Exercices sur les automates finis et applications - 5, Exercices de Applications des sciences informatiques
Christophe
Christophe3 March 2014

Exercices sur les automates finis et applications - 5, Exercices de Applications des sciences informatiques

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Exercices d’informatique sur les automates finis et les applications - 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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ENSEIRB 2006-2007 - Département informatique - Première année IF114 - Automates finis et applications

Examen (session2)

Veillez à soigner la rédaction de vos solutions, particulièrement vos justifications et vos preuves. Soyez précis et concis. Bon courage et bonne chance !

Exercice 1 (4 points)

Soit A = (Q, q0,Σ, δ, F ) un automate fini.

1. Définissez L(A, q), l’ensemble des mots acceptés depuis l’état q ∈ Q de A.

2. Donnez les conditions sur A pour qu’il soit :

(a) déterministe

(b) complet

(c) minimal

Exercice 2 (6 points)

Pour chaque langage ci-dessous, donnez l’automate fini minimal qui l’accepte.

1. le langage des mots sur l’alphabet {a, b} qui ne contiennent pas plus de 3 a

2. le langage des mots sur l’alphabet {a, b} qui ne contiennent plus de a dès qu’il y a eu 2 b consécutifs

3. le langage des mots sur l’alphabet {a, b} qui contiennent au plus un a (et un nombre quelconque de b) ou au plus un b (et un nombre quelconque de a)

4. le langage des mots sur l’alphabet {0, 1} qui encodent en binaire les nombres multiples de 4

Exercice 3 (4 points)

Soit A = (Q, q0,Σ, δ, F ) un automate fini. Nous définissons A c = (Qc, q0,Σ, δ

c, F ) par : – Qc = Q ∪ {χ} où χ est un nouvel état (i.e. χ 6∈ Q) – et pour tout q ∈ Qc et s ∈ Σ, si δ(q, s) n’est pas définie, alors δc(q, s) = χ, sinon,

δc(q, s) = δ(q, s).

1. Soit A1 l’automate ci-dessous, dessinez A c 1

1 2 3

a

b a

a, b

1

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2. Quelle propriété remarquable Ac possède-t-il ? (on ne peut pas le savoir pour A a priori)

3. Prouver que pour tout automate A, le langage accepté par A est égal au langage accepté par Ac : L(A) = L(Ac)

Exercice 4 (6 points)

Soit Σ un alphabet. Un mot infini sur Σ est une séquence infinie de lettres de Σ. Un automate fini1 A = (Q, q0,Σ, δ, F ) accepte un mot infini w s’il lui correspond une séquence infinie de transitions de δ qui rencontre un nombre infini de fois un état accepteur de F . Par exemple, l’automate suivant :

13 2

a

b

b

a

accepte le mot infini ababab · · · puisque qu’il correspond à l’exécution :

1 a −→ 2

b −→ 1

a −→ 2

b −→ 1

a −→ 2

b −→ 1 · · ·

qui visite infiniment souvent l’état 2 ∈ F . Par contre, il n’accepte pas le mot ababbababa · · · car l’exécution associée ne visite qu’un nombre fini de fois (2 en l’occurrence) un état accepteur (ici l’état 2).

1. Pour chacun des mots infinis suivants, indiquer s’il est accepté ou non par l’automate précédent

(a) bababababa · · ·

(b) baab baab baab · · ·

(c) baab ba baab baba baab bababa baab · · ·

2. Un état q ∈ Q est accessible depuis un état q′ ∈ Q s’il existe une séquence de transitions dans δ qui va de q′ à q. Écrire en langage naturel un algorithme accessible(A,q,q’) qui indique si q est accessible depuis q′ dans A.

3. On note Lω(A) le langage des mots infinis acceptés par l’automate A. Justifier l’affir- mation «Lω(A) 6= ∅ s’il existe q ∈ F qui est accessible depuis q0 et depuis lui-même»

4. Écrire en langage naturel un algorithme vide(A) qui indique si Lω(A) est vide ou non.

1On l’appelle «automate de Büchi» dans ce contexte.

2

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