z) de réels non nuls vérifiant x + y + z = 0. Première partie

Dans le plan P, on donne des points A, B et C non alignés, et on désigne par O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. A. Soit (x, y, z) un élément de E.

1. Montrer que chacun des ensembles de points pondérés {(B, y), (C, z)},

{(A, x), (C, z)}, et {(A, x), (B, y)} possède un barycentre.

Dans la suite, ces trois points seront respectivement notés I, J, et K.

Terminale C A. P. M. E. P.

2. a. Montrer qu’il existe un vecteur −→

v non nul, tel que pour tout point M du

plan P, on ait : x −−→

MA + y −−→

MB + z −−→

MC = −→

v .

(On exprimera −→

v en fonction de −−→

AB et −−→

AC ).

b. Montrer que −→

v n’est colinéaire à aucun des trois vecteurs −−→

AB , −−→

AC

et −−→

BC .

c. Montrer que chacun des vecteurs −→

AI , −→

BJ et −−→

CK est non nul, et colinéaire

à −→

v .

3. a. Montrer que pour tout point M du plan P, on a

xMA2+ yMB2+ zMC2 = 2 −−→

MO · −→

v .

b. En déduire que le lieu géométrique des points M du plan P vérifiant xMA2+ yMB2+ zMC2 = 0, est la droite D passant par O, perpendiculaire à chacune des droites (AI), (BJ) et (CK).

Dans la suite, on dira que la droite D est associée au triplet :

{(A, x), (B, y), (C, z)}.

c. Application : construire la droite D associée à : {(A, −3),(B, 1),(C, 2)}.

4. Soit d une droite passant par O, distincte de chacune des médiatrices du tri- angle ABC.

Montrer que l’on peut trouver un triplet (

x0, y0, z0 )

de E, tel que d soit la droite associée à

{

(A, x0) , (

B, y0 )

, (C, z0) }

.

B. Dans cette partie, on suppose que le triangle ABC n’est pas isocèle, et on désigne par A′, B′, et C′ lesmilieux respectifs de (B,C), (C,A), et (A,B), par O′ le centre du cercle circonscrit à A′B′C′, par G le centre de gravité du triangle ABC, et par H l’orthocentre du triangle ABC.

1. Montrer que O et H sont distincts.

2. Montrer que l’on peut trouver un triplet (

x1, y1, z1 )

de E, tel que la droite D1 associée à

{

(A,x1) , (

B, y1 )

, (C,z1) }

soit la droite (OH). (On ne demande pas de calculer les réels x1, y1 et z1).

3. On désigne par D′1 la droite associée à {

(A, x1) , (

B, y1 )

, (C, z1) }

. Montrer que DI et D sont des droites parallèles. (On pourra utiliser une homothétie de centre G).

4. En déduire que D1 =D′1, et que les points O, O ′, G, et H sont alignés. On préci-

sera les abscisses de chacun de ces points dans le repère (

O, −−→

OG )

de la droite

D1.

Deuxième partie

Dans le plan P, on donne une droite D, et un point B n’appartenant pas à D. Montrer qu’il existe une infinité de couples de points (A, C) vérifiant : D est la droite associée à {(A, −3), (B, 1),(C, 2)}, et ABC est rectangle en A. On donnera une construction de chaque couple (A, C) solution du problème.

La Réunion 2 juin 1987

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome