Exercices sur les concepts de mathématiques – 2, Exercices de Mathématiques Appliqués
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Exercices sur les concepts de mathématiques – 2, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices sur les concepts de mathématiques – 2 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les propositions, Les droites de représentations paramétriques.
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ExosInspection2003.dvi

Exercices pour le bac S

Octobre 2003

Exercice no 1 (enseignement obligatoire) On considére 7 boules numérotées de 1 à 7.

1. On en tire simultanément 3. Combien y a-t-il de tirages possibles ?

2. Soit k un entier vérifiant 3 6 k 6 7. Combien y a-t-il de tirages de 3 boules dont le plus grand numéro est k ?

3. En déduire une expression de 7∑

k=3

( x−1 2

) sous forme d’un unique coefficient

binomial.

Exercice no 2 (enseignement obligatoire) Le plan est rapporté à un repère orthonormal

( O, −→ı , −→

) .

1. On désigne par C la courbe représentative de la fonction exponentielle

x 7→ ex . Pour tout pointM d’abscisse t appartenant à C , on considère le point P de coordonnées (t , 0) et le point N , point d’intersection de la tangente en M à C avec l’axe des abscisses.

Montrer que la distance PN est constante.

N

M

P

2. Soit f une fonction définie sur R, strictement positive, dérivable et dont la dérivée est strictement positive. Pour tout point M d’abscisse t appartenant à la courbe représentative de f , on considère le point P de coordonnées (t , 0) et le point N , point d’intersection de la tangente enM à la courbe représentative de f avec l’axe des abscisses.

a. Calculer la distance PN en fonction de f (t) et de f ′(t).

b. Déterminer les fonctions f pour lesquelles la distance PN est constante.

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 3 (enseignement obligatoire) À chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affectés. Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n’en enlèvent aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée àà 0. Pour chaque question, une seule des 4 propositions est exacte.

1. Soit z ∈C verifiant z+|z| = 6+2i. Écrire z sous forme algébrique.

 8

3 −2i 

8

3 −2i 

8

3 +2i  −

8

3 +2i

2. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant |z−1| = |z+ i| est la droite d’équation :  y = x−1  y =−x  y =−x+1  y = x

3. ( 2+2i

p 3 )n ∈R si et seulement si n s’écrit sous la forme (où k ∈N) :

 3k+1  3k+2  3k  6k

4. Soit l’équation (E) : z = 6− z 3− z

(z ∈C). Une solution de (E) est :

 −2− i p 2i  2+ i

p 2  1− i  −1− i

5. Soit deux points A et B d’affixes respectives zA = i et zB = p 3 dans un repère

orthonormal ( O, −→ı , −→

) . L’ affixe zC du point C tel que ABC soit un triangle

équilatéral avec (−−→ AB ,

−−→ AC

) =

π

3 est :

 − i  2i  p 3+ i 

p 3+2i

6. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant

arg

( z+2 z−2i

) =

π

2 est inclus dans :

 La droite d’équation y =−x  Le cercle de centre I(1+ i) et de rayon R =

p 2

 La droite d’équation y = x  Le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d’affixes respectives

zA =−2 et zB = 2i.

2003 2

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 4 (enseignement obligatoire)

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par f (x) = x −2

p x +1. Cette fonc-

tion est dérivable sur [0 ; 1] et sa dérivée f

vérifie f ′(1) = 0. La courbe représentative Γ de la fonction f dans un repère ortho- normal est donnée ci-contre. 1. a. Montrer que le point M de coordon- nées (x, y) appartient à Γ si et seulement si x > 0, y > 0 et

p x+py = 1.

b. Montrer que Γ est symétrique par rap- port àà la droite d’équation y = x. O 1

1

2. a. Si Γ était un arc de cercle, quel serait son centre ? Quel serait son rayon ? b. La courbe Γ est-elle un arc de cercle ?

Exercice no 5 (enseignement obligatoire)

Le plan est rapporté à un repère or- thonormal

( O, −→ı , −→

) . On note Φ et

Γ les courbes représentatives respec- tives des fonctions exponentielle et logarithme népérien. Soit A le point deΦ d’abscisse 0 et B le point de Γ d’abscisse 1. 1. a. Écrire les équations de la tan- gente D à la courbeΦ au point A et de la tangente ∆ à la courbe Γ au point B. b. Montrer que les droites ∆ et Γ sont parallèles. Quelle est leur distance ?

A

B

2. a.Démontrer que la courbeΦ est située entièrement « au-dessus » de D. b.Démontrer que la courbe Γ est située entièrement « au-dessous » de A. c. On désigne par M un point quelconque de Φ et par N un point quelconque de Γ. Expliquer pourquoi MN >

p 2.

2003 3

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 6 (enseignement obligatoire) Le plan est rapporté à un repère orthonormal

( O, −→ı , −→

) .

Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= 1

2 e2x −2,1ex +1,1x+1,6

1. Faites apparaître sur l’écran de votre calculatrice graphique la courbe repré- sentative de cette fonction dans la fenêtre −56 x 6 4, −46 y 6 4. Reproduire l’allure de la courbe obtenue sur votre copie.

2. D’après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer :

a. Sur les variations de la fonction f ?

b. Sur le nombre de solutions de l’équation f (x)= 0 ?

3. On se propose maintenant d’étudier la fonction f .

a. Résoudre dans R l’inéquation e2x −2,1ex +1,1> 0 (on pourra poser X = ex ).

b. Étudier les variations de la fonction f .

c. Déduire de cette étude le nombre de solutions de l’équation f (x)= 0.

4. On veut représenter, sur l’écran d’une calculatrice, la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−0,05 ; 0,15], de façon à visualiser les résultats de la question 3.

Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnée y peut-on choisir pour la fenêtre de la calculatrice ?

Exercice no 7 (enseignement obligatoire) NB : Les quatre propositions peuvent Íêtre examinées indépendamment les unes des autres. On considère une suite (un ) positive et la suite (vn) définie par

vn = un

1+un .

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier dans chaque cas.

1. La suite (vn) est bornée par 0 et 1.

2. Si la suite (un ) est convergente, alors la suite (vn) est convergente.

3. Si la suite (un ) est croissante, alors la suite (vn) est croissante.

4. Si la suite (vn) est convergente, alors la suite (un ) est convergente.

2003 4

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 8 (enseignement obligatoire) Dans cet exercice, les questions sont indépendantes. Pour chaque question, une seule des trois propositions a), b) ou c) est exacte. On de- mande d’indiquer laquelle sans justification. À chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affectés. Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n’en enlèvent aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

1. L’ensemble des points M de l’espace tels que ‖ −−→ MA ‖ = ‖

−−→ MB ‖ est :

a) l’ensemble vide b) un plan c) une sphère

2. On considère les points A(0 ; 1 ; −2) et B(2 ; 1 ; 0). Les coordonnées du barycentreG de (A ; 1) et (B ; 3) sont :

a) G(6 ; 4 ; -2) b) G(1,5 ; 1 ; -0,5) c) G(0,5 ; 1 ; 1,5)

3. La droite d a pour représentation paramétrique x = 2−t ; y = 3t ; z =−3, t ∈R. On considère les points A(2 ; 3 ; −3), B(2 ; 0 ; −3) et C(0 ; 6 ; 0). On a : a) d = (AB) b) d = (BC) c) d 6= (AB) et d 6= (BC) et d 6= (CA)

4. Les droites de représentations paramétriques respectives :  

x = 2+ t y = 1− t z = 1+ t , t R,

  

x = −t y = 2−1,5t z = 3+ t ′, t ′ ∈R

admettent comme point

commun :

a) I(3 ; 0 ; 2) b) J(2 ; 1 ; 1) c) K(0 ; 2 ; −3) 5. Les droites de représentations paramétriques respectives :

 

x = 1 y = 1+2t z = 1+ t , ,

t R

  

x = 3−2t y = 7−4t z = 2− t ′,

t ′ ∈R

sont :

a) parallèles b) sécantes c) non coplanaires

6. La droite de représentation paramétrique x =−4t ; y = 1+3t ; z = 2+2t , t ∈R et le plan d’équation x−2y +5z−1= 0 sont : a) orthogonaux b) parallèles c) ni orthogonaux ni parallèles

7. L’ensemble des points tels que xy +2z−1= 0 et −2x+4y −4z+1 = 0 est : a) l’ensemble vide b) une droite c) un plan

2003 5

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 9 (enseignement obligatoire)

1. Étudier les variations de la fonction f définie sur R par f (x)= cosx+ x. En déduire que l’équation cosx+ x = 0 a une unique solution. En donner une valeur approchée à à 10−3 près.

2. On considère l’équation (E) sinxx

2 = 0, x ∈R.

a. Montrer que toutes les solutions de cette équation appartiennent à l’in- tervalle [−2 ; 2].

b. Donner, en le justifiant, le nombre de solutions de l’équation (E).

c. Donner une valeur approchée, à 10−3 près par défaut, de la plus grande solution.

Exercice no 10 (spécialité) L’exercice propose cinq affirmations numérotées de 1 à 5. Pour chacune de ces affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix effectué.

1. Si un nombre est divisible par 4, alors il est divisible par 8.

2. Si un nombre est divisible par 2 et par 3, alors il est divisible par 6.

3. Si un nombre est divisible par 4 et par 6, alors il est divisible par 24.

4. Si deux entiers a et b sont premiers entre eux, les entiers a +b et ab sont nécessairement premiers entre eux.

5. Si deux entiers a et b sont premiers entre eux, les entiers 2a+b et 3a+2b sont nécessairement premiers entre eux.

Exercice no 11 (enseignement obligatoire)

L’ espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

1. Déterminer une équation du plan P passant par le point A( 1 ; 0 ; 1) et de vec-

teur normal −→ n

  1 1 1

 .

2. Soit P ′ le plan d’équation x + 2y z + 1 = 0 et M le point de coordonnées (0 ; 1 ; 1).

a. Démontrer que les plans P et P ′ sont perpendiculaires.

b. Calculer les distances d et d ′ du point M aux plans P et P ′ respective- ment.

3. a. Donner une représentation paramétrique de la droite D intersection des plans P et P ′.

b. Déterminer les coordonnées du point H de D tel que la droite (MH) soit perpendiculaire à la droite D.

c. Vérifier que MH2 = d2+d ′2.

Exercice no 12 (enseignement obligatoire) Le plan est rapporté à un repère orthonormal

( O, −→ı , −→

) .

On note I le point de coordonnées (1 ; 0). Soient f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par f x) = ex−1 et C sa courbe représentative dans le repère

( O, −→ı , −→

) .

2003 6

Exercices pour le baccalauréat S

On note ∆ la portion de plan comprise entre la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1. Le but de l’exercice est de prouver l’existence d’un unique réelα appartenant à [0 ; 1] tel que, si A est le point deC d’abscisseα, le segment [IA] partage∆ en deux régions de même aire. Pour tout x appartenant à [0 ; 1] on note Mx le point de coordonnées

( x, f (x)

) et Tx

le domaine délimité par la droite IMx , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la courbe C . On désigne par g (x) l’aire de Tx .

C

O

Mx

x 1. Pour x appartenant à l’intervalle [0, 1], calculer g (x) en fonction de x.

2. Étudier les variations de la fonction g : x 7→ g (x) sur [0 ; 1]. 3. Montrer qu’il existe un unique réel α de [0 ; 1] tel que g (α) soit égal à la moitié

de l’aire de ∆.

4. Trouver une valeur approchée de α à 10−3 près par défaut.

2003 7

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 13 (enseignement obligatoire) Le plan est rapporté à un repère orthonormal

( O, −→ı , −→

) .

On note I le point de coordonnées (1 ; 0). Soient f une fonction positive, strictement croissante et dérivable sur [0 ; 1], C sa courbe représentative dans le repère

( O, −→ı , −→

) et ∆ la portion de plan comprise

entre la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1. Le but de l’exercice est de prouver l’existence d’un unique réelα appartenant à [0 ; 1] tel que, si A est le point deC d’abscisseα, le segment [IA] partage∆ en deux régions de même aire. Pour tout x appartenant à [0 ; 1] on note Mx le point de coordonnées

( x, f (x)

) et Tx

le domaine délimité par la droite IMx , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la courbe C .

On désigne par F la fonction définie sur [0 ; 1] par F (x)= ∫x

0 f (t)dt et par g (x) l’aire

de Tx .

C

O

Mx

x 1. Exprimer, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], g (x) en fonction de

x, f (x) et F (x).

2. Démonstration de coursDémontrer que F est dérivable et a pour dérivée f .

3. Étudier les variations de la fonction g : x 7→ g (x) sur [0 ; 1].

4. a. Par des considérations d’aires, montrer que g (0)6 1

2

∫1

0 f (t)dt .

b. Montrer qu’il existe un unique réel α de [0 ; 1] tel que g (α) soit égal à la moitié de l’aire de ∆.

2003 8

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 14 (enseignement obligatoire)

A. Solutions d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle :

(A ) y ′ =−10y +6

y désigne une fonction de la variable t , dérivable sur R.

1. Démonstrationde coursDémontrer l’existence et l’unicité de la solution f de l’équation différentielle (A ) telle f (0)= 0.

2. Vérifier que la solution f de l’équation différentielle (A ) telle que f (0)= 0 est

f : 3

5

( 1−e−10t

) .

B. Établissement d’un courant dans une bobine Aux bornes d’une bobine de résistance R (exprimée en ohms) et d’inductance L (ex- primée en henrys), on branche, à la date t = 0, un générateur de force électromotrice E (exprimée en volts). L’unité de temps est la seconde. L’intensité du courant dans le circuit (exprimée en ampères) est une fonction déri- vable du temps, notée i . À la date t = 0 l’intensité est nulle. Au cours de l’établissement du courant, la fonction i est solution de l’équation dif- férentielle :

Li ′+Ri = E

Valeurs numériques :Dans toute la suite, on prend R = 5, L = 1

2 , E = 3.

1. Déduire des questions précédentes l’expression de i (t) pour t > 0.

2. Déterminer lim t→+∞

i (t).

2003 9

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 15 (enseignement obligatoire)

Soit I l’intervalle [0 ; 1]. On considère la fonction f définie sur I par f (x)= 3x+2 x+4

.

1. Étudier les variations de f et en déduire que, pour tout x élément de I, f (x) appartient à I.

2. On considère la suite (un ) définie par

u0 = 0 et un+1 = 3un +2 un +4

.

Montrer que, pour tout n, un appartient à I.

On se propose d’étudier la suite (un ) par deux méthodes différentes.

Premièreméthode :

3. a. Représenter graphiquement f dans un repère orthonormal d’unité gra- phique 10 cm.

b. En utilisant le graphique précédent, placer les points A0, A1, A2 et A3 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u0, u1, u2 et u3.

Que suggère le graphique concernant le sens de variation de (un ) et sa convergence ?

c. Établir la relation un+1 −un = (1−un ) (un +2)

un +4 et en déduire le sens de

variation de la suite (un ).

d. Démontrer que la suite (un ) est convergente.

e. Prouver que la limite l de la suite (un ) vérifie l = f (l) et calculer l .

Deuxièmeméthode :

On considère la suite (vn) definie par vn = un −1 un +2

.

4. a. Prouver que (vn) est une suite géométrique de raison 2

5 .

b. Calculer v0 et exprimer vn en fonction de n.

c. Exprimer un en fonction de vn , puis en fonction de n.

d. En déduire la convergence de la suite (un ) et sa limite.

