Exercices sur les lois des variables aléatoires - 1° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices sur les lois des variables aléatoires - 1° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués

PDF (48.4 KB)
1 page
424Numéro de visites
Description
Exercices de mathématiques concernant les lois des variables aléatoires. Les principaux thèmes abordés sont les suivants:exercices de 1 à 6.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
ractd.dvi

Master de Mathématiques G11 : STATISTIQUE MATHÉMATIQUE

Université de Rennes I

T.D. 1. Lois des variables aléatoires.

Exercice 1 Montrer que si X a la loi de Laplace L (a) , a > 0, alors |X| a la loi exponentielle E (a). Exercice 2 Si X est une v.a. de loi exponentielle E (a), trouver la loi de la v.a. Y = [X] (partie entière de X).

Exercice 3 La loi de Cauchy sur R a pour densité 1 π(1+x2)

, x ∈ R. Si X est une v.a. de cette loi, trouver la loi de la v.a. X−1.

Exercice 4 (Fonction gamma). La fonction gamma est définie par

Γ(a) =

∫ ∞

0 xa−1e−xdx, a > 0.

1. Établir, par intégration par partie, la relation de récurrence Γ(a) = (a− 1)Γ(a− 1) pour a > 1. 2. En déduire que pour n ∈ N∗, Γ(n) = (n− 1)!, 3. Soit

I =

∫ R

e− 1

2 x2 .

En évaluant l’intégrale ∫ R2

e− 1

2 (x2+y2)dxdy.

à l’aide des coordonnées polaires, trouver une équation vérifiée par I .

En déduire la valeur de I et que Γ(12) = √ π.

Exercice 5 (loi gaussienne).

1. Soit X une v.a. de loi gaussienne standard N (0, 1). Montrer que X a les moments de tout ordre, ses moments d’ordre impair sont nuls et ceux d’ordre pair valent

E[X2k] = (2k − 1)!! = (2k − 1)(2k − 3) · · · 3 · 1, k ∈ N∗.

2. Montrer qu’une v.a Y a la loi gaussienne N (m,σ2), σ > 0 si et seulement si la v.a. X = 1 σ (X −m) a la loi gaussienne réduite N (0, 1).

Exercice 6 Soit X une v.a. de loi gaussienne standard N (0, 1) et Y = X+ (partie positive de X).

1. Trouver la loi de la v.a. Y .

2. A-t-elle une densité par rapport à la mesure de Lebesgue ?

3. Donner une mesure positive σ-finie qui domine cette loi et écrire la densité correspondante.

1

docsity.com

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome