Exercices sur la valeur future et actualisation , Exercices de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez29 January 2014

Exercices sur la valeur future et actualisation , Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques concernant la valeur future et actualisation – Correction des exercices Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Valeur future et calculs d’années, Valeur future et calculs de taux, Val...
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TD-vfuture_Actualisation-corr

TD : Valeur future et actualisation– CORRECTION 1/4

TD : Valeur future et actualisation – Correction des exercices

Versement unique

Exercice 1: Valeur future et calculs d’années On place 10 000 pendant n années au taux actuariel annuel de 3.5%. La valeur future obtenue au bout des n années est de 15 110.69. Calculer n.

On a l’équation : 15 110,69 = 10 000×(1 + 3,5%)n donc n = ln (

15 110.69 10 000

)

ln(1 + 3.5%) =12

Exercice 2 : Valeur future et calculs de taux On place 10 000 pendant 7 années au taux actuariel annuel de t%. La valeur future obtenue au bout des 7 années est de 20 000. Calculer t. On a l’équation : 20 000 = 10 000×(1 + t%)7 donc (1 + t%)7 = 2 soit t% = 21/7 – 1 ≈ 0,10409 d’où un taux de 10,409 % (t = 10,409) • Exercice 3 : Valeur actuelle Soit 100 000 acquis au terme d’un placement de 7 ans au taux annuel de 6%, calculer sa valeur actuelle.

C0 = 100 000

1,067 = 100 000 × 1,06 – 7 ≈ 66 505,71.

Exercice 4 : Valeur actuelle et calcul d’années. Soit 100 000 acquis au terme d’un placement de n années au taux annuel de 5%, sa valeur actuelle étant de 67 683,94. Calculer n.

100 000 × 1,05– n = 67 683,94 ou 67 683,94 × 1,05n = 100 000 donc 1,05n = 100 000 67 683,94

et n = ln  

 100 000

67 683,94 ln(1,05)

8 années

Exercice 5 : Valeur actuelle et calcul de taux. Soit 100 000 acquis au terme d’un placement de 10 années au taux annuel de t%, sa valeur actuelle étant de 64 392,77. Calculer t.

100 000 = 64 392,77 × (1 + t%)10 soit (1 + t%)10 = 100 000 64 392.77

et t% =  

 100 000

64 392.77 1/10

-1 ≈ 0,04499 donc le taux est de 4,5 % (t = 4,5)

Exercice 6 : Valeur future et diagramme des flux Soit un capital de 500 000 placé au taux annuel actuariel de 5%. Quelle est la valeur future de ce capital dans 5 ans ? On présente ici le diagramme des flux.

?

-500 000  La première flèche se situe au temps t0 et correspond au versement par l’investisseur de la

somme de 500 000 au titre du placement (flux négatif car il s’agit d’un décaissement). Elle représente la valeur actuelle.

 Les traits verticaux correspondent aux différentes périodes de capitalisation (il y en a 5).  La seconde flèche est dirigée vers le haut (sens positif) car il s’agit pour l’investisseur d’un

encaissement. C’est la valeur future (au terme des 5 années) Correction : Vf = 500 000 × 1,055 ≈ 638 140,78

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TD : Valeur future et actualisation– CORRECTION 2/4

Suite de versements Exercice 7 : Valeur actuelle Soit une suite de 5 versements annuels à terme échu : ▪ le premier de 50 000 le 01.01.n+1 ▪ le second de 10 000, ▪ les troisième et quatrième de 5 000 ▪ le dernier de 15 000. Déterminer la valeur actualisée au taux de 3% annuel au 01.01.n. (Rép. : 79 926,92), puis cette même valeur si les flux sont début de période (Rép : 82 324,73).Correction :

1°) Va = 50 000 × 1,03 – 1 + 10 000 × 1,03 – 2 + 5 000 × 1,03 – 3 +5 000 × 1,03 – 4 + 15 000 × 1,03 – 5 Va ≈ 79 926,92

2°) Va = 50 000 + 10 000 × 1,03 – 1 + 5 000 × 1,03 – 2 +5 000 × 1,03 – 3 + 15 000 × 1,03 – 4 Va ≈ 82 324,73

Exercice 8 : Valeur future Soit un contrat de placement de 1 000/ mois durant 3 ans au taux actuariel annuel de 5%.

 Signature du contrat le 01.01.n  Premier versement le 01.02.n  Fin du contrat et dernier versement le 01.01.n+3

Quelle est la valeur future de ce placement ? Présenter le diagramme des flux. Correction :

?

01.02.n 01.03.n 01.01.n+3

le 01.01.n

36 flux de - 1 000

- 1 000 - 1 000 - 1 000

Il s’agit de versements à termes échus. Donc Cu = 1 000 + 1 000 × (1 + Tm) + 1 000 × (1 + Tm)2 + …. + 1 000 × (1 + Tm)35

  

1 000 correspond au dernier versement 1 000 × (1 + Tm)35 au premier versement 01.02.n Tm est le taux mensuel équivalent (à calculer)

Soit après factorisation Cu = 1 000 × [ ]1 + (1+Tm) + … + (1+Tm)35

Cu = 1 000 × 1 – ( 1 +Tm ) 36

1 – (1 + Tm) (somme des termes d’une suite géométrique de raison 1+Tm )

Il faut calculer Tm :

On a : (1 + Tm)12 = (1 + Ta)1 soit Tm = 1,051/12 – 1 ≈ 0, 4074 %

Donc Cu ≈ 38 689,22

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TD : Valeur future et actualisation– CORRECTION 3/4

Exercice 9 : Valeur future. On reprend l’exercice précédent (exercice 8) avec cette fois.

 Début du contrat le 01.01.n  Premier versement le 01.01.n  Dernier versement le 01.12.n+2  Fin du contrat le 01.01.n+3

Quelle est la valeur future de ce placement ? Présenter le diagramme des flux. Correction :

?

01.01.n 01.02.n 01.12.n+2 01.01.n+3

36 flux de - 1 000

- 1 000 - 1 000 - 1 000

Il s’agit de versements à termes à échoir. Donc Vf = 1 000 × (1 + Tm) + 1 000 × (1 + Tm)2 + …. + 1 000 × (1 + Tm)36

  

1 000(1 + Tm) correspond au dernier versement 1 000 × (1 + Tm)36 au premier versement 01.01.n Tm est le taux mensuel équivalent (à calculer)

Soit après factorisation Vf = 1 000 × [ ](1+Tm) + … + (1+Tm)36 = Cu × (1 + Tm)

Vf = 1 000 × (1 + Tm) × 1 – ( 1 +Tm ) 36

1 – (1 + Tm)

(Somme des termes d’une suite géométrique de raison 1+Tm )

Donc Vf ≈ 38 846,84

Exercice 10 : Valeur future. Soit un contrat de placement de 1 000/ mois durant n ans au taux actuariel mensuel équivalent de 0,5%.

 Signature du contrat le 01.01.2006  Premier versement le 01.02.2006  Fin du contrat et dernier versement le 01.01.2006+n

La valeur future de ce placement est de 142 739,90. Calculer n. Il s’agit de versements à termes échus. Donc Vf = 1 000 + 1 000 × (1 + Tm) + 1 000 × (1 + Tm)2 + …. + 1 000 × (1 + Tm)12n-1

  

1 000 correspond au dernier versement 1 000 × (1 + Tm)12n-1 au premier versement 01.02.2006 Tm est le taux mensuel équivalent

Soit après factorisation Vf = 1 000 × [ ]1 + (1+Tm) + … + (1+Tm)12n-1

Vf = 1 000 × 1 – ( 1 +Tm ) 12n

1 – (1 + Tm) = 1000 × 1 – ( 1 +0,5% )

12n

1 – (1 + 0,5%)

Donc 142 739,90 = 1000 × 1 – ( 1 +0,5% ) 12n

1 – (1 + 0,5%) soit

1 – ( 1 +0,5% )12n

– 0,5% = 142,7399

Et 1,00512n = 0.5% × 142,7399 + 1 D’où 12n = ln(0.5% × 142,7399 + 1) / ln (1,005) ≈ soit n = 9

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TD : Valeur future et actualisation– CORRECTION 4/4

Exercice 11 : Valeur actuelle et calcul de nM. Dupont verse chaque 1er janvier et pendant n ans la somme de 10 000 (premier versement le 01.01.N+1) sur un compte ouvert le 01.01.N rémunéré au taux de 4%. La valeur actualisée au taux de 4% des versements réalisés par M. Dupont est de 93 850,74. Calculer n.

Vactuelle = 10 000 × 1 – 1,04 – n

0,04 = 93 850,74 donc 1 – 1,04-n =

93 850,74 × 0,04 10 000

Et 1,04-n = 1 - 93 850,74 × 0,04

10 000 soit - n =

ln  

 1 -

93 850,74 × 0,04 10 000

ln(1,04)

Après calcul n = 12.

Exercice 12 : Valeur actuelle et calcul de nM. Dupont verse chaque 1er janvier et pendant n ans la somme de 10 000 (premier versement le 01.01.N) sur un compte ouvert le 01.01.N rémunéré au taux de 5%. La valeur actualisée au taux de 5% de versements réalisés par M. Dupont est de 118 377,70 . Calculer n.

Vactuelle = 10 000 × 1,05 × 1 – 1,05 - n

0,05 = 118 377,70

1 – 1,05- n = 118 377,70 × 0,05

10 000×1,05 soit 1,05- n = 1 -

118 377,70 × 0,05 10 000×1,05

- n = ln

  

  1 -

118 377,70 × 0,05 10 000×1,05

ln (1,05) et donc n = 17.

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