Exercices sur la théorie de calcul 4, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Exercices sur la théorie de calcul 4, Exercices de Théorie de calcul

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Exercices sur la théorie de calcul 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer le module, Étudier les fonctions g1 et g2.
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[ Baccalauréat C groupe 1 1 juin 1987 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Déterminer le module et un argument du nombre complexe :

u = p 3+ i 4

.

2. Soit f l’application de C dans lui-même qui à tout nombre complexe z asso- cie :

f (z)=uz+ (1+ i)(1−u).

Montrer que f est bijective, et déterminer le complexe w tel que f (w)=w. 3. Soit I ,M et M ′ les points du plan complexe ayant pour affixe w , z et f (z) res-

pectivement. On suppose M différent de I .

Donner unemesure de l’angle (−−→ IM ,

−−−→ IM

)

, et calculer la distance IM ′ en fonc-

tion de la distance IM .

Onnote F l’application qui àM associe M ′.

Préciser la nature de F et ses éléments caractéristiques.

4. Soit A0 le point d’affixe z0 =−1+2i. On définit, pour tout entier naturel n,zn+1 = f (zn). On note An le point d’affixe zn dans le plan complexe.

Calculer, en fonction de n, la distance I An .

Quelle est la limite de cette distance quand n tend vers +∞ ?

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit D une droite du plan, F un point dont la distance à D est égale à 2,25 (unité : 1cm) et ∆ la droite passant par F et perpendiculaire à D.

1. Déterminer l’ensemble (E) des points M du plan tels que MF

MH = 0,8, H étant

la projection orthogonale deM sur D.

Donner la nature de (E). Préciser les directrices, les foyers et les sommets A et A′ situés sur D. Représenter (E) sur un dessin.

2. Déterminer l’équation cartésienne de (E) dans un repère orthonormal formé par ∆ et la médiatrice de [AA′].

PROBLÈME 12 POINTS

L’objectif de ce problème est d’étudier certaines fonctions du type x 7−→ e−x , α étant un réel strictement positif.

A) On désigne par g1 et g2 les fonctions de R dans R définies par :

g1(x)= xe−x et g2(x)= x2e−x .

1. Étudier les fonctions g1 et g2 : on donnera le sens de variation et les limites en −∞ et +∞. Dessiner leurs courbes représentatives (C1) et (C2) dans lemême repère ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité : 2 cm) ; on prendra soin de préciser leur position.

1. Amiens - Rouen

Le baccalauréat de 1987 A. P. M. E. P.

2. Déterminer une équation de la tangente à (C1) au point M d’abscisse x ; cette tangente coupe l’axe des ordonnées y y en un point T.

Déterminer, en fonction de x, l’ordonnée de T.

3. Soit t un réel donné, et T le point de y y tel que OT = t . Utiliser la courbe (C2) pour étudier, suivant la valeur de t , le nombre de tangentes à (C1) passant par T .

En déduire une construction géométrique de la tangente en M à (C1).

B) n étant un entier naturel non nul, fn est la fonction de [0 ; +∞[ vers R, définie par

fn (x)= xne−x ,

de courbe représentative (Cn) dans un repère orthogonal. On désigne par Sn l’aire de la portion de plan délimitée par (Cn), l’axe des abscisses et la droite d’équation : x = 1.

1. En remarquant que, pour x positif, on a e−x 6 1, montrer que Sn < 1

n .

En déduire la limite de Sn quand n tend vers +∞. 2. Établir une relation entre Sn+1 et Sn .

En déduire que e−1

n+1 est une valeur approchée de Sn à

1

(n+1)2 près.

C) On note f la fonction définie par :

{

f (x) = x 1 3 ·e−x , si x > 0

f (0) = 0.

On appelle u la suite définie par u0 = 1

3 et un+1 = f (un ) pour tout entier naturel n.

On admet qu’il existem strictement positif tel que

| f ′(x)| <m < 1 pour tout x de [

1

3 ; 1

]

.

1. a. Montrer que l’image par f de tout élément x de

[

1

3 ; 1

]

est aussi dans [

1

3 ; 1

]

.

b. Onpose h(x)= f (x)−x. Montrer que h s’annule en un point λ unique de ]

1

3 ; 1

]

.

c. Rappeler l’inégalité des accroissements finis, et montrer qu’on peut l’ap-

pliquer à deux points a et b quelconques de

[

1

3 ; 1

]

.

2. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à [

1

3 ; 1

]

.

b. Montrer que, si u converge, sa limite est λ.

c. Montrer que, pour tout entier naturel n :

|un+1−λ|6m |un λ| ;

en déduire que : lim n→+∞

un =λ.

Aix-Marseille 2 juin 1987

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