Exercices sur les lois des variables aléatoires - 1° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices sur les lois des variables aléatoires - 1° partie, Exercices de Mathématiques Appliqués

PDF (48.4 KB)
1 page
428Numéro de visites
Description
Exercices de mathématiques concernant les lois des variables aléatoires. Les principaux thèmes abordés sont les suivants:exercices de 1 à 6.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
ractd.dvi

Master de Mathématiques G11 : STATISTIQUE MATHÉMATIQUE

Université de Rennes I

T.D. 1. Lois des variables aléatoires.

Exercice 1 Montrer que si X a la loi de Laplace L (a) , a > 0, alors |X| a la loi exponentielle E (a). Exercice 2 Si X est une v.a. de loi exponentielle E (a), trouver la loi de la v.a. Y = [X] (partie entière de X).

Exercice 3 La loi de Cauchy sur R a pour densité 1 π(1+x2)

, x ∈ R. Si X est une v.a. de cette loi, trouver la loi de la v.a. X−1.

Exercice 4 (Fonction gamma). La fonction gamma est définie par

Γ(a) =

∫ ∞

0 xa−1e−xdx, a > 0.

1. Établir, par intégration par partie, la relation de récurrence Γ(a) = (a− 1)Γ(a− 1) pour a > 1. 2. En déduire que pour n ∈ N∗, Γ(n) = (n− 1)!, 3. Soit

I =

∫ R

e− 1

2 x2 .

En évaluant l’intégrale ∫ R2

e− 1

2 (x2+y2)dxdy.

à l’aide des coordonnées polaires, trouver une équation vérifiée par I .

En déduire la valeur de I et que Γ(12) = √ π.

Exercice 5 (loi gaussienne).

1. Soit X une v.a. de loi gaussienne standard N (0, 1). Montrer que X a les moments de tout ordre, ses moments d’ordre impair sont nuls et ceux d’ordre pair valent

E[X2k] = (2k − 1)!! = (2k − 1)(2k − 3) · · · 3 · 1, k ∈ N∗.

2. Montrer qu’une v.a Y a la loi gaussienne N (m,σ2), σ > 0 si et seulement si la v.a. X = 1 σ (X −m) a la loi gaussienne réduite N (0, 1).

Exercice 6 Soit X une v.a. de loi gaussienne standard N (0, 1) et Y = X+ (partie positive de X).

1. Trouver la loi de la v.a. Y .

2. A-t-elle une densité par rapport à la mesure de Lebesgue ?

3. Donner une mesure positive σ-finie qui domine cette loi et écrire la densité correspondante.

1

docsity.com

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document