Exercices sur les calculabilité, automates finis et applications, Exercices de Applications des sciences informatiques
Christophe
Christophe3 March 2014

Exercices sur les calculabilité, automates finis et applications, Exercices de Applications des sciences informatiques

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Exercices d’informatique sur les calculabilité, automates finis et applications. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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ENSEIRB 2009-201-0 - Département informatique - Première année IF114 - Calculabilité, automates finis et applications

Examen (sessionl) - durée 2h

Document autorisé : une feuille A4 recto-verso de notes manuscrites

Veillez à soigner la rédaction de vos solutions, particulièrement vos justifications et vos preuves. Les coefficients relatifs des exercices sont donnés à titre indicatif.

1 Expressions régulières

Exercice 1 (2 points)

Après avoir lu attentivement ltannexe A, donnez une traduction des expressions régulières UNIX suivantes dans le langage d'expressions régulières vu en cours. L'alphabet considéré est {a,b,c}.

1. . *

2. [^ab] . .u+

3. [ab] c | [bc] a

4. [a-c] ?

Exercice 2 (7 points)

L'opérateur de soustraction préfixe sur les expressions régulières est noté a-rc pour Ia soustraction préfixe de a à a. I1 est défini de la façon suivante où a, b € D et a, p sont des expressions régulières sur D :

_ €-r . , : ( t - o-1(* + 0) : (o- to) + @-r 0) - a-rs: e - o- t ( tg) : (a*ra)B si e / L(a) - a-re:e - o- t (oÊ):(a-rcr)B+@-, i ls iee .L(a) - a,- ïa: €. - a-|(a*) : (a- la)a* - b-ra: o

L'opération a-la définit une expression réguiière dont le langage est constitué des mots du langage de a qui commencent par a, privés de leur premier caractère a. Par exemple :

o-11o*bo1o+ b)*) : 1a-ra*)ba(a -t b)* + o-Llbaço+ b)*)

- (a- laa*)ba(a + b)* + (a- l f ia(a + b)*

: (ea*)ba(a + b)* i aa(a + b)*

: o*bo(o + b)* + a

: o*bo(a+ b)*

Remarque i €.e.: a et, A * a: a el Qa: A pour toute expression régulière a.

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1. Pour remplir le tableau suivant, on débute avec l'expression régulière a*ba(a + ô)* (première ligne) à laquelle on applique successivement a-l (première colonne) puis b-1 (deuxième colonne). Si une nouvelle expression régulière est construite par ce calcul, on crée une nouveile ligne dans le tabieau, puis on lui applique o-1 et b-1, et ainsi de suite. Complétez le tableau ci-dessous (le nombre de lignes est exact).

u b a*ba(a + b)* a*ba(a + b)*

2. Représentez I'automate dont'la relation de transition est définie par le tableau précédent. Son état initial est a*ba(a + ô)* et ses états accepteurs sont les expressions régulières c telles que e € .L(a).

3. Que représente I'expression régulière dans chacun des états ? Justifier la proposition suivante : "L'automate fini obtenu en appliquant la construction précédente à une ex- pression régulière a accepte le langage de a".

4. Justifier la proposition suivante : "L'automate fini obtenu en appliquant la construction précédente à une expression régulière a est déterministe et complet mais pas toujours minimal".

2 Automates finis et langages réguliers

Exercice 3 (2 points)

Donnez I'automate fini minimal qui accepte le même langage que I'automate suivant :

) q-- r) c

QO {a, o,)

a

btc

Exercice 4 (3 points)

Prouvez que le Iangage 1, : {anbm ln - *: 2} n'est pas régulier en utilisant le lemme de l'étoile rappelé ci-dessous.

" Soit .L un langage régulier infini, et A : (Q,D,6, qo, F) un automate fini déterministe tel que L: L(A). Pour tout mot tr e L tel que lur l > Card(Q), i l existe r ,u,A € !* , tels que ul e et l ru l< Card,(Q), vér i f iant i ïu! :w etYk) 0, rukA e. L"

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