Exercices sur la théorie de calcul 3, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Exercices sur la théorie de calcul 3, Exercices de Théorie de calcul

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Exercices sur la théorie de calcul 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: déterminer les rotations de l’espace, Déduire les quatre demi-tours solutions.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1987 \

EXERCICE 1 4 points

Le plan P est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Pour tout réels x et y, z = x + iy est l’affixe du point M de coordonnées (x ; y), c’est

aussi celle du vecteur −−→ OM = x

−→ u + y

−→ v .

A est le point d’affixe 2i, D la droite d’équation y = 0. f est la fonction complexe de la variable complexe z qui à z non réel associe :

z ′ = z −2i

z z .

F associe à tout point M de P −{D} d’affixe z, le point M′ d’affixe z ′.

1. Exprimer les parties réelle et imaginaire de z ′ en fonction de celles de z et déduire que f définit une bijection deC−{R} sur une partie deC à déterminer.

2. B est le point d’affixe 1

2 . Quelles sont les images respectives par F des demi-

droites ouvertes d’origineOportées par l’axe imaginaire, l’axe imaginaire étant l’ensemble des points d’abscisse nulle.

3. Quelle est l’affixe du projeté orthogonal H sur D du point M d’affixe z ?

Quelle est celle de −−→ HM ?

Montrer que l’ensemble des points d’affixe z tels que ∣

f (z) ∣

∣= 1

2 est une para-

bole dont on précisera le foyer et la directrice.

EXERCICE 2 6 points

b

b

b

A B

CD

E F

G H

J

O

I

P

A, B, C, D, E, F, G, H sont les sommets d’un cube tel que ABCD soit une face horizon-

tale, EFGH l’autre, et que la translation de vecteur vertical −→ AE transforme B en F, C

en G et D en H. P désigne la plan horizontal passant par le centre O du cube, (ABC) celui passant par A, B et C, sP la réflexion (ou symétrie orthogonale) par rapport à P . I et J sont les centres respectifs des carrés ABCD et EFGH. Il s’agit de déterminer les rotations de l’espace qui transforment tout sommet de l’une des faces horizontales en un sommet de l’autre.

Terminale C A. P. M. E. P.

1. a. Onsuppose que s est une réflexion transformant {A,B,C,D} en {E,F,G,H}.

Déterminer s(I) et s(J ).

b. Déduire qu’il existe une seule réflexion transformant {A, B, C, D} en

{E, F, G, H}.

2. Pour toute rotation r échangeant {A, B, C, D} en {E, F, G, H}, déterminer r (I), r (J ) et r (O).

Déduire que l’axe de r passe par O, qu’il est horizontal et que r est un demi- tour.

3. Soit r un demi-tour d’axe horizontal L passant par O.

a. Déterminer r sP (I) et r sP (M) pour tout point M de L.

Déduire que r sP est la réflexion sQ par rapport au plan vertical conte- nant L.

b. On note ∆ la droite intersection des plans Q et (ABC).

Montrer que (ABC) est stable par sQ. Quelle est la restriction de sQ à ce plan (ABC) ?

c. Montrer que r est solution si et seulement si la symétrie orthogonale s∆ par rapport à ∆, isométrie du plan (ABC), laisse invariant l’ensemble {A, B, C, D}.

4. Déduire les quatre demi-tours solutions.

PROBLÈME 10 points

I. Pour tout n appartenant à N, on note fn l’application de R dans R définie par 

sin = 0 f0(x) = e1−x ,

sin ∈N∗ fn (x) = xn

n! e1−x .

On désigne par (Cn) la courbe représentative de fn dans un repère orthonormé.

1. Étudier f0. Tracer (C0) en précisant la droite asymptote quand x tend vers+∞ et les tangentes à (C0) aux points d’abscisses 0 et 1.

2. On se propose d’étudier fn pour tout entier naturel n non nul.

a. Étudier les variations de fn (on distinguera plusieurs cas).

b. Montrer que (Cn) admet une droite asymptote quand x tend vers +∞.

3. a. Étudier les positions relatives de (C1) et (C2). Tracer (C1) et (C2) dans un même repère. L’étude des branches infinies en −∞ n’est pas demandée.

b. Calculer l’aire de la partie du plan limitée par (C1) et (C2) et les droites d’équations x = 1 et x = 2.

(On pourra remarquer une relation simple entre f1, f2 et f ′2.)

II. Soit n appartenant àN et α un réel strictement positif fixé. On considère l’intégrale In définie par :

In =

α

0 fn (t)dt .

1. a. Calculer I0.

b. Montrer que : ∀n ∈N, 06 In 6 α

n

n! I0.

c. On admettra que lim n→+∞

α n

n! = 0.

En déduire la limite de In lorsque n tend vers +∞.

Amérique du Sud 2 novembre 1987

Terminale C A. P. M. E. P.

2. a. Montrer que : ∀n ∈N, In+1 = In α

n+1

(n+1)! e1−α.

b. En déduire que :

n ∈N, In = e−

(

n

k=0

α k

k!

)

e1−α.

et que

lim n→+∞

n

k=0

α k

k! = eα.

c. En déduire la limite de n

k=0

1

k! lorsque n tend vers +∞.

Amérique du Sud 3 novembre 1987

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