2003 10

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 16 (enseignement obligatoire)

Dans l’espace muni du repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les points :

A(2 ; 0 ; 0), B(−1 ; p 3 ; 0)et C(−1 ; −

p 3 ;0)

1. Placer sur une figure les points A, B et C dans le plan ( O, −→ı , −→

) .

2. Montrer que le triangle ABC est équilatéral et que O est son centre.

3. a. Déterminer l’ensemble des points M de l’espace équidistants des points A et B.

b. Déterminer l’ensemble des points N de l’espace équidistants des points B et C.

c. Endéduire que l’ensemble des pointsP de l’espace équidistants des points

A, B et C est l’axe ( O ;

−→ k ) .

4. Montrer qu’il existe un unique point D dont la troisième coordonnée est posi- tive tel que le tétraèdre ABCD soit régulier et calculer ses coordonnées.

5. Soit M un point quelconque du segment [CD]. On pose −−→ CM =λ−−→CD avec

λ ∈ [0 ; 1].

a. Montrer que cos AMB= 2λ 2−2λ+1

2(λ2−λ+1) .

On définit une fonction f de R dans R par la relation

f (λ)= 2λ2−2λ+1 2(λ2−λ+1)

= 1− 1

2(λ2−λ+1)

b. Étudier les variations de la fonction f .

c. En déduire la position deM pour laquelle l’angle AMB est maximum. d. Quelle est la valeur de ce maximum?

2003 11

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 17 (spécialité)

PARTIE I

Soit ABC un triangle rectangle en B, di-

rect : (−−→ BC ,

−−→ BA

) =

π

2 .

Soit E un point du segment [AB]. Par le point E on mène une droite d qui coupe le segment [AC] en un point F et la droite (BC) en un point G (voir figure ci-contre). Les points E, F, G sont distincts des som- mets A, B, C.

G B C

F

A

E

Le cercle Γ circonscrit au triangle ABC et le cercle Γ′ circonscrit au triangle BEG se coupent en deux points distincts B et K.

1. Justifier l’existence d’une similitude plane directe S telle que S(A) = C et

S(E) = G.

Déterminer l’angle de S.

2. SoitΩ le centre de S.

a. Montrer queΩ appartient aux cercles Γ et Γ′.

b. Prouver queΩ est différent de B.

c. Que peut-on en déduire pourΩ ?

PARTIE II Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O, −→u , −→v

) d’unité gra-

phique 2 cm. Les affixes respectives des points A, B, C, E, F et G sont données par :

zA = 2+4i, zB =−1−2i,zC = 3−4i, zE = 0, zF = 5

2 , zG =−5.

On admettra que le point F est le point d’intersection du segment [AC] et de la droite (GE) et que les conditions de la partie I sont vérifiées.

1. Placer ces points sur unefigure et, à l’aide des résultats de la partie I, construire le pointΩ, centre de la similitude S.

2. Soit S ′ la similitude plane directe telle que S ′(A) = E et S ′(C) = G. Déterminer l’écriture complexe de S ′ et déterminer l’affixe du centreΩ′ de S ′.

3. Montrer que les points Ω etΩ′ sont confondus.

2003 12

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 18 (enseignement obligatoire) On sait tous qu’il y a des années à coccinelles et d’autres sans ! On se propose d’étudier l’évolution d’une population de coccinelles à à l’aide d’un modèle utilisant la fonction numérique f définie par f (x) = kx(1− x), k étant un paramètre qui dépend de l’environnement (k ∈R). Dans le modèle choisi, on admet que le nombre des coccinelles reste inférieur àà un million. L’effectif des coccinelles, exprimé en millions d’individus, est approché pour l’année n par un nombre réel un , avec un compris entre 0 et 1. Par exemple, si pour l’année zéro il y a 300000 coccinelles, on prendra u0 = 0,3. On admet que l’évolution d’une année sur l’autre obéit à la relation un+1 = f (un ) , f étant la fonction définie ci-dessus. Le but de l’exercice est d’étudier le comportement de la suite (un ) pour différentes valeurs de la population initiale u0 et du paramètre k.

1. Démontrer que si la suite (un ) converge, alors sa limite l vérifie la relation f (l)= l .

2. Supposons u0 = 0,4 et k = 1.

a. Étudier le sens de variation de la suite (un ).

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 06 un 6 1.

c. La suite (un ) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?

d. Que peut-on dire de l’évolution à long terme de la population de cocci- nelles avec ces hypothèses ?

3. Supposons maintenant u0 = 0,3 et k = 1,8.

a. Étudier les variations de la fonction f sur [0 ; 1] et montrer que

f

( 1

2

) ∈ [ 0 ;

1

2

] .

b. En utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence,

- montrer que, pour tout entier naturel n, 06un 6 1

2 - établir que, pour tout entier naturel n, un+1 > un .

c. La suite (un ) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?

d. Que peut-on dire de l’évolution à long terme de la population de cocci- nelles avec ces hypothèses ?

4. On a représenté sur les feuilles annexes la fonction f dans les deux cas étudiés ci-dessus ainsi que la droite d’équation y = x. Le troisième graphique corres- pond au cas oùù u0 = 0,8 et k = 3,2. Illustrer sur les deux premiers graphiques les résultats trouvés en 1. et 2. en laissant les traits de construction et en faisant apparaîître en abscisse les va- leurs successives u0, u1, u2, . . .

