Exercices sur les intégration et les probabilités, Exercices de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices sur les intégration et les probabilités, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématiques sur les intégration et les probabilités. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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UFR Mathématiques Université Rennes 1 Licence 3ème année Année 2006/2007

Intégration et probabilités - TD 2

Exercice 1. Fonctions continues par morceaux Montrer qu’une fonction f : [a, b]→ R continue par morceaux est mesurable.

Exercice 2. Soit µ une mesure de probabilité sur un espace mesurable (E,A). Montrer que

B = {A ∈ A, µ(A) = 0 ou µ(A) = 1}

est une tribu sur E.

Exercice 3. ♣ Définition équivalente de mesure Soit (E,A) un espace mesurable. Montrer qu’une application µ : A → R+ vérifiant (i) µ(∅) = 0, (ii) ∀A, B ∈ A, A ∩B = ∅ =⇒ µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B), (iii) pour toute suite (An)n≥1 d’éléments de A, croissante pour l’inclusion, µ(∪nAn) = limn µ(An), est une mesure sur (X,A).

Exercice 4. Mesure de comptage Soit E un ensemble et µ la mesure définie sur P(E) par

µ(A) =

{ Card(A) si A est fini, +∞ sinon.

Montrer que (E,P(E), µ) est un espace mesuré. La mesure µ est appelée mesure de comptage sur E.

Exercice 5. Combinaison linéaire de mesures Soit (E,A) un espace mesurable, (αk)k∈N une suite de réels positifs et (µk)k∈N une suite de mesures positives définies sur A. Montrer que ν =

∑ k≥0 αkµk est une mesure sur A. Si, pour tout k ∈ N, µk est une mesure de

probabilité, quand peut-on dire que ν est une mesure de probabilité ? Comment interpréter géométriquement ce résultat dans le cas où la somme est finie ?

Exercice 6. Supremum et infimum de mesures Soit (E,A) un espace mesurable et (µk)k∈N une suite de mesures positives définies sur A. On suppose que, pour tous A ∈ A et k ∈ N, µk(A) ≤ µk+1(A).

1. Pour A ∈ A, on pose µ(A) = supk µk(A). Montrer que µ est une mesure sur A. 2. On considère l’espace mesurable (N,P(N)) et pour tous j ∈ N et A ⊂ N, on définit

νj(A) =

{ Card(A ∩ [j,+∞[) si A ∩ [j,+∞[ est fini, +∞ sinon.

Montrer que νj est une mesure positive définie sur P(N) telle que, pour tout A ⊂ N, νj(A) ≥ νj+1(A). On pose

ν(A) = inf j∈N

νj(A).

Calculer ν(N) et ν({k}) pour tout k ∈ N. En déduire que ν n’est pas une mesure sur N.

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Exercice 7. Mesure géométrique Soit ρ ∈]0, 1[. Montrer que l’application µ : B(R) → R définie par µ(A) =

∑ i∈A∩N∗

ρ(1− ρ)i−1 est une mesure

de probabilité sur B(R) appelée mesure géométrique de paramètre ρ. Soit n ∈ N∗, calculer µ({1, . . . , n}) et µ({n, n+ 1, . . .}). Quels sont les ensembles de mesure nulle ? Exercice 8. Invariance par translation Soit B une partie de R et a un réel. On note a+B l’ensemble a+B = {a+ b ; b ∈ B}. Soit µ une mesure sur B(R) telle que µ([0, 1]) = 1 et, pour tous a ∈ R et B ∈ B(R), µ(a+B) = µ(B). On dit que µ est invariante par translation.

1. Soit α = µ({0}). Montrer que nα = µ({1/k ; 1 ≤ k ≤ n}) ≤ 1. En déduire que, pour tout x ∈ R, µ({x}) = 0.

2. Montrer que, pour tout n ∈ N∗, µ(]0, 1/n]) = 1/n, puis que pour tous k1 ≤ k2 entiers naturels,

µ

(] k1 n , k2 n

]) =

k2 n − k1

n .

En déduire que pour tous rationnels q < r, µ(]q, r[) = r−q, puis que pour tous réels a < b, µ(]a, b[) = b−a. 3. Si I est un intervalle de R, que vaut µ(I) ? Que peut-on conclure de ces calculs ?

Exercice 9. ♣ Décomposition de mesures Soit µ une mesure sur B(R) telle que, pour tout intervalle fermé borné I, µ(I) soit fini. Soit

A = {x ∈ R, µ({x}) > 0}

l’ensemble des atomes de µ. 1. Montrer que

A = ⋃

n∈N∗

{ x ∈ [−n, n], µ({x}) ≥ 1

n

} .

En déduire que l’ensemble A des atomes de µ est au plus dénombrable. 2. On pose, pour tout B ∈ B(R), µa(B) = µ(A ∩ B). Montrer que cela a un sens et que µa est une mesure

sur B(R). Montrer que µa =

∑ x∈A

µ({x})δx.

3. Montrer que µ peut s’écrire comme la somme de µa et µd où µd n’ait aucun atome (on dit qu’elle est diffuse).

Exercice 10. ♣ Mesures de Stieljes et fonctions croissantes Soit µ une mesure sur B(R) telle que pour tout intervalle fermé borné I, µ(I) soit fini. On définit la fonction F par

F (x) =

{ µ(]0, x]) si x ≥ 0, −µ(]x, 0]) si x < 0.

1. Montrer que F est croissante, admet en tout point une limite à gauche et est continue à droite. 2. À quelle(s) condition(s) sur F , µ est-elle une mesure finie ? une mesure de probabilité ? 3. Exprimer µ({x}) en fonction de F . Montrer que F est continue en x si et seulement si µ({x}) = 0

(c’est-à-dire que x n’est pas un atome). 4. Les mesures suivantes sont-elles de Stieljes (λ désigne la mesure de Lebesgue)

µ1 = ∞∑

k=0

δk, µ2 = ∞∑

k=1

δ1/k et µ3 = λ+ δ−1 + δ1?

Pour les mesures de Stieljes, on précisera la fonction F et la décomposition en somme de deux mesures, l’une purement atomique, l’autre diffuse (voir exercice 9).

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