Exercices sur les équations différentielles, Exercices de Mathématiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 February 2014

Exercices sur les équations différentielles, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les équations différentielles. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices, méthodes.
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10. Equations différentielles

Ex. 1 Calculer la solution générale de l’équation différentielle

(E) y′ = 2x

1 + x2 y − 1.

Ex. 2 Résoudre l’équation différentielle

(E) x4y′ + 3x3y = 1

x2 + 1 ·

Ex. 3 (Extrait de l’examen de Septembre 2002) On considère l’équation différentielle

(E) y′ + y

x2 =

e 1 x

1 + ex .

1. Déterminer la solution générale de (E) sur ]0,+∞[. 2. Soit y1 la solution de (E) qui vérifie limx→+∞ y1(x) = 1. Déterminer limx→0+ y1(x).

Ex. 4 (Extrait de l’examen de Septembre 2003) On considère l’équation différentielle

(H) y′(x)y2(x)x3 = −1.

1. Trouver la solution générale de (H). 2. Déterminer la solution de (H) vérifiant y(1) = 1, en précisant son inter- valle maximal de définition I. (Attention : la dérivée doit exister et vérifier (H) en tout point de I.) Dessiner le graphe de cette solution.

Ex. 5 1 (Extrait de la colle de Mai 2003) La croissance d’un arbre dans une forêt suit la loi de Lunqvist Matérn :

dH

dt = C

H

K (ln(

K

H ))1+

1 α ,

où C,K et α sont des constantes strictement positives. Intégrer cette équation, en exprimant H(t) en fonction de H(0) et de t. (Indication : poser u(t) = ln(K/H(t)), et intégrer l’équation différentielle à variables séparables satis- faite par u.) Que vaut limt→+∞H(t) ?

1d’après P. Vallet

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Ex. 6 (Extrait de l’examen de Juin 2004) Résoudre l’équation différentielle

(E) y′′ + y = x sin x.

Ex. 7 Trouver toutes les solutions de l’équation différentielle

(E) y′′ − 2y′ + 5y = ex cos 2x+ 1. Ex. 8 Résoudre l’équation différentielle

(E) y′′ − 4y′ + 4y = xe2x. Ex. 9 Circuit RLC en régime forcé On considère un circuit RLC, constitué d’une bobine d’inductance L et de résistance R, d’un condensateur de capacité C et d’un générateur délivrant une tension u(t) = A cosωt. L’équation différentielle satisfaite par la charge q(t) du condensateur est

(E) L d2q

dt2 +R

dq

dt +

1

C q = A cosωt.

1. On suppose A = 0. Déterminer la solution générale de l’équation ho- mogène

(H) L d2q

dt2 +R

dq

dt +

1

C q = 0.

Montrer qu’elle tend vers 0 exponentiellement vite. Dans quel cas est-elle oscillante ? 2. Prouver qu’il existe une solution particulière de (E) périodique, de pul- sation ω, puis donner la solution générale de (E). Interpréter le résultat obtenu.

Ex. 10 Si on désigne par y1 et y2 deux solutions de l’équation différentielle

y′′ + b y′ + c y = 0

on définit le wronskien W de y1 et y2 par

W (y1, y2) =

y1 y2 y′1 y

′ 2

= y1 y ′ 2 − y2 y′1.

1. Montrer que W vérifie W ′ + bW = 0.

En déduire l’expression de la fonction W . 2. Que peut-on dire de la fonction W s’il existe un réel x0 tel que W (x0) 6= 0?

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Ex. 11 Méthode de variation des constantes Soit l’équation

(E) a y′′ + b y′ + c y = f(x),

avec a 6= 0. Soient y1(x) et y2(x) deux solutions de l’équation homogène associée. On cherche une solution particulière de (E) sous la forme

y0(x) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x),

où C1 et C2 sont des fonctions de x à déterminer. 1. On suppose que C ′1 et C

′ 2 (les dérivées de C1, C2 par rapport à x) vérifient

le système

(S)

{

C ′1 y1 + C ′ 2 y2 = 0,

C ′1 y ′ 1 + C

′ 2 y

′ 2 =

1 a f(x).

Montrer que y0 est alors solution de (E). 2. Quelle conditions doit-on imposer à y1 et y2 pour déterminer C

′ 1 et C

′ 2 ?

(Utiliser l’exercice 10.) 3. Application : résoudre l’exercice 8 en utilisant cette méthode.

Ex. 12 Equation de Schrödinger 1-D 1. Soient E > 0, m > 0. Quelle est la solution générale de l’équation de Schrödinger

− ~ 2

2m y′′ − E y = 0,

où ~ > 0 est la constante réduite ? 2. On considère une particule d’energie E > 0, de masse m > 0 enfermée dans une bôıte de longueur a > 0. Sa fonction d’onde y, supposée non nulle, vérifie alors l’équation de Schrödinger et les conditions aux limites

y(0) = y(a), y′(0) = y′(a).

Pour quelles valeurs de l’énergie est-ce possible ?

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