Exercices sur la théorie de calcul 9, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Exercices sur la théorie de calcul 9, Exercices de Théorie de calcul

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Exercices sur la théorie de calcul 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer et construire l’ensemble des points m, Déterminer le tableau de variations.
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[ Baccalauréat C Espagne 1 juin 1987 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, on associe

au pointm d’affixe z(z 6= 2i) le point M d’affixe Z , défini par

Z = z−3+ i

2i− z .

1. Déterminer et construire l’ensemble des pointsm tels que Z soit réel.

2. Déterminer et construire l’ensemble des pointsm pour lesquels 3n :

argZ = 3π

2 (modulo 2π).

3. Déterminer et construire l’ensemble des points m pour lesquels

|Z | = 2.

Toutes ces questions peuvent être traitées géométriquement en utilisant les points A d’affixe 2i et B d’affixe 3− i.

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans le plan orienté, on trace un triangle ABC non isocèle et tel que (

−−→ AB ,

−−→ AC

)

= π

3 (modulo 2π).

Soit d1 la demi-droite d’origine B contenant A. Soit d2 la demi-droite d’origine C contenant A. On place sur d1 un point P différent de B et sur d2 un point Q différent de C, tels que BP = CQ.

1. Justifier l’existence d’une unique rotation r transformant B en C et P en Q.

Préciser l’angle de r . Construire le centre O de r et prouver que ce point est indépendant de P et Q.

2. Quelle est la nature du triangle OPQ?

3. Construire les points P sur d1 et Q sur d2 sachant que BP = CQ = PQ.

PROBLÈME 12 POINTS

Ceproblème a pour buts, d’une part d’étudier la suite nne−n

n! , d’autre part de donner

une expression de ea comme limite d’une suite.

Pour tout entier n > 0, on note fn la fonction numérique définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

fn (x)= xne−x

n! .

On appelle Cn la courbe représentative de fn dans le plan rapporté à un repère or-

thogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

. On prendra ‖ −→ ı ‖ = 2 cm et ‖

−→ ‖= 10 cm.

Partie A

1. Espagne, Amérique centrale

Le baccalauréat de 1987 A. P. M. E. P.

1. Déterminer le tableau de variations de fn sur [0 ; +∞[.

2. Pour tout’ entier n> 2, étudier la position relative de Cn et de Cn+1 et vérifier que le point An de coordonnées

(

n ; fn (n) )

appartient à Cn−1.

3. Construire avec soin, sur un même graphique, les courbes C1, C2 et C3 ; on placera les tangentes en O à ces trois courbes.

Partie B

Le but de cette seconde partie est d’étudier la suite (un ) définie sur N∗ par un = fn(n).

1. a. En utilisant les résultats du A, démontrer que la suite (un ) est décrois- sante.

b. La suite (un ) est-elle convergente ? Justifier.

On se propose, dans les questions suivantes, de déterminer la limite de cette

suite.

2. a. Soit g la fonction numérique définie sur l’intervalle [0 ; 1] par

g (t)= ln(1+ t)− t + t2

4 .

En utilisant les variations de g , démontrer que pour tout t de [0 ; 1] on a

ln(1+ t)6 t t2

4 .

b. En déduire que pour tout entier n > 0 on a

(

1+ 1

n

)n

6 e1− 1 4n .

3. a. Démontrer que pour tout entier n > 0 on a

un+1

un 6 e−

1 4n .

b. En déduire que pour tout entier n> 2 on a

un 6 e −1− 14

( 1 n−1+

1 n−2+···+

1 2+1

)

.

4. a. Démontrer que pour tout entier n> 2 on a

n

1

1

t dt 6 1+

1

2 +·· ·+

1

n−2 +

1

n−1 .

(On pourra utiliser des considérations d’aire.)

b. En déduire que pour tout entier n> 2 on a

un 6 e −1− 14 lnn .

c. Quelle est la limite de la suite (un ) ?

Partie C

Pour tout entier n > 0 et pour tout réel a positif ou nul, fixé, on pose

In (a)= ∫a

0

tne−t

n! dt .

Espagne, Amérique centrale 2 juin 1987

Le baccalauréat de 1987 A. P. M. E. P.

1. Calculer In (a).

2. Démontrer que pour tout entier n > 0 et tout réel t positif ou nul, on a

06 fn(t)6 tn

n! .

En déduire un encadrement de In (a).

3. a. Démontrer que pour tout entier n > 0, on a J... < ( :.)n

1

n! 6

( e

n

)n .

(On pourra utiliser B 1. a.

b. Déterminer alors une nouvellemajoration de In (a) puis la limite de In (a) quand n tend vers +∞.

4. a. Établir pour tout entier n > 2 une relation entre In (a) et In−1(a) (on pourra utiliser une intégration par parties).

b. En déduire que pour tout entier n> 2 on a

In (a)= 1−e −a

(

1+ a1!+ a2 2! +···+

an

n!

)

.

Cette égalité reste-t-elle valable pour n = 1 ?

5. Démontrer que pour tout a de [0 ; +∞[ on a

ea = lim n→+∞

(

1+ a

1! +

a2

2! +·· ·+

an

n!

)

.

Espagne, Amérique centrale 3 juin 1987

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