Exercices sur le maximum de vraisemblance, Exercices de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez29 January 2014

Exercices sur le maximum de vraisemblance, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques concernant le maximum de vraisemblance. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Loi puissance, Lois de Poisson, Estimation d’un coefficient de mélange.
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Université de Rennes 1 Master de mathématiques Année 2012-2013 Statistique mathématique

TD 3 – Maximum de vraisemblance

Exercice 1. Loi puissance Soit (Rn+,

{ Q⊗nθ

} θ∈Θ) un modèle statistique tel que, pour tout θ ∈ Θ, Qθ désigne la loi de densité

fθ(x) = (1 + θ)x θ1I[0,1],

1. Quelles sont les valeurs admissibles pour θ ? 2. Déterminer l’estimateur θ̂n du maximum de vraisemblance pour θ. Que dire de ses propriétés

(biais, consistance, risque, vitesse, loi limite) ?

Exercice 2. Lois de Poisson Soit (Rn+, {P(θ)⊗n}θ>0) un modèle statistique.

1. Calculer l’EMV de ce modèle. 2. Que dire de ses propriétés (biais, consistance, risque, vitesse, loi limite) ?

Exercice 3. Soit (Rn+,

{ Q⊗nθ

} θ>0

) un modèle statistique tel que, pour tout θ > 0, Qθ désigne la loi de densité

θ2xe−θx1IR+(x).

1. Calculer l’EMV de ce modèle. 2. Que dire de ses propriétés (biais, consistance, risque, vitesse, loi limite) ?

Exercice 4. Dans la suite, λ désigne la mesure de Lebesgue sur R. Soit (Rd,

{ Q⊗nθ

} θ>1

) le modèle statistique où, pour tout θ > 1, Qθ possède une densité par rapport à λ+ δ1 donnée par

fθ(x) = 1

1 + θ 1I]0,θ](x).

1. Montrer que, pour tout θ > 1, fθ est bien une densité de probabilité pour la mesure λ+ δ1. 2. Calculer l’EMV θ̂ de θ pour la mesure dominante (λ+ δ1)⊗n. 3. Déterminer la fonction de répartition de θ̂. 4. En déduire que θ̂ est consistant. Préciser sa vitesse et sa loi limite. 5. Soit α ∈]0, 1[. Construire un intervalle de confiance asymptotique de niveau 1− α pour θ.

Exercice 5. Soient t1, t2, . . . , tn des réels non nuls connus. On considère le modèle statistique (Rn, {⊗ni=1N (θi, 1)}θ∈R).

1. Calculer l’EMV, noté θ̂ dans la suite. 2. Déterminer la loi de θ̂.

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3. Étudier le biais et le risque quadratique de θ̂. 4. Soit α ∈]0, 1[. Construire un intervalle de confiance au niveau de confiance 1− α pour θ. 5. On suppose que

∑n i=1 t

2 i tend vers c > 0 lorsque n → ∞. Montrer que θ̂ est consistant.

Déterminer sa vitesse et sa loi limite.

Exercice 6. Soit ([−1/2, 1/2]n,

{ Q⊗nθ

} θ>0

) un modèle statistique tel que, pour tout θ ∈ [−1, 1], Qθ désigne la loi de densité

fθ(x) = (1− θ)1I[−1/2,0[(x) + (1 + θ)1I[0,1/2[(x).

On note (X1, . . . , Xn) un échantillon de Q⊗nθ et s(x1, . . . , xn) = ∑n

i=1 1I[0,1/2](xi). 1. Calculer la loi de s(X1, . . . , Xn). 2. Déterminer l’information du modèle. 3. Calculer l’EMV de θ. 4. Étudier ses propriétés : biais, risque quadratique, consistance, loi limite.

Exercice 7. Estimation d’un coefficient de mélange On considère n observations indépendantes (X1, . . . , Xn) de loi pU[0,a] + (1 − p)U[0,b]. On suppose que a < b, avec a et b connus.

1. Déterminer la fonction de répartition et la densité de X1. 2. Soit Na la variable aléatoire égale au nombre d’individus Xi compris entre 0 et a. Montrer que

la vraisemblance peut s’écrire :

L(x1, . . . , xn, p) =

 ( p

a +

1− p b

)na(1− p b

)n−na si x1, . . . , xn ∈ [0, b],

0 sinon,

où na = na(x1, . . . , xn) est le nombre d’observations comprises entre 0 et a. 3. En déduire l’estimateur du maximum de vraisemblance p̂ du paramètre p en fonction de la

variable aléatoire Na. Quel est son biais ? 4. Calculer E(X). Déterminez l’estimateur p∗ du paramètre p obtenu par la méthode des moments

basée sur le moment d’ordre 1. Calculez le biais de cet estimateur. 5. Des deux estimateurs précédents, lequel est le meilleur en terme d’erreur quadratique moyenne ?

en terme de variance ?

Exercice 8. Soit (Rn,

{ U⊗n[θ,θ+l]

} θ,l>0

) un modèle statistique.

1. Calculer son EMV (θ̂, l̂). Prouver qu’il est consistant.

2. Déterminer la densité du couple 1 (

max 1≤i≤n

Xi, min 1≤i≤n

Xi

) . En déduire la fonction de répartition

de l̂. 3. Soit α ∈]0, 1[. Construire un intervalle de confiance pour le paramètre l au niveau de confiance

1− α.

1. Si (Z1, Z2) est un couple de v.a.r. sur (Ω,A,P), sa fonction de répartition F : (z1, z2) 7→ P(Z1 ≤ z1, Z2 ≤ z2), est liée à sa densité f (si elle existe) par la relation f = ∂2F/∂z1∂z2 p.p.

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