Exercices sur la théorie de calcul 6, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices sur la théorie de calcul 6, Exercices de Théorie de calcul

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Exercices sur la théorie de calcul 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: calculer l’inégalité, Justifier l’écriture.
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[ Baccalauréat C groupe 2 1 juin 1987 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→

u , −→

v )

.

Soit A un point de P d’affixe a non nulle et soit ABC le triangle équilatéral inscrit

dans le cercle de centre O, de rayon OA et tel que (

−−→

AB , −−→

AC )

soit de mesure π

3 .

1. Déterminer, en fonction de a, les affixes b et c des points B et C respective- ment.

2. On désigne par M le point d’affixe z = a3.

Déterminer A pour que M soit le milieu de [BC].

3. Dans cette question, le point A décrit le cercle de centre le point d’affixe i et de rayon 2.

Déterminer l’ensemble des points N tels que le quadrilatère ABNC soit un lo- sange.

EXERCICE 2 5 POINTS

Soit n un nombre entier supérieur à 1. On considère une urne dans laquelle se trouvent :

– une boule portant le numéro 1, – deux boules portant le numéro 2, – trois boules portant le numéro 3, – etc. – n boules portant le numéro n

A. Combien l’urne contient-elle de boules ?

B On tire au hasard une boule dans l’urne, tous les tirages sont supposés équipro- bables.

1. On suppose dans cette question que n est pair.

Exprimer en fonction de n la probabilitéé pour que la boule tirée porte :

a. un numéro pair ;

b. un numéro impair.

2. Dans cette question, on suppose seulement que le nombre total de boules dans l’urne est 21.

Quelle est la probabilité pour que la boule tirée porte un numéro strictement supérieur à 4.

PROBLÈME 10 POINTS

A Dans cette partie, on étudie la fonction numérique g définie sur R∗ + par :

g (x)= ex −1

xe2x .

1. a. Étudier sur R les variations de la fonction h telle que :

h(x)= ex x −1.

b. En déduire que, pour tout réel α, e>α+1 (1).

1. Bordeaux Caen Clermont Ferrand Limoges - Nantes - Orléans - Tours - Poitiers - Rennes

Le baccalauréat de 1987 A. P. M. E. P.

2. a. En utilisant l’inégalité (1), démontrer que, pour tout x > 0 :

e2x 6 g (x).

b. Justifier l’écriture : g (x)= e−x 1−e−x

x .

En déduire, à l’aide de l’inégalité (1), que pour tout x > 0, g (x)6 e−x .

3. Déduire des questions précédentes que la fonction g est prolongeable par continuité au point x = 0.

4. a. Calculer la dérivée g ′ de la fonction g .

b. En utilisant l’inégalité (1), montrer que, pour tout x > 0,g ′(x)6−e−2x .

En déduire le sens de variation de la fonction g .

B Dans cette partie, on étudie la fonction numérique f définie sur R+ par :

{

f (0) = 1 f (x) = g (x), pour x > 0.

1. a. Justifier l’écriture, pour x > 0 :

g (x)= e− 3x 2 ×

e x 2 −e−

x 2

x

b. Soit u la fonction numérique définie sur R+ par :

u(x)= e x 2 +e−

x 2

Étudier le sens de variation de u.

c. Soit a un réel strictement positif.

Démontrer que, pour tout réel t , tel que 06 t 6 a :

26 e t 2 +e−

t 2 6 e

a 2 +e−

a 2

En appliquant l’inégalité de la moyenne à la fonction u sur l’intervalle [0 ; a], démontrer que :

16 e

a 2 −e−

a 2

a 6

e a 2 +e−

a 2

a (2)

d. En déduire, à l’aide des inégalités (2), que pour tout x > 0 :

e− 3x 2 6 g (x)6

e−x +e−2x

2 (3)

En utilisant les inégalités (3), étudier la limite de g (x)−1

x quand x tend

vers 0. En déduire que la fonction f est dérivable au point x = 0.

2. a. Dresser le tableau des variations de la fonction f .

b. Tracer la courbe représentative (C ) de la fonction f dans le planP muni d’un repère orthonormal (unité de longueur : 5 cm).

3. Soit D la partie du plan P délimitée par C , les axes du repère et la droite D d’équation x = 1. On se propose de déterminer des encadrements de l’aire.A de D,exprimée en cm2.

a. Donner un encadrement de A à l’aide de rectangles en partageant l’in- tervalle [0 ; 1] en cinq intervalles de même longueur.

b. En utilisant les inégalités (3), donner un autre encadrement de A .

Bordeaux Caen Clermont Ferrand Limoges Nantes - Orléans - Tours - Poitiers - Rennes

2 juin 1987

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