Exercices sur les principes de géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices sur les principes de géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques sur les principes de géométrie algébrique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices, la suite exacte longue de cohomologie.
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M2, Géométrie Algébrique I, Cours de Claire Voisin 2006-2007

Corrigé (très partiel !) du TD 2

Exercice 17

(1) On prend le recouvrement ouvert standard de P1 par U0 = {x0 6= 0} et U1 = {x1 6= 0} (x0, x1 sont des coordonnées homogènes xées sur P1). Donc si on pose x = x1/x0 on a U0 = Spec(k[x]) et U1 = Spec(k[ 1x ]). La résolution de ƒech du faisceau structural OPn est

0 −→ OPn −→ i0∗OU0 ⊕ i1∗OU1 −→ i01∗OU0∩U1 −→ 0

Pour calculer H1(P1k,OP1k) on prend les sections globales puis le 1er groupe de cohomologie du complexe obtenu. Comme les sections globales de OPn sont les constantes, on a

0 −→ k i−→ k[x]⊕ k[ 1 x

] d0−→ k[x, 1 x

] d1−→ 0

(qui n'est plus une suite exacte !). On a i(f) = (f, f), et d0(a(x), b( 1x)) = a(x)−b( 1 x). Donc H

1(P1k,OP1k) est le noyau de d1 modulo l'image de d0, et comme d0 est manifestement surjective, H1(P1k,OP1k) = 0.

(2) On utilise le fait que sur l'espace projectif on a O(1) ' O(H) pour n'importe quel hyperplan H. Donc OPnk (−1) est isomorphe au faisceau d'idéaux de H, et on a une suite exacte

0 → OPnk (−1) → OPnk → OH → 0

(on devrait noter i∗OH au lieu de H, où i : H → Pnk est l'immersion fermée, mais l'abus de notation est courant, comme on l'a vu notamment à l'exercice 3 du TD3). En tensorisant par O(`) pour ` ≥ 0, comme ce faisceau est (localement libre donc) plat, la suite reste exacte :

0 → OPnk (`− 1) → OPnk (`) → OH(`) → 0

Prenons la suite exacte longue de cohomologie :

0 → H0(Pnk ,OPnk (`− 1)) → H 0(Pnk ,OPnk (`)) → H

0(Pnk ,OH(`)) = H0(H,OH(`)) →

→ H1(Pnk ,OPnk (`− 1)) → H 1(Pnk ,OPnk (`)) → H

1(Pnk ,OH(`)) = H1(H,OH(`)) → . . .

On sait que H0(Pnk ,OPnk (`)) → H 0(H,OH(`)) est surjective (l'énoncé nous l'a rappelé). De plus, dans

l'exercice on a en fait n = 1, et sur P1, un hyperplan est juste un point ! Donc les faisceaux sur H n'ont pas de cohomologie en degré ≥ 1, d'où H1(H,OH(`)) = 0. Ainsi la suite exacte donne unisomorphisme H1(Pnk ,OPnk (`− 1)) ' H

1(Pnk ,OPnk (`)). Si on suppose par récurrence que H 1(Pnk ,OPnk (`− 1)) = 0 (on a

montré le cas `− 1 = 1 dans la première question) alors on obtient H1(Pnk ,OPnk (`)) = 0.

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