En utilisant la même méthode, formuler une conjecture sur l’évolution de la population dans le troisième cas.

2003 13

Exercices pour le baccalauréat S

Feuilles annexes

1er cas : u0 = 0,4 et k = 1.

u0

2e cas : u0 = 0,3 et k = 1,8.

u0

2003 14

Exercices pour le baccalauréat S

3e cas : u0 = 0,8 et k = 3,2.

u0

2003 15

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 19 (enseignement obligatoire)

Soit ABCDEFGHun cube de côté 1. On choisit le repère

orthonormal ( A ;

−→ ı ;

−→ ;

−→ k ) avec

−→ ı =

−−→ AB ,

−→ =

−−→ AD et

−→ k =

−→ AE .

On appelle I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des segments [BC], [CD], [DH], [HE], [EF] et [FB].

A B

CD

E F

GH

1. Déterminer les coordonnées des points I, K, M.

2. Montrer que les six points I, J, K, L, M et N sont coplanaires, dans un plan que l’on notera P (on donnera une équation du plan P dans le repère choisi).

3. Montrer que le vecteur −−→ AG est un vecteur normal au plan P .

4. Montrer que les projetés orthogonaux des points I, J, K, L, M et N sur la droite (AG) sont confondus en unmême point. On appellera T ce point.

Déterminer la position du point T sur le segment [AG].

5. Montrer que IJKLMNest un hexagone inscriptible dans un cercle dont on pré- cisera le centre et le rayon, et que tous ses côôtés ont même longueur.

6. On considère la pyramide ayant pour base cet hexagone et pour sommet le point G.

Quelle fraction du volume du cube représente le volume de cette pyramide ?

2003 16

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 20 (enseignement obligatoire) Les questions sont indépendantes. II est demandé de justifier toutes les réponses fournies.

1. Dans chacun des cas suivants, proposer une fonction f qui vérifie les proprié- tés données.

On donnera l’expression de f (x).

a. f est définie sur R par f (x)= ae2x +bex +c, la limite de f en +∞ est +∞ et l’équation f (x)= 0 admet deux solutions, 0 et ln2.

b. f est définie sur ]0 ; +∞[, f (2)= 4 et, pour tout x et tout y réels stricte- ment positifs, f (xy)= f (x)+ f (y).

c. f est une fonction polynôme de degré supérieur ou égal à 2 et la valeur moyenne de f sur [−2 ; 2] est 0.

2. Soit g une fonction définie et dérivable, de dérivée g ′ continue sur [−1 ; 1]. La courbe représentative de g est donnée ci-dessous.

1-1

1

2

Les affirmations suivantes sont-elles cohérentes avec le schéma :

a. ∫1

0 g ′(x)dx = 0 ?

b. ∫1

0 g ′(x)dx >−

1

2 ?

2003 17

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 21 (enseignement obligatoire) Cet exercice se présente commeunquestionnaire à choixmultiples (QCM). les quatre questions posées sont indépendantes. Pour chaque question il y a deux conclusions correctes. Le candidat doit cocher au plus deux cases (celles qu’il juge correctes). Aucune justification n’est demandée. À chaque question est affecté un certain nombre de points. Chaque réponse exacte rapporte la moitié des points affectés ; chaque réponse fausse enlève le quart des points affectés. Cocher trois cases ou plus à d’une question, ou n’en cocher aucune, rapporte zéro point à cette question. Si, par aplication de ce barème, le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à zéro. On considère trois suites (un ) , (vn) et (wn) qui vérifient la propriété suivante :

« Pour tout entier naturel n strictement positif : (un )6 (vn)6 (wn) ».

1. Si la suite (vn) tend vers −∞, alors :  La suite (wn) tend vers −∞  la suite (un ) est majorée

 la suite (un ) tend vers −∞  la suite (wn) n’a pas de limite.

2. Si (un )> 1, (wn)= 2(un ) et lim(un )= l , alors  lim(vn)= l  La suite (wn) tend vers +∞  lim(wn un )= l  On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.

3. Si l im (un )=−2 et lim(wn)= 2, alors :  La suite (vn) est majorée

 lim(vn)= 0  la suite (vn) n’a pas de limite

 On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.

4. Si un = 2n2−1

n2 et wn =

2n2+3 n2

alors :

 lim(wn)= 0  lim(vn)= 2  lim(un )= 2  la suite (vn) n’a pas de limite.

2003 18

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 22 (enseignement obligatoire) Partie A On considère la fonction nutnérique f de la variable réelle x définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

f (x)= p xe1−x .

On note C la courbe representative de f dans le plan rapporté à un repère ortho- normal

( O, −→ı , −→

) .

1. Déterminer la limite de f en +∞ (on pourra pour cela justifier et exploiter

l’écriture pour tout x réel strictement positif : f (x)= e p x ×

x

ex

) . Interpréter

graphiquement le résultat.

2. Démontrer que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ puis calculer f ′(x). 3. Déduire des questions précédentes le tableau de variations de f .

4. Construire la courbe C (unité graphique : 2 cm). On admettra que C est tan- gente en O à l’axe des ordonnées.

Partie B On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n non nul par :

un = ∫n+1

n f (t)dt .

