Exercices sur les applications linéaires et matrices, Exercices de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices sur les applications linéaires et matrices, Exercices de Mathématiques

PDF (166.3 KB)
1 page
299Numéro de visites
Description
Exercices de mathématiques sur les applications linéaires et matrices. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Noyau et image, Ecrire une matrice, Calculer le rang d’une matrice, Matrices inversibles en dimensio...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document

TD 2 : Applications linéaires et matrices

Exercice 1. Noyau et image Déterminer le noyau et l’image des applications linéaires suivantes :

1. u(x, y, z) = (x+ y − 2z, 2x− y + z, y + 3z, y), de R3 vers R4, 2. v(x, y, z, t) = (x+ y − t, z + 2t, x+ y + z − t), de R4 vers R3, 3. w(x, y, z) = (x+ y − 4z, 2x+ y + z, x+ z), 4. s(x, y, z) = (x− y, y − z, z − x).

Sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ? Précisez dans chaque cas une base du noyau ainsi qu’une base de l’image. Calculer v ◦ u, (w + 2s) ◦ v. Exercice 2. Ecrire une matrice Ecrire les matrices U , V , W , S dans les bases canoniques des applications linéaires de l’exercice précédent. Calculer ensuite : W −S,V U ,WV U ,WUVW , (W +2S)V . Expliquer dans chaque cas ce que représentent ces produits matriciels en termes d’endomorphismes. Exercice 3. Calculer le rang d’une matrice Calculer le rang des matrices suivantes par la méthode du pivot de Gauss :

1. M1 =

 0 1 −2 1−1 3 2 0 1 1 1 1

 , 2. M2 =

 1 0 1−2 1 −2 1 0 −1

 ,

3. M3 =

 2 1 1 2 1 −2 1 1 3 1 0 −3

 ,

4. M4 =

 0 2 1 −4 3 −1 −2 5 0 −1 3 1 2 1 2 1

 . Exercice 4. Matrices inversibles en dimension 2

Soient (a, b, c, d) ∈ R4 et M = (

a b c d

) . Donner une condition nécessaire et suffisante pour que

M soit inversible. Lorsque cette condition est vérifiée, expliciter M−1. Exercice 5. Changer de base Donner un exemple de base de R3, notée B et de base de R4, notée C. Donner la matrice de passage de la base canonique de R3 vers B et de la base canonique de R4 vers C. Expliciter ensuite : MatCBu, Mat

B C v, Mat

B Bw, Mat

B Bs.

1

docsity.com

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome