Exercices sur les lois conditionnelles et le problème des moindres carrés, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices sur les lois conditionnelles et le problème des moindres carrés, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques concernant les lois conditionnelles et le problème des moindres carrés. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices de 1 à 6.
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Master de Mathématiques G11 : STATISTIQUE MATHÉMATIQUE

Université de Rennes I

T.D. 2. Lois conditionnelles et problème des moindres carrés.

Exercice 1 Soit (X,Y ) un couple de v.a. discrètes dont la loi jointe {f(x, y)} est

f(x,y) x \ y | 0 1 2 3 --------------------------------- 1/4 | 0,1 0,05 0,05 0,05 1/2 | 0,025 0,025 0,1 0,1 1 | 0,025 0,025 0,15 0,30 ---------------------------------

1. Déterminer les deux lois marginales.

2. Déterminer la loi conditionnelle de Y étant donnée X = 1.

3. Quelle est la prédiction des moindres carrés de Y étant donné X = 1 ?

Exercice 2 Dans chacun des cas suivants, déterminer la loi conditionnelle de X étant donnée Y = y avec y parcourant le domaine des valeurs de la v.a. Y :

1. X est de loi uniforme sur ]0, 1[ et Y = X2 ;

2. X est de loi uniforme sur ]− 1, 1[ et Y = X2 ;

3. X est de loi uniforme sur ]− 1, 1[ et Y = X21I{X2<4} + 141I{X2≥4}.

Exercice 3 Soit k ≥ 2 un paramètre et un vecteur aléatoire réel (X,Y ) dont la loi a pour densité

f(x, y) = k(k − 1)(y − x)k−21I{0<x≤y<1}.

1. Déterminer les deux lois marginales et leur densité g et h.

2. Déterminer E(X|Y ).

3. Vérifier sur cet exemple la relation E[E(X|Y )] = E[X].

Exercice 4 (vecteur gaussien)

1. Vérifier que la fonction f(x, y) = 1 2π

exp{1 2 (x2 + y2)} est bien une fonction de densité sur R2.

2. Soit Σ une matrice réelle 2× 2 définie positive (symétrique), et A une racine “hermitienne” de Σ vérifiant AAT = Σ. Soit un vecteur aléatoire (Z1, Z2) de loi f(x, y)dxdy sur R2.

Montrer que la loi du vecteur aléatoire X = AZ a pour densité

g(x) = 1

2π √

|Σ| exp

[

− 1

2 xTΣ−1x

]

, x ∈ R2

On appellera vecteur gaussien centré et de matrice de covariance Σ le vecteur X et on note X ∼ N (0,Σ)

3. Vérifier que Σ peut être écrire sous la forme suivante, avec σ1 > 0, σ2 > 0 et |ρ| < 1,

Σ =

(

σ2 1

ρσ1σ2 ρσ1σ2 σ

2 2

)

.

Expliciter alors la densité g.

4. En écrivant X = (X1,X2), montrer que la loi conditionnelle de X1 étant donnée X2 = x2, x2 ∈ R, est une loi gaussienne réelle de moyenne ρ

σ1 σ2 x2 et de variance σ21(1− ρ

2). Que vaut E(X1|X2) ?

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5. On appelle vecteur gaussien de moyenne (µ1, µ2) et de matrice de covariance Σ un vecteur aléatoire (Y1, Y2) si le vecteur translaté (Y1 − µ1, Y2 − µ2) ∼ N (0,Σ). Montrer que

E(Y1|Y2) = µ1 + ρ σ1

σ2 (Y2 − µ2) .

6. (facultatif) Pour le vecteur X, montrer

(a) E[X1] = E[X2] = 0.

(b) La covariance entre X1 et X2 vaut ρσ1σ2 (ainsi le paramètre ρ s’appelle le coefficient de corrélation).

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