1. Interpréter géométriquement un .

2. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul : f (n+1)6 un 6 f (n). 3. En déduire que la suite (un ) est décroissante.

4. Prouver la convergence de la suite (un ) et déterminer sa limite.

Partie C On considère la fonction numérique F de la variable réelle x définie sur [1 ; +∞[ par :

F (x)= ∫x

0 f (t)dt .

1. a. Démontrer que F est dérivable sur [1 ; +∞[ et calculer F ′(x). b. En déduire le sens de variations de F .

2. a. Démontrer que pour tout réel t positif : t +2> 2 p 2 p t .

b. En déduire que pour tout x de l’intervalle [1 ; +∞[ :

F (x)6 1

2 p 2

x

0 (t +2)e1−t dt .

c. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout x apparte- nant à [1 ; +∞[ :

x

0 (t +2)e1−t dt = 4− (x+3)e1−x .

d. En déduire que pour tout x appartenant à [1 ; +∞[ : 06 F (x)6 p 2.

3. On note, pour tout entier naturel n non nul, Sn la somme des n−1 premiers termes de la suite (un ). Exprimer Sn à l’aide d’une intégrale.

Montrer que la suite (Sn) converge et donner un encadrement de sa limite.

2003 19

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 23 (enseignement obligatoire) Onconsidère un cubeABCDEFGH, d’arête de longueur a (a réel strictement positif). Soit I le point d’intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).

A B

C D

E F

G H

1. Calculer, en fonction de a, les produits scalaires sui- vants :−→ EA ·

−→ AF ,

−−→ AB ·

−→ AF ,

−−→ BC ·

−→ AF

2. En déduire que les vecteurs EC et AF sont orthogo- naux. On admettra de même que les vecteurs EC et AH son 3. En déduire que le point I est le projeté orthogonal de E sur le plan (AFH).

4. a. Justifier les résultats suivants : les droites (AF) et (EH) sont orthogonales, ainsi que les droites (AF) et (EI). b. En déduire que la droite (AF) est orthogonale à la droite (HI). c. Établir de même que la droite (AH) est orthogonale à la droite (FI). 5.Que représente le point I pour le triangle AFH?

Exercice no 24 (enseignement obligatoire)

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points A, B, C et S de coordonnées respectives :

A(−1 ; 0 ; 1) B(1 ; 4 ; −1) C(3 ; −4 ; −3) S(4 ; 0 ; 4)

1. Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en A.

2. a. Montrer que le vecteur −−→ SO est orthogonal aux vecteurs

−−→ AB et

−−→ AC .

b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

3. a. Démontrer que O est le barycentre des points A, B, C affectés de coeffi- cients que l’on déterminera.

b. En déduire que O est situé dans le triangle ABC.

4. Calculer le volume V du tétraèdre SABC.

2003 20

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 25 (enseignement obligatoire) On se propose d’étudier les fonctions f dérivables sur [0 ; +∞[ vérifiant la condition

(1)

{ pour tout x ∈ [0 ; +∞[, f (x) f ′(x)= 1 f (0)= 1

Partie A On suppose qu’il existe une fonction f qui vérifie (1). La méthode d’EULER permet de construire une suite de points (Mn ) proches de la courbe représentative de la fonction f . On choisit le pas h = 0,1. On admet que les coordonnées

( xn , yn

) des points Mn obtenus en appliquant cette

méthode avec ce pas vérifient :

{ x0 = 0 y0 = 1

  

xn+1 = xn +0,1

yn+1 = yn + 0,1

yn

pour tout entier naturel n.

Calculer les coordonnées des pointsM1, M2, M3, M4, M5 (on arrondira aumillième les valeurs trouvées). Partie B On se propose de démontrer qu’une fonction vérifiant (1) est nécessairement stric- tement positive sur [0 ; +∞[.

1. Montrer que si la fonction f vérifie (1) alors f ne s’annule pas sur [0 ; +∞[. 2. On suppose que la fonction f vérifie la condition (1) et qu’il existe un réel a

strictement positif tel que f (a)< 0. En déduire que l’équation f (x)= 0 admet au moins une solution dans l’inter- valle [0 ; a].

3. Conclure.

Partie C Existence et unicité de la fonction f .

1. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Déterminer une primitive de la fonction uu′ sur cet intervalle.

2. En déduire que si f est telle que,

pour tout x ∈ [0,+∞[, f (x) f ′(x)= 1,

alors il existe une constante C telle que :

pour tout x ∈ [0,+∞[, [ f (x)

]2 = 2x+C .

3. On rappelle que f (0)= 1. Déterminer l’expression de f (x) pour x réel positif. 4. Endéduire les valeurs arrondies aumillièmede f (0,1), f (0,2), f (0,3), f (0,4), f (0,5),

puis les comparer avec les valeurs obtenues par la méthode d’EULER.

2003 21

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 26 (spécialité) Cet exercice, trop long pour un exercice de spécialité, est présenté dans son intégralité pour respecter sa cohérence ainsi que le travail de l’auteur.

1. a. Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que 7u−13v = 1. b. En déduire deux entiers relatifs u0 et v0 tels que 14u0−26y0 = 4. c. Déterminer tous les couples (a, k) d’entiers relatifs tels que 14a−26k = 4.

