Exercices sur les espaces vectoriels de dimension finie, Exercices de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices sur les espaces vectoriels de dimension finie, Exercices de Mathématiques

PDF (167.1 KB)
1 page
286Numéro de visites
Description
Exercices de mathématiques sur les espaces vectoriels de dimension finie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Familles libres, familles liées, Critère pour la liberté en dimension 2, De l’implicite vers l’ex...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document

TD 1 : Espaces vectoriels de dimension finie

Exercice 1. Familles libres, familles liées Déterminer si les familles suivantes sont libres ou liées :

1. (1,−2), (2,−1), (3, 5) dans R2, 2. (1, 6), (−2, 1) dans R2, 3. (1, 2), (2, 4) dans R2, 4. (1, 2, 3), (4, 5, 6) dans R3, 5. (0, 0, 0) dans R3, 6. (1, 1, 1), (1, 1, 1) dans R3, 7. (1, 2, 0), (3,−2, 1), (−4, 0, 0) dans R3, 8. (−1, 2, 1), (3,−2, 1), (−3, 1, 1) dans R3.

Exercice 2. Critère pour la liberté en dimension 2 Soient u = (x, y) et v = (x′, y′). Montrer que u, v est une famille liée si et seulement si xy′−yx′ = 0. Exercice 3. Trouver une base d’un espace engendré par une famille de vecteurs Déterminer une base pour l’espace engendré par les familles suivantes :

1. (1, 1, 2), (1,−1, 1), (3, 4,−1), (1, 1, 0) dans R3, 2. (1, 1), (1,−1), (3, 4) dans R2, 3. (1,−2, 3), (−2, 4,−6) dans R3, 4. (0, 2,−3), (1, 1, 4), (3, 4,−4), (2, 3, 1) dans R3.

Exercice 4. De l’implicite vers l’explicite Donner une base des sous-espaces vectoriels définis par les systèmes linéaires suivants (on expliquera pourquoi on a bien des sous-espaces vectoriels) :

1. {

x+ y + z = 0 −x+ 2y + z = 0

2. {

x− y − 4z = 0 −3x+ y + 2z = 0

3. {

x− y − z + 2t = 0 −x+ 2y + z + t = 0

4.

 x+ y + z = 0 −x+ 2y + z = 0

x+ y + z + t+ e = 0

Exercice 5. De l’explicite vers l’implicite Soient f1 = (1, 2,−3), f2 = (−1, 4, 0). On note F = vect(f1, f2). Caractériser F à l’aide d’un système linéaire en x, y, z, coordonnées dans la base canonique. On pourra compléter f1, f2 en une base de R3. Exercice 6. Somme de sous-espaces vectoriels Soient F1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y+ z = 0} et F2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y+ z = 0}. F1 et F2 sont-ils en somme directe ? Que vaut F1 + F2 ?

1

docsity.com

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome