Exercices sur la théorie de calcul 7, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Exercices sur la théorie de calcul 7, Exercices de Théorie de calcul

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Exercices sur la théorie de calcul 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Construire M, Étudier ses variations.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Caen 1septembre 1986 \

EXERCICE 1 5 points

Soit n un nombre entier supérieur à 1. On considère une urne dans laquelle se trouvent :

– une boule portant le numéro 1, – deux boules portant le numéro 2, – trois boules portant le numéro 3, – etc. – n boules portant le numéro n

1. Combien l’urne contient-elle de boules ?

2. On tire au hasard une boule dans l’urne, tous les tirages sont squpposés équi- probables.

a. On suppose dans cette question que n est pair.

Exprimer en fonction de n la probabilitéé pour que la boule tirée porte :

un numéro pair ;

un numéro impair.

b. Dans cette question, on suppose seulement que le nombre total de boules dans l’urne est 21.

Quelle est la probabilité pour que la boule tirée porte un numéro stricte- ment supérieur à 4.

EXERCICE 2 4 points

Le plan est rapporté au repère orthonormal (

O ; −→ e1 ,

−→ e2

)

. Soit A (1 ; 0) et B(−1 ; 0). À

tout point M d’affixe z 6= 0 on associe le point M ′ d’affixe z ′ défini par

z× z ′ = 1.

1. a. Construire M ′ quand z = 2(1+ i).

b. Dans le cas général, montrer que la droite (AB) est bissectrice de l’angle (

−−−→ OM ,

−−−→ OM

)

et que OM ×OM ′ =OA2.

2. a. Vérifier que

z ∈C⋆,

(

z+ z

2 −1

)(

z+ z

2 +1

)

=

(

zz

2

)2

.

b. Soit I le milieu de [MM ′]. En utilisant a. montrer que

IIB= IM2

et que pour M 6= A et M 6=B la droite (MM ′) est bissectrice de l’angle (

−→ IA ,

−→ IB

)

.

PROBLÈME 11 points

R désigne le repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité 5 cm).

1. Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Partie A

1. La fonction f1 est définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f1 (x) = x ln x (ln x désigne le logarithme népérien de x).

a. Étudier ses variations.

b. Montrer que f1 admet un prolongement par continuité en O.

c. Tracer dans le repère f !lt la courbe représentative 1 de la fonction g 1 définie sur IR + par : gl (0) = 0 gl (x) = f1 (x) pour x > O. On précisera la tangente à 1 à l’origine.

2. Dans cette question x désigne un réel supérieur à 1.

a. Montrer que si t est un réel vérifiant 1 : :Ç t : :Ç x alors 1 1 - : :Ç - : :Ç l. x t

b. Déduire de ce qui précède et de la définition de ln x, les inégalités, x - 1 pour x 1, – : :Ç ln x : :Ç x - 1. x

c. Démontrer pour x 1 que x - 1 : :Ç f1 (x) : :Ç x2 - X (1).

Partie B

Dans cette partie, on étudie la résolution de l’équation (E) d’inconnue réelle x : (E) : f1(x) = 1, où f1 désigne la fonction définie au A :

1. Démontrer que l’équation E admet une solution unique Xl telle que

2. Montrer que

3. On se propose de déterminer une valeur approchée décimale de Xl à 10-2 près.

a. Déterminer une équation de la tangente (T) à 1 au point de coordon- nées (2,2 ln 2). Calculer l’abscisse x dupoint d’intersectionde la tangente (T) avec la droite (D) dont une équation est y = 1.

b. Donner à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée décimale à 10-2 près par défaut de f1(x1) ; en déduire l’encadrement : 1 + J5 2 : :Ç Xl : :Ç x pUIS une valeur approchée décimale de Xl à 10-1 près. (

c. Donner une valeur approchée de fI (1,76) à 10 - 3 près par excès. En dé- duire l’encadrement :

puis une valeur approchée décimale de x 1 à 10- 2 près.

Partie C

Dans cette partie n désigne un entier strictement supérieur à 1.

1. La fonction fn est définie sur ]0 ; +∞[ par

fn(x)= x n lnx.

a. Étudier ses variations.Montrer que fn admet unprolongement par conti- nuité au point 0.

b. La fonction gn est définie sur R+ par :

{

gn(0) = 0 gn(x) = xn lnx pour x > 0.

Tracer dans le repère les courbes représentatives rri 2 et rri 3 des fonc- tions g2 et g3. On précisera les tangentes à l’origine aux courbes rri 2 et rri 3.

c. Donner l’allure générale des courbes représentatives rrin des fonctions gn . On précisera en particulier leurs positions relatives.

2. a. Démontrer que l’équation fn (x)= 1 admet une solutionunique xn et que 1< xn .

Caen 2 septembre 1986

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Démontrer que la suite de terme général xn , n> 2, est décroissante.

c. On pose tn = (xn )n . Montrer que tn ln(tN ) =n.

d. En utilisant la partie A et ce qui précède, montrer que : 16 tn 6 n+1, et en déduire un encadrement de xn .

e. Démontrer que la suite de terme général xn admet une limite que l’on précisera.

Caen 3 septembre 1986

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