2. On considère deux entiers naturels a et b. Pour tout entier n, on note φ(n) le reste de la division euclidienne de an+b par 26. On décide de coder unmessage, en procédant comme suit :

À chaque lettre de l’alphabet on associe un entier compris entre 0 et 25, selon le tableau :

Lettre A B C D E F G H I J K L M Nombre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Lettre N O P Q R S T U V W X Y Z Nombre 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Pour chaque lettre a du message, on détermine l’entier n associé puis on cal- cule φ(n). La lettre a est alors codée par la lettre associée à φ(n).

On ne connaît pas les entiers a et b mais on sait que la lettre F est codée par la lettre K et la lettre T est codée par la lettre O.

a. Montrer que les entiers a et b sont tels que :

{ 5a+b ≡ 10 modulo 26 19a+b ≡ 14 modulo 26

b. En déduire qu’il existe un entier k tel que 14a−26k = 4. c. Déterminer tous les couples d’entiers (a, b), avec 06 a6 25 et

06 b6 25, tels que

{ 5a+b ≡ 10 modulo 26 19a+b ≡ 14 modulo 26

3. On suppose que a = 17 et b = 3.

a. Coder le message « GAUSS ».

b. Soit n et p deux entiers naturels quelconques. Montrer que, si

φ(n)=φ(p), alors 17(np)≡ 0 modulo 26. En déduire que deux lettres distinctes de l’alphabet sont codées par deux lettres distinctes.

4. On suppose que a = 17 et b = 3.

a. Soit n un entier naturel. Calculer le reste de la division euclidienne de 23φ(n)+9−n par 26.

b. En déduire un procédé de décodage.

c. En déduire le décodage dumessage « KTGZDO ».

2003 22

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 27 (enseignement obligatoire) Un quincaillier achète des ampoules à trois fournisseurs dans les proportions sui- vantes : 20% au premier fournisseur, 50% au deuxième fournisseur et 30% au troi- sième fournisseur. Le premier fournisseur fabrique 97% d’ampoules sans défaut, le deuxième fournis- seur fabrique 98% d’ampoules sans défaut, le troisième fournisseur fabrique 95% d’ampoules sans défaut.

1. Onchoisit une ampoule auhasard dans le stock.OnnoteD l’évènement « l’am- poule est défectueuse », F1 l’évènement « l’ampoule provient du premier four- nisseur », F2 l’évènement « l’ampoule provient du deuxième fournisseur » et F3 l’évènement « l’ampoule provient du troisième fournisseur ».

a. Calculer la probabilité de l’évènement D, notée P (D).

b. Sachant que l’ampoule choisie est défectueuse, quelle est la probabilité PD (F1) qu’elle provienne du premier fournisseur ?

Donner la valeur exacte et une valeur approchée à 10−3 près de PD (F1).

2. On suppose que la probabilité qu’une ampoule soit sans défaut est de 0,969.

On monte 12 ampoules sur un lustre. Calculer la probabilité R qu’une am- poule au plus soit défectueuse.

On donnera une valeur approchée à 10−3 près de R.

3. La durée de vie en heures d’une ampoule, notée T , suit une loi de durée de vie

sans vieillissement (ou loi exponentielle) de paramètre λ= 1

50000 = 2.10−5.

Selon cette loi, pour tout x de [0, +∞[, P (T 6 x)= ∫

0x λe−λt dt .

a. Quelle est la probabilité P1 qu’une ampoule dure plus de 25000 heures ?

Donner la valeur exacte de P1.

b. Quelle est la probabilité P2 qu’une ampoule dure plus de 50000 heures ?

Donner la valeur exacte de P2.

c. Quelle est la probabilité P3 qu’une ampoule dure plus de 50000 heures, sachant qu’elle a déjà duré 25000 heures ? Donner la valeur exacte de P3.

2003 23

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 28 (enseignement obligatoire)

PREMIÈRE PARTIE On note j le nombre complexe e

2iπ 3 .

1. Montrer les propriétés suivantes de j :

a. j =− 1

2 + i

p 3

2 .

b. j3 = 1. c. 1+ j+ j2 = 0.

d. −j2 = e iπ 3 .

2. Dans un repère orthonormal direct du plan, on considère les points M , N , P d’affixes respectivesm, n, p.

a. Montrer que, si le triangleMNP est équilatéral direct, alorsmn =−j2(pn).

b. Établir la propriété suivante :

Le triangleMNP est équilatéral direct si, et seulement si,m+nj+pj2 = 0.

DEUXIÈME PARTIE

On considère un cercle du plan de centre O et des points A, B, C, D,E, F de ce cercle tels que les angles(−−→ OA ,

−−→ OB

) ,

(−−→ OC ,

−−→ OD

) ,

(−−→ OE ,

−−→ OF

)

aient la mêmemesure π

3 . Soit M, N, P

les milieux respectifs des cordes [BC], [DE], [FA]. Montrer que le triangleMNP est équi- latéral direct.

