Exercices sur les fonctions de plusieurs variables, Exercices de Mathématiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 February 2014

Exercices sur les fonctions de plusieurs variables, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les fonctions de plusieurs variables. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Topologie g´en´erale - limites, Compacité, Dérivées Partielles, Extrema.
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11. Fonctions de plusieurs variables

11.1 Topologie générale - limites

Ex. 1 R2 est muni de la norme euclidienne usuelle. Les parties suivantes de R2 sont-elles ouvertes ? fermées ? A1 =]1, 2[×]−∞, 3[; A2 = {(x1, x2) ∈ R2; x1x2 ≤ 3}; A3 = {(x1, x2) ∈ R2; 1 ≤ 14x21 + x22 < 4}; A4 = {(x1, x2) ∈ R2; x2 ≥ x21}.

Ex. 2 R est muni de la norme euclidienne usuelle (i.e. la valeur absolue). 1. Soient les ouverts

On = ]− n+ 1

n , n+ 1

n [, O′n = ] 0,

n+ 1

n [, n ≥ 1.

Déterminer explicitement les ensembles O = ∩n≥1On, O′ = ∩n≥1O′n. Sont-ils ouverts ? fermés ? 2. Soient les fermés

Fn = [− n− 1 n

, n− 1 n

], F ′n = [ 0, n− 1 n

], n ≥ 1.

Les ensembles F = ∪n≥1Fn, F ′ = ∪n≥1F ′n sont-ils ouverts ? fermés ?

Ex. 3 Ecrire la définition de f(x) → +∞ lorsque x → x0, et de f(x) → a lorsque ‖x‖ → ∞

Ex. 4 Etudier la limite en (0, 0) de (x, y) 7→ x 3

x2 + y2 . Faire de même avec

(x, y) 7→ x 2

x2 + y2 et avec (x, y) 7→ y sin( 1

x2 + y2 ).

Ex. 5 Soient α > 0 et fα : R 2 \ {0} → R la fonction définie par

fα(x, y) = |x2 − y2|α x2 + y2

∀(x, y) ∈ R2 \ {0}·

Pour quelle valeur de α fα(x, y) → 0 lorsque (x, y) → (0, 0) ?

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Ex. 6 Soit f : R2 → R définie par

f(x, y) =

xy2

x2 + y6 si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

Montrer que pour tout (x, y) 6= (0, 0), f(tx, ty) → 0 lorsque t → 0+. Montrer que f n’est pas bornée au voisinage de (0, 0). La fonction f a-t-elle une limite lorsque (x, y) → (0, 0) ?

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11.2 Compacité

Ex. 1 ∗ Soit f : RN → R une fonction continue et telle que

lim ||x||→+∞

f(x) = +∞.

Montrer que f est minorée et que f atteint sa borne inférieure. (Indication : minorer f sur une boule fermée centrée en 0 et de rayon con- venable.)

Ex. 2 ∗ Théorème de d’Alembert-Gauss On identifie C à R2 par l’application z = x + iy 7→ (x, y). Soit P (z) = a0 + a1z + · · · + anzn un polynôme non constant à coefficients complexes (an 6= 0 et n ≥ 1). On veut montrer qu’il existe des nombres complexes z1, . . . , zn tels que P (z) = an(z − z1)(z − z2) · · · (z − zn).

1. Montrer que lim|z|→+∞ |P (z)| = +∞, et en déduire que la fonction z 7→ |P (z)| est minorée et atteint sa borne inférieure sur C. (Indication : utiliser le résultat de l’exercice 1). Soit z1 ∈ C tel que |P (z1)| = infz∈C |P (z)|.

2. Montrer que l’on peut écrire

P (z) = P (z1) + bk(z − z1)k + bk+1(z − z1)k+1 + · · ·+ bn(z − z1)n,

avec bk 6= 0 et k ≥ 1.

3. On veut montrer que P (z1) = 0. On suppose que P (z1) 6= 0.

a) Ecrivant P (z1) = ρe

iθ, bk = ρ ′eiθ

et choisissant z = z1 + αe i θ−θ

′+π k où α est un réel, montrer que

P (z) = ρeiθ − αkρ′eiθ(1 +O(α))

b) Montrer que |P (z)| < |P (z1)| si α > 0 est assez petit. Conclure.

4. Montrer que P (z) = (z−z1)Q1(z), où Q est un polynôme à coefficients complexes de degré n− 1. Conclure.

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11.3 Dérivées Partielles

Ex. 1 Représenter l’ensemble de définition et calculer les dérivées partielles ∂u

∂x , ∂u

∂y pour les fonctions

u(x, y) = arctan(x y) ; u(x, y) = arctan x

y ; u(x, y) = exp

x

y + exp

y

x ;

u(x, y) = x2 sin y ; u(x, y) = √

1− x2 − y2 ; u(x, y) = ln(x+ y).

Ex. 2 Soient deux fonctions f et g de R2 dans R de classe C1. On cherche les solutions u = u(x, y) du système d’équations aux dérivées partielles

(S)

∂u

∂x = f(x, y),

∂u

∂y = g(x, y).

1. On suppose que (S) a une solution u. Comparer ∂f

∂y à ∂g

∂x .

2. Résoudre (S) dans chacun des cas suivants: a) f(x, y) = 2 x y + y3 et g(x, y) = x2 + 3 y2 x ; b) f(x, y) = − sin x sin y et g(x, y) = − cosx cos y ; c) f(x, y) = −y et g(x, y) = x ; d) f(x, y) = 4 x3 y2 + 2 x y4 et g(x, y) = 2 x4 y + 4 x2 y3 + cos y.

Ex. 3 Fonctions homogènes Une fonction f : Rn → R est dite homogène de degré k > 0 si f(t x) = tk f(x) pour tous t > 0, x ∈ Rn. Donner des exemples de fonctions homogènes de degré 1, 2. Soit f : Rn → R une fonction de classe C1. 1. Montrer que si f est homogène de degré k, alors f vérifie l’identité d’Euler:

n ∑

i=1

xi ∂f

∂xi = k f(x) ∀x ∈ Rn.

(Indication : dériver par rapport à t dans f(t x) = tk f(x).) 2. Montrer que la réciproque est vraie. (Indication : dériver la fonction g(t) = f(tx), et résoudre l’équation différentielle satisfaite par g.)

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Ex. 4 Le laplacien ∆u d’une fonction u = u(x, y) est

∆u = ∂2u

∂x2 +

∂2u

∂y2 ·

Donner l’expression du laplacien en coordonnées polaires. (On fera le change- ment de variables x = r cos θ, y = r sin θ, on écrira u(x, y) = v(r, θ), et on

montrera que ∆u = ∂2v

∂r2 +

1

r

∂v

∂r +

1

r2 ∂2v

∂θ2 ·)

Ex. 5 Résoudre les Equations aux Dérivées Partielles (EDP) suivantes :

1. ∂2u

∂x2 = 0 ;

2. ∂2u

∂x ∂y = 0 ;

3. ∂2u

∂y2 = cos(x+ y).

Ex. 6 Soit U = {(x, y) ∈ R2| x > 0}, et soit f : U → R une fonction de classe C1. Soient (r, θ) les coordonnées polaires. 1. Exprimer x, y en fonction de r et θ, et r, θ en fonction de x et y. Soit D le domaine décrit par (r, θ) lorsque (x, y) décrit U . Déterminer D.

2. Soit g : D → R définie par g(r, θ) = f(x, y). Exprimer ∂f ∂x

et ∂f

∂y en

fonction de r, θ, ∂g

∂r et

∂g

∂θ .

3. Déterminer les fonctions f : U → R de classe C1 solutions de l’EDP: x ∂f

∂x + y

∂f

∂y = 1.

Ex. 7 Résoudre les EDP suivantes en utilisant le changement de variables indiqué :

1. ∂u

∂x − ∂u

∂y = 0 (s = x+ y, t = x− y);

2. x ∂u

∂y − y∂u

∂x = x (x = r cos θ, y = r sin θ);

3. ∂2u

∂t2 −c2∂

2u

∂x2 = 0 (équation des cordes vibrantes) (y = x+ct, z = x−ct).

