Exercices sur les intervalles de confiance, Exercices de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez29 January 2014

Exercices sur les intervalles de confiance, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques concernant les intervalles de confiance. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Lois exponentielles, Maquillage, Lois de Poisson, Région de confiance, Lois gaussiennes.
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Université de Rennes 1 Master de mathématiques Année 2012-2013 Statistique mathématique

TD 2 – Intervalles de confiance

Exercice 1. Soit (Rn,

{ Q⊗nθ

} θ∈]−1,1[) un modèle statistique tel que, pour tout θ ∈]−1, 1[, Qθ désigne la loi sur R

de densité fθ(x) =

1

2 (1 + θx)1I]−1,1[(x).

1. Construire un estimateur θ̂ de θ en utilisant la méthode des moments. 2. Calculer son biais et son risque quadratique moyen. 3. Soit α ∈]0, 1[. Déterminer la loi limite de θ̂ et en déduire un intervalle de confiance asymptotique

pour θ au niveau de confiance 1− α.

Exercice 2. Lois exponentielles On considère le modèle statistique (Rn, {E(λ)⊗n}λ>0). Dans la suite, (X1, X2, . . . , Xn) ∼ E(λ)⊗n et α ∈]0, 1[.

1. Montrer que la v.a. λmax1≤i≤nXi est pivotale, i.e. sa loi ne dépend pas de λ. En déduire un intervalle de confiance pour le paramètre λ au niveau de confiance 1− α.

2. Construire un intervalle de confiance pour λ au niveau 1− α en utilisant la statistique X̄n. 3. Déterminer la vitesse et la loi limite de l’estimateur λ̂ = 1/X̄n. En déduire un intervalle de

confiance asymptotique pour le paramètre λ au niveau 1− α.

Exercice 3. Maquillage Soit (Rn+,

{ Q⊗nθ

} θ>1

) un modèle statistique tel que, pour tout θ > 1, Qθ désigne la loi sur R de densité

fθ(x) = ln θxθ −x2/21IR+(x).

Pour (X1, . . . , Xn) ∼ Q⊗nθ , on note θ̂ l’estimateur de θ suivant :

θ̂ = exp

( 2n∑n i=1X

2 i

) .

1. Calculer les moments d’ordres 2 et 4 de la loi Qθ. 2. Montrer que θ̂ est biaisé et consistant. 3. Déterminer la vitesse et la loi limite de θ̂. 4. Soit α ∈]0, 1[. Construire un intervalle de confiance asymptotique pour θ au niveau de confiance

1− α.

Exercice 4. Lois de Poisson On considère le modèle statistique (Nn, {P(λ)⊗n}λ>0). Dans la suite, (X1, X2, . . . , Xn) ∼ P(λ)⊗n et α ∈]0, 1[.

1. Retrouver les deux premiers moments de X1. 2. En déduire un estimateur λ̂ de λ dont on décrira les propriétés. 3. Donner un intervalle de confiance asymptotique pour λ au niveau 1− α.

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Exercice 5. Région de confiance Soit E = {1, 2, 3} et Q l’ensemble des mesures de probabilité sur E. On considère le modèle statis- tique (En, {q⊗n}q∈Q). Dans la suite (Xi)i≥1 est une suite de v.a. indépendantes de loi q = (q1, q2, q3) et

Nnj = n∑ i=1

1I{Xi=j} pour j = 1, 2, 3.

1. Construire à partir du vecteur (Nn1 , Nn2 , Nn3 ) un estimateur q̂ consistant de q.

2. Montrer

√ n(q̂ − q) L/q−−−→

n→∞ N (0,K) où Kii = qi(1− qi) et Kij = −qiqj si i 6= j

3. En déduire que

n 3∑ j=1

(q̂l − ql)2

ql

L/q−−−→ n→∞

χ2(2).

4. Construire à partir de ce résultat une région de confiance asymptotique pour q au niveau de confiance α ∈]0, 1[.

Exercice 6. Lois gaussiennes On considère le modèle statistique (Rn, {N (m, v)⊗n}m∈R,v>0). Les deux paramètres sont estimés de la façon suivante :

m̂ = X̄n et v̂ = 1

n− 1

n∑ i=1

(Xi − m̂)2.

On admettra (ce sera fait en cours plus tard) les deux propriétés suivantes : – (n− 1)v̂/v ∼ χ2(n− 1). – Si X ∼ N (0, 1) et V ∼ χ2(k) sont indépendantes alors X/

√ V/k suit une loi de Student à k

degrés de liberté dont la densité est donnée par

x 7→ Γ((k + 1)/2)√ kπΓ(k/2)

( 1 +

x2

k

)−(k+1)/2 .

Les lois du χ2 et de Student sont supposées connues (elles sont tabulées). Soit α ∈]0, 1[. 1. Montrer que les statistiques m̂ et v̂ sont indépendantes.

2. Comment construire un intervalle de confiance pour v au niveau 1− α ? 3. Comment construire un intervalle de confiance pour m au niveau 1− α ? 4. Si l’on suppose connue la variance v, que devient l’intervalle de confiance pour m ?

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