Exercices sur les nombres complexes, Exercices de Mathématiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 February 2014

Exercices sur les nombres complexes, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les nombres complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: forme cartésienne, les équations, les calculs.
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2. Nombres complexes

Ex. 1 Ecrire sous forme cartésienne (z = x+ iy, avec x, y ∈ R) les nombres complexes

z1 = 5e iπ 4 , z2 = 3e

iπ 3 − 2eiπ6 , z3 =

2 + i

1 + 3i et z4 =

(

1 + i

1− i

)3

.

Ex. 2 Donner le module et l’argument des nombres complexes suivants

1 + i; −1 + i √ 3;

1 + i

−1 + i √ 3 ·

Ex. 3 Résoudre dans C les équation suivantes : a) z + z − 2 = 0; b) (1− 2i)z − (3− i) = 0; c) Im

(

5z − 2 z − 1

)

= 0.

Ex. 4 Module et argument de la somme de deux nombres com- plexes

Soient z1 = ρ1e iθ1 et z2 = ρ2e

iθ2 deux nombres complexes. On veut déterminer analytiquement le module et l’argument de z = z1 + z2 (resp. de z

′ = z1z2). 1. Représenter les points M1, M2 et M du plan d’affixes respectifs z1, z2 et z. 2. On note z = ρeiθ. Montrer que

ρ = (

ρ21 + ρ 2 2 + 2ρ1ρ2 cos(θ1 − θ2)

) 1 2 .

(Indication : développer zz̄.) 3. On suppose que M est dans le demi-plan situé à droite de l’axe des imagi- naires. Utilisant la représentation géométrique de z1 et z, montrer que

sin θ = ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2

ρ ·

4. On pose z′ = z1z2 = ρ ′eiθ

. Donner les expressions de ρ′ et θ′, et représenter le point M ′ d’affixe z′.

3

Ex. 5 Nombres complexes et trigonométrie 1. Utilisant le nombre complexe ei(x+y), retrouver rapidement les formules de trigonométrie donnant cos(x + y) et sin(x + y), puis celles donnant cos(2x) et sin(2x) ; 2. En déduire les formules donnant cos x cos y, sin x sin y, sin x cos y. 3. En déduire les formules donnant sin p+ sin q, sin p− sin q, cos p+ cos q et cos p− cos q.

Ex. 6 En exprimant de deux façons différentes (1 + i)5, calculer C05 −C25 +C45 et C15 −C35 +C55 . Calculer plus généralement C0n−C2n+C4n− . . . (n ≥ 1).

Ex. 7 Exprimer cos(5θ) et sin(5θ) à l’aide de cos θ et de sin θ.

Ex. 8 Linéariser les expressions : cos4(θ), cos θ · sin3 θ et cos(2θ) cos2 θ.

Ex. 9 Trouver les solutions z1, z2 de z 2 − (4 + i)z + 5− i = 0.

Ex. 10 Calculer une racine carrée z de 2− 3i.

Ex. 11 Calculer les racines 6ème de −3 + 3i.

Ex. 12 Résoudre z3 − iz2 = −2z3 + (2 + i)z2 − 4z.

Ex. 13 Résoudre z4 − (2 + i)z2 + 3 + i = 0.

Ex. 14 Soit z = ei 2π 5 . Que vaut 1 + z + z2 + z3 + z4 ? Exprimer z + z4 et

z2 + z3 en fonction de cos(2π/5), et en déduire les valeurs de cos(2π/5) et de cos(π/5).

Ex. 15 Identité du parallélogramme Prouver l’identité

|z + z′|2 + |z − z′|2 = 2(|z|2 + |z′|2), ∀z, z′ ∈ C.

En donner une interprétation géométrique. (Indication : construire le par- allélogramme dont les sommets ont pour affixes 0, z, z + z′, z′.)

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