Exercices sur les modèles statistiques, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices sur les modèles statistiques, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques sur les modèles statistiques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices de 1 à 5
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Master de Mathématiques G11 : STATISTIQUE MATHÉMATIQUE

Université de Rennes I

T.D. 3. Modèles statistiques

Exercice 1 Dans chacune des situations ci-dessous, – formuler précisément le modèle statistique sous-jacent. – préciser l’espace des paramètres. – identifier la nature paramétrique ou non paramétrique du modèle.

1. Un géologue mesure le diamètre des n galets sur le lit séché d’une rivière. D’expériences antérieures, il admet que le logarithme de ces diamètres suit une loi gaussienne dont il ignore les caractéristiques. Il souhaite obtenir des informations sur cette loi à partir de ses n mesures.

2. Dans l’exemple du cours sur les mesures d’une constante, supposons que l’instrument de me- sures est automatique sur-gradué de 0.1 unité, et que la loi des erreurs est une gaussienne centrée de variance connue a > 0.

Exercice 2 Lequel des modèles suivants est-il identifiable ? 1. X1, . . . , Xd sont indépendantes avecXi ∼ N (αi+ ν, σ2). θ = (α1, . . . , αd, ν, σ2) et Pθ est la

loi de l’observation X = (X1, . . . , Xd).

2. La même que 1. avec la restriction : α1 + · · ·+ αd = 0.. 3. Y et Z sont deux v.a. indépendantes, de loi respective N (µ1, 1) et N (µ2, 1). θ = (µ1, µ2) et

on observe X = Y − Z.

Exercice 3 On considère un modèle statistique P = {Pθ} où 0 ≤ θ ≤ 1 est un paramètre, et Pθ la loi sur la droite

Pθ(dx) = θδ2(dx) + (1− θ) 1 2 e−|x|dx,

une combinaison de la mesure de Dirac au point 2 et de la loi de Laplace.

1. Un seul élément de P est dominé par la mesure de Lebesgue. Lequel ?

2. Un seul élément de P est dominé par la mesure de Dirac δ2. Lequel ?

3. Proposer une mesure de référence µ qui domine le modèle P donner les densités associées.

Exercice 4 1. Montrer qu’un modèle statistique comprenant un nombre dénombrable de lois est toujours do-

miné.

2. Soit µ et ν deux mesures positives σ-finies sur (X ,B) mesurable. On suppose µ  ν et note h = dµ/dν. Montrer que ν  µ si et seulement si h > 0 ν-p.p. (et alors µ ∼ ν). Donner un exemple de deux lois µ, ν sur la droite telles que µ ν mais ν 6 µ.

Exercice 5 Pour les modèles suivants, dire s’il est dominé (exhiber alors une mesure dominante) ? homogène ?

1. X =]0,∞[, Pθ est la loi uniforme sur ]0, θ[ et Θ =]0,∞[. 2. Supposons Y ∼ N (µ, σ2). Soit X = 1IY≤1 + Y 1IY >1. On observe X : θ = (µ, σ2) et Pθ est

la loi de X .

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