Exercices sur la théorie de calcul 5, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices sur la théorie de calcul 5, Exercices de Théorie de calcul

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Exercices sur la théorie de calcul 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction numérique de la variable x, le nombre complexe z, l’intersection de M.
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Antilles-GuyaneCjuin1987.dvi

[ Baccalauréat C Antilles-Guyane juin 1987 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit f1 la fonction numérique de la variable x, définie sur R− par :

f1(x)= x− 3p3x

et soit f2 la fonction numérique de la variable x, définie sur R+ par :

f2(x)= x+ 3p3x.

1. Étudier les fonctions f1 et f2.

Tracer leurs courbes représentativesC1 etC2 dans le plan rapporté à un repère

orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→

) .

On précisera en particulier les tangentes à C1 et C2 au point O.

2. Soit h la fonction numérique de la variable x, définie sur R par :

h(x)= x+ 3 √

3|x|.

Montrer que sa courbe représentative C dans le plan rapporté à un repère

orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→

) est la réunion de C1 et C2.

La droite d’équation y = x+1 coupe la courbeC endeuxpoints A et B. Calculer l’aire de la partie du plan limité par le segment [AB] et les arcs ØOA et ØOB de la courbeC .

EXERCICE 2 4 POINTS

Pour tout nombre complexe z, on pose :

f (z)= z3− (16− i)z2+ (89−16i)z+89i.

1. Montrer que l’équation f (z) = 0 possède une racine imaginaire pure, a, que l’on déterminera.

2. Démontrer qu(il existe deux nombres réels p et q tels que :

f (z)= (za) ( z2+pz+q

) .

Résoudre alors dans C, l’équation f (z)= 0. 3. On note P le plan complexe muni d’un repère orthonormé et a, z1 (de partie

imaginaire positive) et z2 les solutions de l’équation f (z)= 0. Soient A, B et C les points d’affixes respectives a, z1 et z2. Quelle est la nature du triangle ABC?

4. Déterminer et représenter l’ensemble E des points M du plan P tels que :

MA2+MB2−MC2 = 20.

Montrer que E contient le point A et le point C.

PROBLÈME 12 POINTS

Onsepropose dans ceproblèmed’étudier l’ensemble, noté ∑ , des points de l’espace

équidistants de deux droites D et D′ non coplanaires et orthogonales. Les parties A, B, C pourront être traitées de façon indépendante. A.

Le baccalauréat de 1987 A. P. M. E. P.

1. a. Donner la condition nécessaire et suffisante pour qu’une symétrie or- thogonale ,s, par rapport à unplan (réflexion) laisse invariante unedroite donnée.

En déduire qu’il existe deux symétries orthogonales par rapport à un plan seulement qui laissent simultanément invariant les droites D et D′ :

l’une par rapport à un plan passant par D et orthogonal à D′ en B,

l’autre par rapport à un plan passant par D′ et orthogonal à D en A.

b. Montrer que ∑

admet, en particulier, deux plans de symétries et un axe de symétrie (AB).

2. Montrer que l’intersection de ∑

avec l’un quelconque de ses plans de symétrie est une parabole dont on précisera le foyer et la directrice.

B) Dans cette partie, ainsi que dans la partie C, l’espace est rapporté à un repère

orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

La droite D passe par le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 1) et admet comme vecteur

directeur −→ u tel que

−→ u =−→ı +−→.

La droite D′ passe par le point B de coordonnées (0 ; 0 ; -1) et admet comme vecteur

directeur −→ v tel que

−→ v =−→ı −−→.

1. a. Vérifier que les droites D et D′ sont orthogonales et non coplanaires.

Montrer que le point O appartient à ∑ .

b. Montrer qu’une représentation paramétrique de D est :  

x = t y = t z = 1

t ∈R.

Soit M un point de coordonnées (x ; y ; z) et P un point de D, expri- mer MP2. En considérant MP2 comme une fonction de t , en déduire la distance deM à D.

c. Calculer de même la distance du point M à la droite D′.

d. En déduire que M appartient à ∑

si et seulement si on a : xy +2z = 0. 2. Déduire de cette relation :

a. que les intersections de ∑

avec des plans orthogonaux à la droite (AB) sont en général des hyperboles.

Préciser les cas d’exception.

b. la nature des intersections de ∑

avec des plans orthogonaux à l’axe ( O ;

−→ ı )

ou à l’axe ( O ;

−→

) .

C. SoitM(t) le point de ∑

admettant comme abscisse x(t)= 4cos t et pour ordonnée y(t)= sin2t dans le repère

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Lorsque t varie dans R, le point M décrit la courbe Γ incluse dans ∑ .

1. Construire la courbe Γz projection orthogonale de Γ sur le plan d’équation z = 0. On prendra 2 cm comme unité.

2. On désigne par Γx la projection orthogonale de Γ sur le plan d’équation x = 0 et par la projection orthogonale de Γx sur le plan d’équation y = 0. Construire ces courbes après avoir donné une représentation paramétrique de chacune d’elles.

Un étudepréalable de leurs éventuels éléments de symétrie facilitera leur étude et leur construction.

Antilles-Guyane 2 juin 1987

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