Exercices sur la théorie de calcul 8, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Exercices sur la théorie de calcul 8, Exercices de Théorie de calcul

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Exercices sur la théorie de calcul 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Donner une équation cartésienne de S. Déterminer l’intersection de S et du plan d’équation x = 0.
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[ Baccalauréat C Italie 1 juin 1987 \

EXERCICE 1 4 POINTS

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

.

Soit A (6 ; 0 ; 0) et B(0 ; 6 ; 0). Faire une figure.

1. Déterminer le barycentre G du système (O, 1), (A, 2), (B, 3). Le placer sur la figure.

2. Soit C(0 ; 0 ; 4). Déterminer l’ensemble S des points M de l’espace définis par

(−−−→ MO +2

−−→ MA +3

−−→ MB

)

· −−→ MC = 0.

Donner une équation cartésienne de S.

3. Déterminer l’intersection de S et du plan d’équation x = 0. Dessiner cette intersection sur la figure.

4. Soit P l’ensemble des points M de l’espace tels queMO2+2MA2−3MB2 = 24. Montrer que G appartient à P . Déterminer P .

EXERCICE 2 5 POINTS

Étant donné trois nombres réels strictement positifs α, β et γ on rappelle qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un triangle dont les côtés me- surent respectivement α, β et γ est que :

|αγ| <β<αγ.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

, d’unité 1 cm. a est un réel

donné strictement positif. On prendra pour la figure a = 2.

1. Onappelle R, l’ensemble des pointsM duplan de coordonnées x et y tels qu’il existe un triangle ABC dont les côtés AB, BC et CA mesurent respectivement 2a, y et x.

Montrer que R est formé des points M du plan dont les coordonnées x et y vérifient

|2ax| < y < 2a+ x.

Représenter R sur la figure.

2. Quel est l’ensemble des points M de R tels que le triangle ABC soit isocèle (on envisagera les différents cas possibles).

Représenter cet ensemble sur la figure.

3. Quel est l’ensemble des points M de R tels que le triangle ABC soit rectangle en C ? Le représenter sur la figure.

4. Montrer que l’ensemble des points M de R tels que le triangle ABC soit rec- tangle en A, est inclus dans l’hyperbole H d’équation y2− x2 = 4a. Déterminer les coordonnées de ses sommets et préciser ses asymptotes.

Construire H toute entière sur la figure.

1. Italie, Turquie, Koweit, Abu Dhabi, Portugal

Le baccalauréat de 1987 A. P. M. E. P.

PROBLÈME 11 POINTS

m étant un nombre réel, on appelle fm l’application de ]0 ; +∞[ dans R qui, à x, associe

fm (x)= x2−1

4 − m

2 lnx

et Cm sa courbe représentative dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(on choisit

pour unité de longueur 5 cm).

A. - L’objet de la partie A est l’étude de fm .

1. Calculer lim x→+∞

fm (x).

Calculer, suivant les valeurs dem, lim x→0

fm(x).

2. Calculer f m (x) et donner suivant les valeurs de m, les différents tableaux de variations possibles.

3. a. Montrer que, par un point M0 (

x0 ; y0 )

vérifiant x0 > 0 et x0 6= 1, il passe une et une seule courbe Cm .

b. Montrer qu’il existe un point unique A appartenant à toutes les courbes Cm .

4. Construire Cm , C4 et C−1.

B. - Dans la partie B, on considère la fonction f4 telle que x2 - 1

f4(x)= x2−1 4

−2lnx.

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

1. Soit x > 0. a. Calculer

∫1

x ln t dt .

(on pourra utiliser une intégration par partie).

b. Calculer

F (x)= ∫1

x f4(t)dt .

c. Chercher lim x→0

F (x) et donner une interprétation géométrique de cette li-

mite.

2. a. Montrer que l’équation f4(x) = 0 possède deux solutions et deux seule- ment dont l’une x0 appartient à [3 ; 4] (on ne demande pas de calculer x0 ici).

Montrer que x0 = √

1+8lnx0.

b. Soit ϕ : [3 ; +∞[ → R

x 7−→ ϕ(x)= p 1+8lnx

Montrer que

ϕ(x)> 3.

et que 06ϕ′(x)6 4

9 .

Italie 2 juin 1987

Le baccalauréat de 1987 A. P. M. E. P.

c. Soit (un ) la suite définie par

u0 = 3 et un+1 =ϕ (un )= √

1+8ln(un ).

Montrer par récurrence que :

n ∈N, un > 3.

d. Montrer que : ∀n ∈N, |un+1− x0|6 4

9 |un x0|.

(On appliquera l’inégalité des accroissements finis.)

Montrer que : ∀n ∈ N, |un x0| 6 (

4

9

)n

; en déduire la convergence de

(un ).

Trouver un entier n0 tel que ∣

un0 − x0 ∣

∣< 10−2. Calculer une valeur appro- chée de x0 à 10−2 près.

Italie 3 juin 1987

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