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Ex. 8 On définit le laplacien d’une fonction u = u(x1, ..., xn) par

∆u = ∂2u

∂x21 + · · ·+ ∂

2u

∂x2n ·

Soit u une fonction radiale (i.e. il existe une fonction h telle que u(x) = h(‖x‖) pour tout x, où ‖x‖ =

x21 + · · ·+ x2n ). 1. Montrer que

∆u(x) = h′′(r) + n− 1 r

h′(r), où r = ‖x‖.

2. Trouver les solutions radiales de l’équation de Laplace :

∆u = 0

sur Rn \ {0}, puis sur Rn. (Indication : intégrer l’équation différentielle satisfaite par h. Noter que la solution dépend de la valeur de n.)

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11.4 Extrema

Ex. 1 Ecrire la formule de Taylor à l’ordre 2 au point (0, 0) pour les fonc- tions suivantes :

a) f(x, y) = cos x

cos y ;

b) g(x, y) = 1

(1− x)(1− y) ; c) h(x, y) = ln(1 + x2 + y2).

Ex. 2 Soit Ω =]0,+∞[2. Soit f : Ω → R définie par

f(x, y) = x− y x+ y

·

Ecrire la formule de Taylor à l’ordre 2 pour la fonction f au point (1, 1).

Ex. 3 Pour chacune des fonctions suivantes définies sur R2 : f1(x, y) = x

2 − y3, f2(x, y) = x+ y + x

2 − xy + y2 + 1, f3(x, y) = 3x− x2 + xy − 2y2, f4(x, y) = 8x

3 − 2y3 + 6yx2 − 3x2, 1. Déterminer les points critiques ; 2. Calculer la matrice hessienne en ces points critiques ; 3. Etudier la nature des points critiques (extrema locaux stricts, extrema globaux,...)

Ex. 4 (Extrait de la colle de Mai 2004) On pose f(x, y) = x2 + y2 − 4Arctg (xy) pour (x, y) ∈ R2. 1. Montrer que f est minorée et que f atteint sa borne inférieure. 2. Déterminer les points critiques de f , et donner leur nature (minimum ou maximum local, global, etc.). Donner la valeur minimale de f sur R2.

Ex. 5 (Extrait de l’examen de Janvier 2003) Soient m ∈ R un paramètre et f la fonction f(x, y) = mx2 + y2 − 4xy. 1. Déterminer les points critiques de f suivant les valeurs du paramètre m. 2. Déterminer les extrema de f suivant les valeurs du paramètre m.

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Ex. 6 On considère la famille de fonctions fm : R 2 → R définies par

fm(x, y) = x 2 +my2 − (x2 + y2)2 ∀(x, y) ∈ R2

où m est un paramètre. Déterminer les points critiques de fm et dire s’ils correspondent à des extrema.

Ex. 7 ∗ On veut étudier le mouvement d’un pendule pesant sans friction. Soit m la masse du pendule (supposé concentré en un point), l la longueur de la tige (de masse négligeable), g l’accélération de la pesanteur et θ l’angle entre la verticale inférieure et la tige. 1. Rappeller l’équation fondamentale de la dynamique et l’expression de l’énergie totale. Montrer que l’énergie totale est constante par rapport au temps au cours du mouvement du pendule. 2. Etudier les extrema de l’énergie totale, vue comme une fonction de (θ, θ̇). 3. Dessiner quelques courbes de niveau de l’énergie totale et décrire le mou- vement du pendule au voisinage d’un équilibre.

Ex. 8 Extrema liés Soit C = {M(t), t ∈ [0, T ]} une courbe fermée de R2 de classe C1. On note (x(t), y(t)) les coordonnées de M(t), et V (t) = (x′(t), y′(t)) le vecteur vitesse, supposé jamais nul. 1. Donner l’expression d’un vecteur normal n(t) à C en M(t). 2. Soit f : R2 → R une application de classe C1. Montrer que f est bornée et atteint ses bornes sur C. Soit M(t̄) un point extrémal pour f|C . Montrer qu’il existe un nombre λ (appelé multiplicateur de Lagrange) tel que

grad f(M(t̄)) = λn(t̄).

3. Application : trouver géométriquement les extrema de f(x, y) = x+ 2y− 1 sur le cercle unité. Retrouver analytiquement le résultat en étudiant les variations de t 7→ f(cos t, sin t).

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