A

B

M

C

D

N

E

F

P

O

2003 24

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 29 (spécialité)

Des nombres étranges ! Les nombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; . . . sont des nombres que l’on appelle rep-units (ré- pétition de l’unité). Ils ne s’écrivent qu’avec des chiffres 1. Ces nombres possèdent de nombreuses propriétés qui passionnent les mathématiciens. Cet exercice propose d’en découvrir quelques unes. Pour k entier strictement positif, on note Nk le rep-unit qui s’écrit à à l’aide de k chiffres 1. Ainsi N1 = 1 ; N2 = 11 ; N3 = 111 ; · · · .

1. Citer deux nombres premiers inférieurs à 10 n’apparaissant jamais dans la dé- composition d’un rep-unit.

Justifier brièvement la réponse.

2. À quelle condition sur k le nombre 3 apparaît-il dans la décomposition du rep-unit Nk ? Justifier brièvement la réponse.

3. Pour k > 1, le rep-unit Nk est défini par Nk = i=k−1∑

i=0 10i = 1+10+102 +103 +

·· ·+10k−1. Justifier l’égalité : 9Nk = 10k−1 pour tout entier k > 1.

4. Le tableau ci-dessous donne les restes de la division par 7 de 10k , pour k entier compris entre 1 et 8.

k 1 2 3 4 5 6 7 8 Reste de la division de 10k par 7 : 3 2 6 4 5 1 3 2

Soit k un entier (k > 1). Démontrer que ;

« 10k ≡ 1 (7) » équivaut à « k est multiple de 6 ».

En déduire que 7 divise Nk si et seulement si k est multiple de 6.

2003 25

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 30 (spécialité)

Des nombres étranges ! Les nombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; . . . sont des nombres que l’on appelle rep-units (ré- pétition de l’unité). Ils ne s’écrivent qu’avec des chiffres 1. Ces nombres possèdent de nombreuses propriétés qui passionnent les mathématiciens. Cet exercice propose d’en découvrir quelques unes. Pour k entier strictement positif, on note Nk le rep-unit qui s’écrit à à l’aide de k chiffres 1. Ainsi N1 = 1 ; N2 = 11 ; N3 = 111 ; · · · .

1. Citer deux nombres premiers inférieurs à 10 n’apparaissant jamais dans la dé- composition d’un rep-unit.

Justifier brièvement la réponse.

2. Donner la décomposition en facteurs premiers de N3, N4 et N5.

3. Soit n un entier strictement supérieur à 1. On suppose que l’écriture décimale de n2 se termine par le chiffre 1.

a. Montrer que, dans son écriture décimale, n se termine lui-même par 1 ou par 9.

b. Montrer qu’il existe un entier m tel que n s’écrive sous la forme 10m+1 ou 10m−1

c. En déduire que n2 ≡ 1 (20).

4. a. Soit k > 2. Quel est le reste de la division de Nk par 20 ?

b. En déduire qu’un rep-unit distinct de 1 n’est pas un carré.

2003 26

Exercices pour le baccalauréat S

Exercice no 31 (enseignement obligatoire)

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . On étudie le tétra-

èdre OABC, oùù les points A, B et C sont définis par leurs coordonnées : A(0 ; 0 ; 2), B( p 3 ; 1 ; 0) et C(

p 3 ; −1 ; 0).

Partie A. Géométrie analytique dans un tétraèdre

1. a. Faire une figure représentant le repère et le tétraèdre.

b. Déterminer la nature géométrique et calculer les dimensions de chacune des faces du tétraèdre.

2. On considère le vecteur −→ u de coordonnées

( 2 ; 0 ; n

p 3 ) .

a. Vérifier que le vecteur −→ u est normal au plan (ABC).

b. En déduire une équation du plan (ABC).

Partie B. Étude d’une section plane Soit J le milieu de l’arête [BC]. Le point N est un point mobile du segment [OJ]. On appelle (P) le plan passant par le point N et orthogonal à la droite (OJ).

1. On pose t = ON . Vérifier que t appartient à l’intervalle [ 0 ;

p 3 ] .

2. On se propose de déterminer la nature de la section plane du tétraèdre OABC par le plan (P). Le plan (P) coupe :

- l’arêÍte [OC] au point R ;

- l’arÍête [AC] au point S ;

- l’arÍête [AB] au point T ;

- l’arÍête [OBI au pointU .

a. Démontrer que les droites (ST ), (BC) et (RU ) sont parallèles. Démontrer que les droites (RS), (OA) et (TU ) sont parallèles.

b. Démontrer que le quadrilatère RSTU est un rectangle.

c. Déterminer avec soin les dimensions du rectangle RSTU en fonction du nombre réel t (on précisera en particulier les différents triangles dans lesquels sont menés les calculs).

3. a. Soit S(t) l’aire de la section plane définie à la question B. 2.

Démontrer que S(t)= 4

3

(p 3− t

) .

b. Étudier les variations de la fonction S, définie sur l’intervalle [ 0 ; ,

p 3 ]

par S(t).

c. Pour quelle valeur du nombre réel t l’aire S(t) est-elle maximale ?

Quelle est alors la nature géométrique particulière de la section plane étudiée ?

4. a. On rappelle que le volume V du tétraèdre OABC est égal à l’intégrale∫p3

0 S(t)dt .

Calculer V par cette méthode.

b. Calculer V en utilisant l’aire d’une face et la hauteur correspondante du tétraèdre.

c. Vérifier la cohérence des deux résultats.

2003 27

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